专题01 直线与方程（6知识6题型易错）（期末复习知识清单）（解析版）

5/5专题01直线与方程【答案】一、1.2.二、1.2.3.4.5.三、相交（垂直）、平行四、1.2.3.

【清单01】直线的倾斜角与斜率1、直线的倾斜角若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为（2）倾斜角的取值范围，如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角.2、直线的斜率设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）越大，直线越陡峭（5）倾斜角与斜率的关系当时，直线平行于轴或与轴重合；当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大；3、过两点的直线斜率公式已知直线上任意两点，，则（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°【清单02】直线的方程1、直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含垂直于轴的直线斜截式不含垂直于轴的直线两点式不含直线和直线截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用2、直线的一般式与斜截式、截距式的互化直线的一般式、斜截式、截距式如下表：一般式斜截式截距式不同时为0)都不为0)直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线.因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化：（1）当时,可化为,它表示在y轴上的截距为,斜率为的直线.（2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为，在y轴上的截距为的直线.【清单03】两条直线平行与垂直的判定1、两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．两直线方程平行垂直（斜率存在）（斜率不存在）或或中有一个为0，另一个不存在．2、两直线的夹角公式若直线与直线的夹角为，则.【清单04】三种距离公式1、两点间的距离（1）平面上两点的距离公式为．（2）特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离2、点到直线的距离点到直线的距离3、两条平行线间的距离已知是两条平行线，则与之间的距离注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．【清单05】直线系方程1、过定点直线系：过已知点的直线系方程（为参数）．2、斜率为定值直线系：斜率为的直线系方程（是参数）．3、平行直线系：与已知直线平行的直线系方程（为参数）．4、垂直直线系：与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．5、过两直线交点的直线系：过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．【清单06】对称问题1、点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有可得对称点的坐标为秒杀技巧与性质1：点关于点的对称点为．2、点关于直线对称点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．秒杀技巧与性质2：点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为．秒杀技巧与性质3：点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．秒杀技巧与性质4：点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．秒杀技巧与性质5：点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．3、直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．4、直线关于直线对称求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线第一步：联立算出交点第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点第三步：利用两点式写出方程

【题型一】直线的倾斜角与斜率【例1】．（25-26高二上·海南·月考）若直线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】正、余弦齐次式的计算、直线的倾斜角【分析】先由斜率和倾斜角的关系得到，并判断出倾斜角为锐角，再由同角三角函数关系求出，最后由得到答案.【详解】直线的斜率为，所以，即，且倾斜角为锐角；又因为，所以得到；所以；故选：D【变式1-1】．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围【分析】根据直线方程可确定直线过定点；求出有公共点的临界状态时的斜率，即和；根据位置关系可确定的范围.【详解】直线经过定点，又点，，所以，，又因为直线的斜率为，所以结合图形可得的取值范围为.故选：A.【变式1-2】．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为．【答案】//1.125【难度】0.65【知识点】已知两点求斜率、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值、直线的倾斜角【分析】由题设知，根据目标式，结合基本不等式“1”的代换求最小值即可.【详解】由题设知，可得，∴，当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为.故答案为：.【变式1-3】．（25-26高二上·山东济宁·月考）过点作直线，若与连接两点的线段总有公共点，则的斜率的取值范围为，的倾斜角的取值范围为．【答案】【难度】0.65【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率【分析】应用斜率的两点式求端点处直线的斜率，数形结合确定直线的斜率范围，再求倾斜角范围．【详解】由题意得，直线的倾斜角为，，直线的倾斜角为．如图：由图可知，的斜率的取值范围为，则的倾斜角的取值范围为．故答案为：，【题型二】直线方程【例2】．（25-26高二上·天津南开·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（

）.A． B．或C． D．或【答案】B【难度】0.65【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析【分析】分为两种情况：当直线过原点时；当直线不过坐标原点时．设出直线的方程，代入点坐标可得解．【详解】当直线过原点时，设直线的方程为，直线经过点，则，解得，所以直线的方程为，此时直线在两坐标轴上的截距均为0，满足题意；当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数，设直线的方程为，直线经过点，则，解得，则直线方程，即，综上所述直线方程为或，故选：B．【变式2-1】．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【难度】0.65【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化【分析】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将点代入求解即可.【详解】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为，将点代入解得，此时直线方程为，即；当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为，将点代入解得，此时直线方程为，即所以满足题意的直线方程为或.故选：B.【变式2-2】．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）直线过点且与轴，轴分别交于点，若，则直线的方程为．【答案】或【难度】0.65【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析【分析】分和两种情况讨论，可求得直线的方程.【详解】若，则直线过点与，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即；若时，设直线的方程为，由题意可得，解得，所以直线的方程为，即.故答案为：或.【变式2-3】．（25-26高二上·广西·月考）若经过点的直线在轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为．【答案】4【难度】0.65【知识点】直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题【分析】根据给定条件，设出直线的截距式方程，进而求出该直线方程，再求出直线与坐标轴围成三角形面积.【详解】依题意，直线不过原点，设的方程为，由直线过点，得，解得，直线的方程为，则在轴上的截距分别为4，2，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4.故答案为：4【题型三】两条直线的位置关系【例3】．（25-26高二上·福建福州·期中）过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】由两条直线平行求方程、求直线交点坐标【分析】先通过直线方程联立求出交点坐标，再根据平行待定系数设直线方程，最后代入点坐标求解.【详解】由，得，∴交点坐标为．设与直线平行的直线方程为，把点的坐标代入，得，解得，∴所求直线方程为，故选：A.【变式3-1】．（20-21高二上·重庆渝中·期中）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为()A． B．C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】求直线交点坐标、已知直线垂直求参数【分析】先根据垂直关系求解出的值，然后联立直线方程可求交点坐标.【详解】因为与互相垂直，所以，所以，所以，解得，所以交点坐标为，故选：B.【变式3-2】．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（

）A． B．3 C． D．【答案】BCD【难度】0.65【知识点】求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题、已知直线平行求参数【分析】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解.【详解】联立，可得，即两直线交点为.当时，直线和直线平行，不能围成三角形;当时，直线和直线平行，不能围成三角形;当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形;当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意.故选：BCD【变式3-2】．（25-26高二上·福建福州·期中）(多选题)已知直线：，直线：，则（

）A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过C．若，则 D．若，则或【答案】ABC【难度】0.65【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线过定点问题、求直线交点坐标【分析】对A，直接求交点；对B，转化为两直线交点求解；对C、D，根据两直线垂直、平行的系数关系求解.【详解】对于A：当时，，由解得，所以的交点是，A正确；对于B：可化为，恒过与的交点，可化为恒过与的交点，B正确；对于C：若，则，解得，C正确；对于D：若，则，解得或，又当时，与重合，所以，D错误.故选：ABC.【题型四】距离问题【例4】．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、求平面两点间的距离【分析】求出直线所过定点，点到直线的距离的最大值为.【详解】直线，即，由，解得，所以直线过定点，，点到直线的距离的最大值为.故选：C【变式4-1】．（25-26高二上·四川遂宁·期中）坐标原点到直线的距离为，直线与直线的距离为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、求平行线间的距离【分析】由点到直线的距离公式和平行线间距离公式即可求解.【详解】化一般方程得，所以，故选：D【变式4-2】．（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知直线与直线平行，则两直线间的距离为.【答案】/【难度】0.65【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离【分析】根据直线平行的判定列方程求参数值，注意验证，进而求平行线的距离.【详解】由题设，可得或，当，，，显然重合，不合题意，当，，，满足题意，综上，，此时两直线的距离为.故答案为：【变式4-3】．（25-26高二上·河北邢台·月考）已知为坐标原点，直线，则点到的最大距离为．【答案】【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离【分析】先求出直线必过的定点坐标，然后根据点到直线的距离求出结果.【详解】由直线，得，令解得即直线恒过点，当时，点到的距离最大，最大距离为．故答案为：.【题型五】对称问题【例5】．（25-26高二上·江西·期中）一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（

）A．4 B．5C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点【分析】先求点关于x轴的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解.【详解】由题意得关于x轴的对称点为，所以.故选：D.【变式5-1】．（25-26高二上·江苏连云港·期中）点关于直线的对称点为（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】求点关于直线的对称点【分析】设出点关于直线的对称点，求出的中点，然后利用的中点在直线上且直线与垂直，列出方程组求解即可.【详解】设点关于直线的对称点为，由中点坐标公式得的中点为，则的中点在直线上且直线与垂直，所以，化简得，则，所以点关于直线的对称点为.故选：B【变式5-2】．（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为.【答案】【难度】0.65【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称【分析】求出关于直线的对称点后可求反射光线所在直线的方程.【详解】设关于直线的对称点为，则，解得，，则对称点为.由于反射光线所在直线经过点和，则反射光线所在直线的斜率为.所以反射光线所在直线的方程为，即.故答案为：.【变式5-3】．（25-26高二上·上海·期中）设，点在轴上，则的最小值为．【答案】【难度】0.65【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点【分析】求得关于轴的对称点，可知当取最小值即为.【详解】由题意得：点关于轴的对称点，（当且仅当三点共线时取等号），又，则，故答案为：.【题型六】直线方程的综合应用【例6】．（25-26高二上·安徽合肥·月考）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点是.(1)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程；(2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，求证：当取得最小值直线平分的面积.【答案】(1)或(2)证明见解析【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、求点到直线的距离、三角形面积公式及其应用、直线的点斜式方程及辨析【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程.（2）利用基本不等式的性质求出取得最小值时的直线的方程，然后分别计算两个三角形的面积即可.【详解】（1）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点，①当直线与平行，因为，且过点，所以方程为，即；②当直线通过的中点，所以，所以的方程为，即．综上：直线的方程为或．（2）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为，因为直线过点，所以，，由基本不等式可得，当且仅当即时，取等号，此时直线的方程为，即，点到直线的距离，点到直线的距离，，，所以，故当取得最小值时，直线平分的面积.【变式6-1】．（25-26高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线，且点在直线上，．(1)求直线的方程；(2)若点与点关于直线对称，求证：点在轴上．【答案】(1)(2)证明见解析【难度】0.65【知识点】由两条直线垂直求方程、求点关于直线的对称点、直线的点斜式方程及辨析【分析】（1）由，求得直线的斜率，利用点斜式求出方程；（2）联立直线与直线的方程求出点，利用中点坐标公式求解.【详解】（1）因为，即，所以直线的斜率为.设直线的斜率为，因为，所以，所以.所以直线的方程，即.（2）因为，所以，即.设，则，所以，即.因为，所以点在轴上.【变式6-2】．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知直线，．(1)当时，求直线与的交点坐标；(2)若，求的值，并求出此时直线与之间的距离．【答案】(1)(2)；.【难度】0.65【知识点】求直线交点坐标、求平行线间的距离、已知直线平行求参数【分析】（1）直接联立方程并解方程组可得；（2）由平行可得的值，再由平行线间的距离公式可得.【详解】（1）当时，联立直线与的方程，得解得.所以直线与的交点坐标为．（2）当时，，，显然，不符合题意，舍去；当时，，，显然与不平行，不符合题意，舍去，故直线与的斜率都存在．