专题01 直线与方程（10知识9题型分层验收）（期末复习讲义）（解析版）

3/3专题01直线与方程（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律直线倾斜角和斜率回顾直线的倾斜角的范围与斜率存在的意义，掌握数形结合思想解决倾斜角和斜率的动态变化问题基础考点，常出现在选择题，填空题直线的五种方程及相互转化回顾直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程的推导，掌握五种直线的相互转化并能熟练运用点斜式与斜截式重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题两条直线平行与垂直回顾直线的平行、垂直与斜率、截距之间的关系，能应用两条直线平行或垂直规律解决相关问题重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题直线交点回顾直线的交点与方程组的解内在联系，能熟练运用两条直线相交的性质求待定参数。基础考点，常出现在选择题，填空题平面上的距离回顾平面内点与直线的距离，两点之间的距离，两平行线间的距离公式推导，并能解决与距离有关的平面几何问题。重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题知识点01直线倾斜角的定义定义在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α称为这条直线的倾斜角规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0范围{α|0≤α<π}作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可知识点02直线的斜率(1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.(2)过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为____k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)_______.知识点03斜率与倾斜角的联系倾斜角（范围）斜率（范围）不存在知识点04直线方程的五种形式方程形式直线方程局限性选择条件点斜式不能表示与x轴垂直的直线①已知斜率；②已知

一点斜截式y=kx+b不能表示与x轴垂直的直线①已知在y轴上的截距；②已知斜率两点式不能表示与x轴、

y轴垂直的直线①已知两个定点；②已知两个截距截距式不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积一般式Ax+By+C=0

(A,B不全为0)表示所有的直线求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程知识点05两条直线平行与垂直1.两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在.2.两条直线垂直：如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零知识点06直线系方程1．平行直线系方程把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为(其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.2．垂直直线系方程一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.知识点07两条直线的交点坐标方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1，l2的公共点个数一个无数个零个直线l1，l2的位置关系相交重合平行知识点08：两点间的距离平面上任意两点，间的距离公式为特别地，原点与任一点的距离.知识点09点到直线的距离1.点到直线的距离定义：点到直线的垂线段的长度2.点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))知识点10两条平行线间的距离1．点关于点对称点关于点对称后得到点，则由中点坐标公式得.2．直线关于点对称求直线关于点对称的直线（1）法一：在所求直线上任取一点，则它关于点对称的点为，代入已知直线中，则所求直线的方程为；（2）法二：在已知直线上任取一点（一般取整数点），求它关于点对称的点，利用然后关于点对称的两直线与斜率相等，求出斜率，再用点斜式求出的方程.3．点关于直线对称求点关于直线对称的点（1）法一：直接列方程组，解出；（2）法二：先求出线段所在直线（点斜式），再求出线段的中点（两条直线的交点），利用交点关于中点对称求出点.4．直线关于直线对称求直线关于直线对称的直线（1）法一：在已知直线上任取一点，然后关于的对称点，再结合与交点联立求解；（2）法二：利用两条相交直线的到角公式求解①直线到的角（方向角），，当时，.②直线与的夹角，，当时，.题型一直线的倾斜角与斜率解｜题｜技｜巧1、我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用字母表示，即2、如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：（1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；（3）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平3、斜率与倾斜角的联系倾斜角（范围）斜率（范围）不存在【典例1】（23-24高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，计算即可得答案.【详解】依题意，，，则点，，所以拉索所在直线的斜率.故选：D【变式1】（24-25高一上·江苏·月考）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据条件得到，又，从而得，再利用正切函数的性质，即可求解.【详解】因为直线的方程为，所以，即直线的斜率，又，所以，又直线的倾斜角的取值范围为，由正切函数的性质可得，直线的倾斜角范围为，故选：B.【变式2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（

）A．或 B． C． D．【答案】D【分析】根据斜率公式计算可得.【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为，所以，即，解得.故选：D【变式3】（23-24高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的最大值为.【答案】【分析】根据给定条件，求出点的轨迹，画出图形，再利用的几何意义求出最大值.【详解】依题意，，即，于是得或或或，动点的轨迹如图中正方形，其中，表示正方形边上的点与定点确定直线的斜率，观察图象知，当点与点重合时，直线的斜率最大，所以的最大值为.故答案为：题型二根据直线与线段的相交关系求斜率取值范围解｜题｜技｜巧斜率与倾斜角的联系倾斜角（范围）斜率（范围）不存在【典例1】（24-25高二上·江苏·期中）已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】画出草图，先求出直线和直线的斜率，直线与线段有公共点时，找出直线的斜率的临界状态即可.【详解】运用两点间的斜率公式，，，过点的直线与线段AB有公共点时，如图所示，直线斜率的取值范围是.

故选：B.【变式1】已知直线l经点，若直线与线段相交，则直线斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出直线与直线的斜率，再结合直线与线段相交的条件，确定直线斜率的取值范围.【详解】已知，，根据过两点直线斜率公式，可得：已知，，同理可得：当直线绕点从位置旋转到与轴重合时，斜率的范围是；当直线绕点从与轴重合旋转到位置时，斜率的范围是.所以直线斜率的取值范围是.故选：B.

【变式2】已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】D【详解】由直线，变形可得，由，解得，可得直线恒过定点，则，结合图象可得：若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为，由斜率定义，可得直线倾斜角的取值范围为.故选：D.题型三求直线方程解｜题｜技｜巧①点斜式方程形式：②斜截式方程形式：③两点式方程形式：④截距式方程形式：⑤一般式：定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.【典例1】（25-26高二上·江苏·期末）已知菱形中，，，边所在直线过点，求：(1)边所在直线的方程；(2)点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程；（2）利用，求得直线的方程，与直线方程联立方程组求解即可．【详解】（1）因为边所在直线过点，，所以因为为菱形，所以，所以，又，所以，整理得．（2）因为，，所以．因为为菱形，所以，所以因为，，所以中点坐标为，所以联立方程组，解得，所以．【变式1】已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（

）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】法一：分直线过原点和不过原点讨论，当直线过原点时，由直线的斜率得到方程，当直线不过原点时，由截距式方程得到直线方程；法二：分直线过原点和直线斜率为1两种情况讨论，由直线的点斜式方程得到直线方程.【详解】法一：当直线过原点时，斜率为，则直线方程为；当直线不过原点时，设直线方程为，代入点，得，解得，故直线方程为．综上所述，直线方程为或．法二：因为直线在两个坐标轴上的截距互为相反数，所以直线过原点或直线斜率为1．当直线过原点时，直线斜率为，则直线方程为；当直线斜率为1时，直线方程为，即．综上所述，直线方程为或．故选：D．【变式2】（24-25高二上·江苏常州·期末）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据垂直关系，以及点斜式直线方程，即可求解.【详解】，所以边上的高所在直线的斜率为，所以边上的高所在直线的方程为，即.故选：A【变式3】（25-26高二上·江苏盐城·月考）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为．(1)若边上的高所在的直线方程为，求直线的方程；(2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由求得，由点斜式求得直线的方程；（2）设点，得线段的中点的坐标，将其代入直线的方程，将点代入直线的方程，分别可得的方程，求解得坐标，求出点关于直线对称点，由三点共线求出，进而可得直线的方程．【详解】（1）∵直线的方程为，其斜率为，∵，∴，又，∴由点斜式得直线的方程为，即.（2）设点，则线段的中点为，将其代入所在直线方程中，得，将点代入所在的直线方程中，得，解得，即，设点关于直线对称点为，则，得，即，因三点共线，则，所以直线所在的直线方程为，即．题型四直线过定点问题解｜题｜技｜巧直线系过定点问题核心解题技巧是分离参数法，同时可结合特殊值法辅助验证。1.将直线方程中含参数的项与不含参数的项分离开，整理为参数×含参代数式+不含参代数式=0的形式，即λ⋅f(x,y)+g(x,y)=0（其中λ为参数，f(x,y)、g(x,y)为关于x、y的代数式）。2.联立方程：由于参数λ可取任意实数，要使等式恒成立，需满足含参项和不含参项同时为0，即联立方程组后解方程组即可求解【典例1】已知直线：.则直线经过定点【答案】【分析】转换为恒等式成立问题，由恒等式成立的条件解方程组即可得解.【详解】因为，所以，所以，解得，所以直线恒过定点；【变式1】（23-24高二上·江苏南通·期末）直线经过的定点坐标为.【答案】【分析】把方程化为关于的等式，然后由恒等式知识求解．【详解】已知直线方程化为，由得，所以直线过定点．故答案为：．【变式2】（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（

）A．恒过点 B．恒过点C．恒过点和点 D．恒过点和点【答案】A【分析】将方程化为，令的系数等于0，即可得到答案.【详解】，，令，解得，即方程所表示的直线恒过定点．故选：．题型五根据两条直线平行或垂直关系求参数解｜题｜技｜巧1、若两条直线的方程为，有(1)且;(2)与重合且;(3)与相交；(4);2、特别指出:上述给出的为斜截式方程，其斜率心定存在，在一般情况下有：(1)两条直线或均不存在，直线或中一个为零，另一个不存在.3.若直线不为零)，有：(1)且;(2);(3)与相交;(4)与重合且.【典例1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线，若，则的值为（）A． B．3 C．-1 D．3或-1【答案】A【分析】根据直线平行公式计算求参.【详解】当或时两直线不平行，当且时，因为，所以，故选:A．【变式1】已知直线与，则“”是“”的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】利用两直线垂直的充要条件得到，从而得到或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解.【详解】当直线与垂直时，，即，解得或，所以可以推出，但推不出，即“”是“”的充分不必要条件，故选：A.【变式2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知，若，则a的值为（

）A． B． C．1 D．或1【答案】C【分析】根据两直线平行的公式求解即可.【详解】若，则，即，解得或.当时，满足；当时，重合；故.故选：C【变式3】（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）已知直线直线则（

）A．在y轴上的截距为 B．恒过点C．当时 D．当时，【答案】AC【分析】利用截距概念可判断A；根据直线方程可判断B；利用两直线垂直时，斜率之积为可判断C；举反例可判断D.【详解】对于A即故直线在y轴上的截距为故A正确；对于B即令可得即直线恒过点故B错误；对于C，当时，即故故C正确；对于D，当时，令此时直线与直线重合，两直线不平行，故D错误.故选：AC.题型六两直线的交点问题解｜题｜技｜巧直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解【典例1】直线与直线相交，则m的取值范围为．【答案】【详解】因为直线与直线，即相交，所以，解得.所以m的取值范围为.故答案为：【变式1】（24-25高二上·江苏宿迁·阶段练习）若直线：与：的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是.【答案】【详解】由题意可知，联立方程组可得交点的坐标为；又因为点在第一象限，所以，解得.即直线的斜率取值范围为，设其倾斜角为，即，所以倾斜角的取值范围是.故答案为：.【变式2】下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数的值．【详解】当直线平行于时，．当直线平行于时，，当平行于时，，无解．当三条直线经过同一个点时，把直线与的交点，代入，得，解得：或，综上，满足条件的的集合为为.故选：C．题型七平面中点线距离公式及其应用解｜题｜技｜巧1、平面上任意两点，间的距离公式为2、点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))3、两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【典例1】（24-25高二上·江苏徐州·期末）两条平行直线与间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线平行的充要条件求出，再由平行线间的距离公式求解.【详解】因为直线与平行，所以且，解得，所以直线方程为与，故，故选：C【变式1】已知点P−2,−1和直线l:1+2λx+1−3λy+λ−2=0，则点P【答案】13【分析】先求得直线l的定点A1,1，分析可得PA⊥l时，点P到直线l【解析】由l:1+2λ即2x−3y+1λ+x+y−2=0令2x−3y+1=0x+y−2=0，解得x=1则直线l恒过定点A1,1当PA⊥l时，点P到直线l的距离最大，此时最大距离为PA=故答案为：13.【变式2】当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______.【答案】【分析】两直线平行且垂直于时，距离最大【详解】由可得过定点，由可得过定点.又两直线斜率相等，可知两直线平行且垂直于时，距离最大，最大值即为两点间的距离.故答案为：【变式3】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解.【详解】，表示平面上点与点，的距离和，连接，与轴交于，此时直线方程为，令，则的最小值为，此时故选：C．题型八平面内点与直线间的对称问题解｜题｜技｜巧1、点关于直线对称问题步骤：求点关于直线：的对称点①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：：中；②整理得：2.（1）直线：：（）和：：（）相交,求关于直线的对称直线①求出与的交点②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点③根据，，两点求出直线（2）直线：：（）和：：（）平行,求关于直线的对称直线①②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.【典例1】（24-25高二上·江苏扬州·期末）点关于直线的对称点坐标为．【答案】【分析】设对称点为，由题意可得，求解即可.【详解】设，则中点坐标为，又和关于直线对称，所以有，解得，即对称点坐标为.故答案为：．【变式1】点关于直线的对称点的坐标为．【答案】【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得，即点关于直线的对称点的坐标为.【变式2】已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为.【答案】或【详解】直线交轴于点，交轴于点，设直线的方程为，则关于直线的对称点在轴上，所以，则的中点在直线上，所以①，又②，联立①②可得或，所以直线的方程为或.故答案为：或.【变式3】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为．(1)求点关于直线的对称点的坐标；(2)求第三个顶点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点关于直线对称列方程组求点即可；（2）根据点关于直线对称列方程组求点即可.【详解】（1）设点关于直线的对称点的坐标为，则有，解得，故点的坐标为（2）设，则有，解得，故点的坐标为.【变式4】直线关于直线对称的直线方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果.【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为，则,故对称点坐标为，代入直线上，，故选：D【变式5】（25-26高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线，且点在直线上，．(1)求直线的方程；(2)若点与点关于直线对称，求证：点在轴上．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由，求得直线的斜率，利用点斜式求出方程；（2）联立直线与直线的方程求出点，利用中点坐标公式求解.【详解】（1）因为，即，所以直线的斜率为.设直线的斜率为，因为，所以，所以.所以直线的方程，即.（2）因为，所以，即.设，则，所以，即.因为，所以点在轴上.题型九直线方程与面积的综合应用解｜题｜技｜巧对于直线，令；令，则面积（1）解题时注意很容易忽略绝对值而造成错误；（2）常设计基本不等式，转化为二次函数等方法求面积最值或范围【典例1】已知一条动直线，直线l过动直线的定点P，且直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．(1)是否存在直线l满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．(2)当取得最小值时，求直线l的方程．【答案】(1)存在，3x＋4y－12＝0(2)3x＋3y－10＝0【分析】（1）将直线方程化为，再根据定点满足条件列式，再设直线l的截距式方程，代入定点P，再分别表示△AOB的周长和面积，求解参数即可；（2）由（1）直线l的倾斜角，再根据三角函数表达出，令，再根据三角函数的范围与函数的单调性求解即可.【详解】（1），即，由，解得，故动直线过定点．设直线l的方程为，将代入得．①由A（a，0），B（0，b），△AOB的周长为12，面积为6，得，令a＋b＝t，则，所以，即，化简得24t＝168，解得t＝7，所以有，解得或．其中不满足①，满足①．所以存在直线l的方程为，即3x＋4y－12＝0满足条件．（2）由（1）可知直线l过定点，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，所以直线l的倾斜角，所以，，所以，②令，因为，所以，所以，所以．则，因为在上为减函数，所以在上为增函数，故当，即时，取得最小值．此时直线l的方程为，即3x＋3y－10＝0．【变式1】（24-25高二上·江苏·专题练习）已知直线l：．（1）若直线不经过第二象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．【答案】（1）（2）【详解】（1）由方程可知：时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：，．直线不经过第二象限，，解得当时，直线变为满足题意．综上可得：k的取值范围是；（2）由直线l的方程可得，．由题意可得，解得．当且仅当时取等号．的最小值为4，此时直线l的方程为．【变式2】（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知直线.(1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程；(2)求证：直线恒过定点；(3)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值.【答案】(1)(2)证明见解析(3)6【分析】（1）先求出点关于直线的对称点，再求出直线的方程即可；（2）将直线的方程化为，再解方程组即可；（3）求出坐标，结合不等式即可.【详解】（1）时，，设点关于直线的对称点，则，，得，即，则直线的斜率为，则直线的方程为，故反射光线所在直线的方程为；（2）直线的方程可化为，，得，则直线恒过定点；（3），令，得，令，得，因直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，则，，，，得或，则利用可得，，等号成立时，则，故的最小值为.期末基础通关练（测试时间：45分钟）1．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是（

）A．2 B． C． D．－2【答案】C【分析】利用直线斜率公式直接进行求解即可.【详解】因为直线l经过两点，，所以直线l的斜率是，故选：C2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据两直线方程垂直，分类求解的值.【详解】若则直线与垂直，满足题意，若则,则.综上所述，则或.故选：C3．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】B【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果.【详解】因为，所以,故因此该三角形为直角三角形.故选：B.4．若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得.【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即；当时，直线的斜率存在，则或，解得或；综上所述，实数的取值范围是.故选：B.5．（24-25高二上·江苏无锡·期末）若直线和直线平行，则直线与直线间距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先讨论直线的斜率不存在时，检验两直线是否平行，再讨论直线的斜率存在时，两直线平行，斜率相等，即可求得的值，再利用两条平行线之间的距离公式即可求解.【详解】由题可知直线的斜率一定存在，且为，若，则直线的斜率不存在且方程为：，即，直线：，即，此时直线与直线不平行，舍去；若，则直线的斜率存在，且为，，，即，或，当时，，，两直线重合，不符合题意，舍去；当时，，，两直线平行.则直线与直线之间距离为：.故选：C.6．（24-25高二上·江苏·期末）若点A−3,−4,B6,3到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则实数aA．79 B．C．−79或−13 【答案】C【分析】利用点到直线的距离公式得到方程，解得即可.【详解】点到直线的距离公式得−3a−4+1a2+1=6a+3+1故选：C.7．（多选）（24-25高一下·江苏南京·期末）下列说法错误的是（

）A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示B．方程表示的直线斜率一定存在C．经过点，倾斜角为的直线方程为D．经过两点，的直线方程为【答案】AC【分析】根据特殊值法判断A，C，应用一般式求斜率判断B，结合直线的两点式判断D.【详解】A选项中直线在两坐标轴上的截距相等，但不能用表示，所以A选项错误；B选项，方程表示的直线斜率为，所以B选项正确.C选项中若则直线斜率不存在，直线不能用点斜式表示，故C错.D选项，结合直线方程两点式可知，D选项正确.故选：AC8．（多选）（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，，下列选项正确的有（

）A．若，则斜率不存在 B．若不经过第三象限，则C．若，则或 D．若，则【答案】BC【分析】综合运用直线的点斜式，两直线平行、垂直的充要条件进行判断即可.【详解】对于A，当时，则，则，所以的斜率为0，故A错误；对于B，由，可得，若不经过第三象限，则，故B正确；对于C，若，则，解得或，故C正确；对于D，若，则直线，，两直线与重合，故D错误．故选：BC.9．（24-25高二上·江苏苏州·期末）若直线与垂直，则．【答案】1【分析】利用两直线垂直的充要条件计算即可求得的值.【详解】直线与垂直，所以，解得.故答案为：.10.（24-25高二上·江苏南京·期末）已知点在直线上的运动，则的最小值是______【答案】【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.【解析】表示点与距离的平方，因为点到直线的距离，所以的最小值为．故答案为：11．（24-25高二上·江苏盐城·期末）（1）求过，且与直线平行的直线的方程.（2）已知的三个顶点，，，求边上的高所在的直线方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据直线的平行关系，可得所求直线斜率，运用点斜式方程，即可求得；（2）根据直线的垂直关系，可得所求直线斜率，运用点斜式方程，即可求得.【详解】（1）已知直线的斜率是，因为所求直线与已知直线平行，所以所求直线的斜率也是，根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为，即；（2）由两点式，可得，边上高所在直线方程的斜率，的高所在直线的直线方程，即.12．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知直线：（a为实数），与相交于点M．(1)若过点M，求a的值；(2)设直线过定点N，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）联立直线求得交点，代入求参数值即可；（2）根据直线确定直线过定点，再应用两点距离公式求.【详解】（1）由，得，即，因为过点，所以，即．（2）因为，所以直线过定点，所以.期末重难突破练（测试时间：40分钟）1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，又因为直线过点，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，当直线不过原点时，设直线方程为，因为点在直线上，所以，解得，所以直线方程为，故所求直线方程为或.故C项正确.2．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析得直线过定点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式计算可得结果.【详解】由得，由得，故直线过定点.记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值，最大值为.故选：D.3．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知，，，均为实数，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，进而可得点的轨迹方程为两平行直线，可求最小值.【详解】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，又点是直线上的动点，点是直线上的动点，且直线与直线平行，所以的最小值即为直线与直线之间的距离，所以的最小值为.故选：B.4.（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）设为实数，直线的方程为，则下列说法正确的是（

）A．当变化时，恒过定点B．若，则在轴，轴上的截距之和为4C．若，则的斜率为1D．当时，点关于直线的对称点坐标为【答案】AC【分析】对于A，将直线方程转化为，由解方程组即可；对于B，求出直线在轴，轴上的截距即可；对于C，化为斜截式即可得解；对于D，根据点关于直线的对称的求法，求得对称点的坐标.【详解】对于A项，直线的方程为化为，由，解得，所以直线恒过定点，A正确；对于B项，时，，令，，令，，此时在轴，轴上的截距之和为，B错误；对于C项，由B项可知，故的斜率为1，C正确；对于D项，时，，设关于直线对称点坐标为，则，解得，即点关于直线的对称点坐标为，D错误.故选：AC5．（多选）（24-25高二上·江苏宿迁·期末）下列说法中正确的有（

）A．直线过定点B．点关于直线的对称点为C．两条平行直线与之间的距离为D．当实数时，直线和互相垂直【答案】BCD【分析】对于A，由直线过定点，按参数整理，令参数的系数为0求解即可；对于B，利用点关于直线的对称的性质求解；对于C，利用平行线之间的距离公式求解；对于D，利用直线垂直的系数关系判定即可.【详解】对于A，，，故直线过定点，故A错误；对于B，设点关于直线的对称点为,则即点关于直线的对称点为，B正确；对于C，，，故C正确；对于D，时，，故直线和互相垂直，故D正确；故选：BCD.6．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点在直线上，点，则当的周长取得最小值时，点的坐标为.【答案】【分析】因为为定值，所以当的周长取得最小值时，即取得最小，转化为“将军饮马”问题，即可求解.【详解】解：因为为定值，所以当的周长取得最小值时，即取得最小，设点关于直线的对称点为，连接交直线于点，此时取得最小，如图所示：则，解得，得，因为点，故所求点.故答案为：7．已知直线和点．(1)在直线l上求一点P，使的值最小；(2)在直线l上求一点P，使的值最大；(3)若点B的坐标变为，再分别求（1），（2）问中的结果．【答案】(1)P点坐标为(2)P点坐标为(3)当P点坐标为时，的值最小；当P点坐标为时，的值最大【分析】（1）求出点A关于直线l对称点坐标，根据三点共线时，的值最小，求出直线的方程，与直线l联立，即可得答案.（2）因为点A、B在直线l同侧，分析可得当三点共线时，的值最大，求得直线AB方程，与直线l联立，即可得答案.（3）若点B的坐标变为，此时A、B在直线l的两侧，当三点共线时，的值最小，求出直线AB方程，与直线l联