专题02 圆与方程（10知识11题型分层验收）（期末复习讲义）（原卷版）

3/3专题02圆与方程（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律圆的方程回顾利用相关条件写出圆的标准方程或圆的一般方程的方法，掌握相关点法求解轨迹方程基础考点，常出现在选择题，填空题点与圆、直线与圆的最值问题回顾能在几何图形中转化距离最值问题，能在几何图形中转化距离最值问题重点考点，常出现在选择题，填空题，解答题直线与圆的位置关系回顾几何法代数法判断直线与圆的3种位置关系，能熟练运用相应的位置关系求参数，掌握几何法与代数法解决圆中弦长问题基础考点，常出现在选择题，填空题切线问题回顾圆切线方程的一般求解步骤，能区分过圆外一点引切线或圆上的点引切线，掌握与切线有关的最值问题的解题方法基础考点，常出现在选择题，填空题，解答题圆与圆的位置关系回顾几何法判断圆与圆的5种位置关系，并且掌握根据相应的位置关系求参数的方法，掌握公共弦的求解方法基础考点，常出现在选择题，填空题知识点01圆的标准方程与一般方程1.我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.2.对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；②当时，方程表示一个点③当时，方程不表示任何图形说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③知识点02点与圆的位置关系判断点与：位置关系的方法:（1）几何法（优先推荐）设到圆心的距离为，则①则点在外②则点在上③则点在内（2）代数法将点带入：方程内①点在外②点在上③点在内知识点03圆上的点到定点的最大、最小距离设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;①若点在外，则;②若点在上，则;③若点在内，则;知识点04求与圆有关的轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3、求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；（2）列出关于的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．4、根据题设条件的不同常采用以下方法：（1）直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；（2）定义法，根据圆、直线等定义列方程；（3）几何法，利用圆的几何性质列方程；（4）代入法（相关点法），找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式知识点05直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系判断（1）几何法判断直线与圆的位置关系：直线与圆，圆心到直线的距离=1\*GB3①直线与圆相离无交点；=2\*GB3②直线与圆相切只有一个交点；=3\*GB3③直线与圆相交有两个交点.（2）代数法判断直线与圆的位置关系：联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断：=1\*GB3①当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；=2\*GB3②当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；=3\*GB3③当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；知识点06直线与圆相交时的弦长求法记直线被圆截得的弦长为的常用方法1、几何法（优先考虑）①弦心距（圆心到直线的距离）②弦长公式：2、代数法直线：；圆联立消去“”得到关于“”的一元二次函数弦长公式：知识点07直线与圆相切1、圆的切线条数①过圆外一点，可以作圆的两条切线②过圆上一点，可以作圆的一条切线③过圆内一点，不能作圆的切线2、过一点的圆的切线方程（）①点在圆上步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点）②点在圆外记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出（注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为）3、切线长公式记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；知识点08圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系与判定(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.2、圆与圆的位置关系与判定（1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d（2）代数法设::联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其①与设设相交②与设设相切（内切或外切）③与设设相离（内含或外离）知识点09圆与圆的公共弦1、圆与圆的公共弦圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.2、公共弦所在直线的方程设::联立作差得到：即为两圆共线方程3、公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．知识点10与圆有关的最值问题的求解方法（1）借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题.（2）建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.（3）求解形如|PM|＋|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.题型一求圆的方程解｜题｜技｜巧核心方法：待定系数法1.抓核心量：锁定“圆心坐标”和“半径”，选标准式（几何特征）或一般式（代数运算）。2.条件对应法：知圆心/半径/切线/弦：用圆的标准方程，结合几何性质（垂直平分线、点到线距离）列方程；知三点/截距：用圆的一般方程，代入坐标解方程组。易错提醒：一般式需验证（D2+E2-4F>0)，圆心坐标注意符号。【典例1】已知的圆心C在x轴上，且与x轴相交于坐标原点O和，则的方程为（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知直线恒过点P，则以点P为圆心，为半径的圆的方程为（）A． B．C． D．【变式2】（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，．(1)设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程；(2)求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程．题型二利用圆的一般方程条件求参解｜题｜技｜巧对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；②当时，方程表示一个点③当时，方程不表示任何图形说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；【典例1】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）方程表示一个圆，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1】已知圆的方程为，若圆O的半径小于8，则的取值范围是（）A． B．C． D．【变式2】（多选）已知方程，则下列说法正确的是（）A．方程表示圆，且圆的半径为1时，B．当时，方程表示圆心为的圆C．当时，方程表示圆且圆的半径为D．当时，方程表示圆心为的圆题型三轨迹方程解｜题｜技｜巧1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3、求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；（2）列出关于的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．【典例1】已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【变式1】已知两点，.若动点M满足，则“”是“动点M的轨迹是圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式2】已知圆过三个点.（1）求圆的方程；（2）过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹.【变式3】（25-26高二上·江苏·期中）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点．(1)求圆的方程；(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹．题型四直线与圆的位置关系解｜题｜技｜巧；。圆心到直线的距离：。①圆与直线相交。②圆与直线相切。③圆与直线相离。【典例1】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知圆：若直线(斜率存在)与圆相交于，两点，且弦的长为，求.【变式1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线被圆截得的弦长为，则的值为.【变式2】（24-25高二上·江苏南京·期末）若上恰有个点到直线的距离为．则实数的取值范围为．题型五圆的切线问题解｜题｜技｜巧圆切线方程的求法①点在圆上步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点）②点在圆外记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出（注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为）【典例1】过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或【变式1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知圆，直线过点且与圆相切，若与两坐标轴交点分别为、，则.【变式2】过点P(−1,33)作圆C:x2+y2A．2π B．3π2 C．4题型六圆的弦长问题解｜题｜技｜巧1.直线与圆相交的弦长的两种求法（1）代数法：将直线和圆的方程联立，整理得到一个一元二次方程，根据弦长公式求弦长.弦长公式：（2）几何法：若弦心距为，圆的半径为，则弦长.2.过圆内定点的弦长最值已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦【典例1】（23-24高二上·江苏泰州·期末）直线被圆截得的弦长为【变式1】（23-24高二上·江苏扬州·期末）过点的被圆所截的弦长为的直线方程为．【变式2】（23-24高二上·江苏·期末）设直线与圆相交于A，B两点，则弦长的最小值是.【变式3】（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知直线：，圆：.(1)若不经过第三象限，求的取值范围；(2)当圆心到直线的距离最大时，求此时直线的方程.题型七圆与圆的位置关系解｜题｜技｜巧几何法【典例1】（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系.【变式1】（多选）已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（

）A．的轨迹方程为B．过点作圆的一条切线，则切线长最短为2C．圆和圆有两条公切线D．的最大值为【变式2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为，则（

）A． B．2 C． D．3题型八两圆公共弦方程解｜题｜技｜巧1、圆与圆的公共弦圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.2、公共弦所在直线的方程设::联立作差得到：即为两圆共线方程3、公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．【典例1】圆x2+y2−4=0A．2 B．22 C．32 【变式1】（多选）若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有A． B．直线的方程为 C．中点的轨迹方程为 D．圆与圆公共部分的面积为【变式2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）过点作圆的切线，切点为A、B，则过切点A，B的直线方程为．题型九与圆有关的最值问题解｜题｜技｜巧与圆有关的最值问题的常见题型1.斜率型形如形式的最值问题，可转化为过点和的动直线斜率的最值问题．2.截距型形如形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题．3.距离型（1）形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．（2）形如形式的最值问题，可转化为动点到定直线的距离的最值问题．4.圆上动点与定点的最值问题圆上的动点有关的最值，可以转化为与圆心有关，通过加减半径解决5.直线上动点与圆心的最值问题直线动点与圆上点的最值关系，可以转化为圆心到直线的距离6.切线长的最值问题多通过切点三角形，转化为到圆心的距离问题【典例1】（1）（23-24高二上·江苏南京·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为．（2）（24-25高二上·江苏南京·期末）已知实数满足关系：，则的最小值．【变式1】（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为．【变式2】已知实数x，y满足，则的取值范围为.【变式3】（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）已知实数x，y满足，则（

）A．的最小值为-5 B．的最大值为9C．的最大值为 D．的最小值为题型十阿氏圆问题解｜题｜技｜巧定义：平面上给定两点,设点在同一平面上满足，当且时，点的轨迹是圆，称之为阿波罗尼斯圆。(时，点的轨迹是线段的中垂线)定理：为两已知点，分别为线段的定比的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为【典例1】（多选）（24-25高二上·江苏镇江·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（

）A．曲线C与圆有且仅有三条公切线B．曲线C关于直线对称的曲线方程为C．若点在曲线C上，则的取值范围是D．在x轴上存在异于A，B的两点E，F，使得【变式1】（多选）（24-25高二上·江苏·期末）若两定点，动点满足，则下列说法正确的是（

）A．点的轨迹所围成区域的面积为B．面积的最大值为24C．点到直线距离的最大值为9D．若圆上存在满足条件的点，则的取值范围为【变式2】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（

）A．C的方程为 B．在C上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为10C．在C上存在点M，使得 D．C上的点到直线的最大距离为9题型十一圆方程的综合解｜题｜技｜巧结合具体问题分析，注意范围限制与分类讨论【典例1】（24-25高二上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，点，圆的半径为，且圆心在直线：上．(1)若半径，圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；(2)若半径，圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．【变式1】（23-24高二上·江苏·期末）已知点M是直线l:上一动点，过点M作圆O:切线，切点分别为P，Q.(1)当OM的值最小时，求切线方程;(2)试问:直线PQ是否过定点?若过，求出该定点；若不过，请说明理由.【变式2】（24-25高二上·江苏·专题练习）已知圆的半径为3，圆心在直线上，点.(1)若圆心在轴上，过点A作圆的切线，求切线方程；(2)若在圆上存在点，满足（为坐标原点），求圆心的横坐标的取值范围.【变式3】（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知点，是圆上的一动点，点是线段的中点．(1)求点的轨迹方程；(2)已知、是直线上两个动点，且．若恒为锐角，求线段中点的横坐标取值范围．期末基础通关练（测试时间：40分钟）1．（24-25高二上·江苏泰州·期末）圆的圆心为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知直线恒过点P，则以点P为圆心，为半径的圆的方程为（）A． B．C． D．3．（24-25高二上·江苏南通·期末）直线被圆截得的弦长为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（24-25高二上·江苏扬州·期末）设，为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（

）A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定5．（24-25高二上·江苏淮安·期末）设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定6．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知圆：，：，则两圆的位置关系为（

）A．相交 B．外切 C．内切 D．内含7．（多选）（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆与圆，下列选项正确的有（

）A．若，则两圆外切B．若，则直线为两圆的一条公切线C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为D．若，则两圆公共弦的长度为8．（多选）（24-25高二上·江苏徐州·期末）若圆：与圆：的交点为，，则（

）A．公共弦所在直线方程为B．线段中垂线方程为C．过点作圆：的切线方程为D．若实数，满足圆：，则的最大值为29．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆和圆，则的公切线共有条.10．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角