6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册

第六章

计数原理6.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理图解课标要点教材帮

新知课丨必备知识解读知识点1

分类加法计数原理定义推广.

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.学思用·典例详解图6.1-1例1-1

[教材改编P11习题6.1

T3]在如图6.1-1所示的电路（规定只能闭合其中一个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有___种.5【解析】

要完成的事是闭合开关使灯泡发光，完成这件事的方案可分两类：

图6.1-2

将电路图变形，如图6.1-2所示，图中有5个开关，闭合其中任意一个开关，均能接通电源使灯泡发光，因此有5种方法.知识点2

分步乘法计数原理定义推广.

.知识剖析

理解分步乘法计数原理的关键点（1）定性：①明确要完成的事及怎样才算完成这件事；②完成这件事要经过几步，每步中有哪些方法.（2）相关性：①完成这件事需要分成若干个步骤；②只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任一步骤，这件事都不可能完成.（3）分步（这是利用分步乘法计数原理解题的关键.）：①分步标准必须明确，一般地，分步的标准不同，分成的步骤数也会不同；②要注意各步骤之间必须连续；③各步骤之间既不能重复，也不能遗漏.#1.1.1.3.

.学思用·典例详解例2-2

(2025·天津市第二十五中学月考)在如图6.1-3所示的电路（规定只能闭合其中2个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有___种.6图6.1-3

知识点3

两个计数原理的联系与区别分类加法计数原理分步乘法计数原理联系回答的都是有关完成一件事的不同方法种数的问题区别针对的是“分类”问题针对的是“分步”问题其中各种方法相互独立各个步骤中的方法互相依存用其中任何一种方法都可以做完这件事只有每一个步骤都完成才能完成这件事知识剖析

用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（1）要完成的“一件事”是什么及怎样才算完成这件事；（2）需要分类还是需要分步．.

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分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.

分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤才能完成这件事．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.（有些问题既有分类也有分步，可以根据题意画出流程图，直观解决问题）学思用·典例详解图6.1-4

DA.4

B.5

C.9

D.10【解析】首先电路接通分两类（每类中需要分步，先

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.方法帮

解题课丨关键能力构建题型1

分类加法计数原理的应用例4

[教材改编P11练习T2]在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是(

)BA.18

B.36

C.72

D.48【解析】

（按十位上的数字分类）

按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．

（按个位上的数字分类）

按个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．

20

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.图6.1-5

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.应用分类加法计数原理解题的一般思路【学会了吗丨变式题】1.[教材改编P5

T1（1）]解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人解这道题目，则不同的选法共有(

)AA.10种

B.21种

C.24种

D.36种

12

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题型2

分步乘法计数原理的应用1

可重复选取问题例6

[教材改编P12

T8]（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？【解析】依次确定4名同学的选报项目,第一名同学在三项运动中选择一项，有3种选法，同理，第二、三、四名同学也都有3种选法.（每个人都要报项目，分步标准为人）

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.（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每个项目只有一个冠军且每名同学可夺得多项冠军），共有多少种可能的结果？

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.名师点评

用分步乘法计数原理求解此类对象可重复选取的问题时,哪类对象必须“用完”就以哪类对象作为分步的标准.2

不可重复选取问题例7

(2025·福建省泉州市期中)将3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子内至多放1个小球，不同的放法种数有(

)BA.36

B.60

C.64

D.81【解析】

以小球为研究对象，分三步完成.

以盒子为研究对象，盒子序号记为1,2,3,4,5.

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.应用分步乘法计数原理解题的一般思路【学会了吗丨变式题】3.[教材改编P7

T5]（1）用数字7,8,9可以组成多少个三位数？

（2）用数字7,8,9可以组成多少个没有重复数字的三位数？

以个位数字，十位数字，百位数字的顺序分三步.题型3

计数问题中间接法的应用

14

（间接法）

分两步：

利用间接法求计数问题的着手点间接法体现了“正难则反”的思想.当问题从正面考虑的情况较多,而从反面考虑的情况较少,且容易计数时,宜采用间接法,即先求出方法总数,再减去不符合条件的方法数或重复计数的方法数.对于含有“至少”“不少于”“不超过”等关键词的题目，要从正面和反面去比较，当用直接法不易求解时，可采用间接法求解.【学会了吗丨变式题】图6.1-6

63【解析】电路不通可能是由一个或多个焊接点脱落造成的，问题比较复杂.但电路通的情况只有一种（电路焊接点的所有情况减去电路通的情况就是电路不通的情况），即各个焊接点均未

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.题型4

两个计数原理的综合应用解决较为复杂的计数问题，一般要将两个计数原理综合应用.

使用时要做到目的明确,层次分明,先后有序,还需特别注意以下两点:（1）合理分类,准确分步:处理计数问题,应紧扣两个计数原理,首先弄清楚是“分类”还是“分步”,其次搞清楚“分类”或“分步”的标准,做到合理分类,准确分步.（2）特殊优先,一般在后:解含有特殊元素、特殊位置的计数问题时,优先安排特殊元素,优先确定特殊位置,再考虑其他位置，体现出解题过程中特殊与一般的思想.1

“类中有步”计数问题例9

新情境

十二生肖(2025·辽宁省本溪市高级中学月考)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学每个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有(

)BA.30种

B.50种

C.60种

D.90种

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.“类中有步”计数问题的解题策略用流程图描述计数问题，“类中有步”的情形如图6.1-7所示.图6.1-7

【学会了吗丨变式题】图6.1-8

BA.8种

B.12种

C.16种

D.24种

2

“步中有类”计数问题例10

(2025·河北省承德市高新区第一中学期中)将3种农作物全部种植在如图6.1-9所示的5块试验田里，每块试验田种植1种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，不同的种植方法共有____种.图6.1-942

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.“步中有类”计数问题的解题策略用流程图描述计数问题，“步中有类”的情形如图6.1-10所示.#2.2图6.1-10

【学会了吗丨变式题】图6.1-116.[教材改编P27

T17](2025·江西省南昌中学期末)如图6.1-11，一个地区分为5个区域，现给5个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有____种．72【解析】先给①②③号区域涂色，分别有4种、3种和2种涂色方法.再给④号和⑤号区域涂色，

题型5

计数时常见棘手问题之“多面手”例11

在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋．现在从这7人中选1人参加象棋比赛，另选1人参加围棋比赛，共有多少种不同的选法？图6.1-12【解析】

画出示意图，如图6.1-12所示，既会下象棋又会下围棋的“多面手”有2名学生（对应图6.1-12中的阴影部分），从参加象棋比赛的1名学生入手进行分类，可分两类：

第2类，参加象棋比赛的1名学生来自2名“多面手”学生，

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考虑“多面手”参赛人数，分三类完成这件事：

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【学会了吗丨变式题】7.某旅行社共有5名专业导游，其中3人会英语，3人会日语，若在同一天要接待3个不同的外国旅游团，其中有2个旅游团要安排会英语的导游，1个旅游团要安排会日语的导游，则不同的安排方法种数有(

)CA.12

B.13

C.14

D.15

题型6

两个计数原理与其他知识的综合1

数列

（1）这个数列共有多少项？【解析】由题意知这个数列的项数就是由1,2,3,4四个数字组成的可有重复数字的三位数的个数.

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.2

立体几何图6.1-13

DA.4

B.8

C.12

D.16图6.1-14

3

古典概型

A

名师点评

求解古典概型的关键在于样本点个数的计算，而两个计数原理恰好为计算样本点的个数提供了便捷的途径.因此，计数原理与古典概型的结合可谓是完美搭配，之后还会遇到古典概型的问题，此处给出基础试题作出铺垫.新考法·思维创新计数原理中的正因数问题例15

(2025·安徽省安庆市联考)324共有多少个不同的正因数？所有这些正因数的和是多少？

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.高考帮

考试课丨核心素养聚焦考情揭秘高考主要考查对两个计数原理的理解和应用，解题的关键是对“类”与“步”的正确区分.一般以选择题或填空题的形式呈现，试题难度中等.核心素养：逻辑推理（“类”与“步”的区分）、数学抽象（将文字语言具象为数学算式）、数学运算（通过计数求得结果）考向

两个计数原理的应用

11213140122233421322334315243444图6.1-1524112

9

图6.1-16

图6.1-17

高考新题型专练1.新情境

绿色出行［多选题］(2025·重庆市月考)某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：票价/元234现有甲、乙两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是(

)BDA.若甲和乙两人共花费5元，则甲和乙下地铁的方案共有9种B.若甲和乙两人共花费5元，则甲和乙下地铁的方案共有18种C.若甲和乙两人共花费6元，则甲和乙下地铁的方案共有9种D.若甲和乙两人共花费6元，则甲和乙下地铁的方案共有27种

ABD

练习帮

习题课丨学业质量测评A

基础练丨知识测评建议时间：30分钟1.[教材改编P5例3]某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有

(

)BA.24种

B.9种

C.3种

D.26种

CA.30个

B.42个

C.36个

D.35个

3.(2025·江苏省南京市期末)6名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的1个，不同的选法种数是(

)B

4.(2025·陕西省西安市期中)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(

)D

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.5.［多选题］(2025·山东省菏泽市月考)现有3名老师、8名男同学和5名女同学共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是(

)ABCA.只需1人参加，有16种不同选法B.若需老师、男同学、女同学各1人参加，则有120种不同选法C.若需1名老师和1名同学参加，则有39种不同选法D.若需3名老师和1名同学参加，则有56种不同选法

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.6.新定义

渐降数

用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，则上述四位数中“渐降数”的个数是____．15

6图6.1-1

18

8.某职业学校外贸专业高二（1）班、（2）班、（3）班分别有7，9，10人参加技能兴趣选拔赛．（1）如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？

（2）如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？

（