6.2 排列与组合-6.2.3组合 6.2.4组合数 课件-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册

第六章

计数原理6.2

排列与组合6.2.3组合

6.2.4组合数图解课标要点教材帮

新知课丨必备知识解读知识点1

组合1

组合的定义

（3）相同的组合和不同的组合：只要两个组合的元素完全相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合;如果两个组合的元素不完全相同，那么这两个组合就是不同的组合.2

排列与组合的异同及区分方法

（1）排列与组合的异同点（【教材链接】此处回答了教材第21页【思考】）排列组合相同点不同点与元素的顺序有关.与元素的顺序无关.

（2）排列问题和组合问题的区分方法排列问题若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.组合问题若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关..

..

.学思用·典例详解例1-1

判断下列各事件是排列问题还是组合问题：（1）从10个人里选3人去开会，有多少种选法？【解析】从10个人里选3个人即可，不需要考虑顺序，所以是组合问题.（2）从10个人里选出3人担任3个不同学科的课代表，有多少种选法？【解析】从10个人里选3个人，这3个人担任3个不同学科的课代表，需要考虑顺序，所以是排列问题.

【解析】

（顺序后移法）

按顺序用如图6.2.3-1所示的方法将各个组合逐个标出来.图6.2.3-1

图6.2.3-2

画出树形图，如图6.2.3-2所示.

知识点2

组合数与组合数公式1

组合数的概念

.

..

.2

组合数公式

学思用·典例详解例2-3

(2025·陕西省西安市期末)6个朋友聚会，每两人握手1次，则一共握手的次数是(

)B

BA.20

B.30

C.42

D.72

BA.9

B.18

C.28

D.36

释疑惑

重难拓展知识点3

组合数的两个性质

学思用·典例详解

DA.6

B.8

C.12

D.8或12

.

.例3-6

证明组合数的两个性质.

BA.11

B.12

C.13

D.14

方法帮

解题课丨关键能力构建题型1

组合数的相关计算与证明例8

解方程：

.

..

.

.

.

【学会了吗丨变式题】

84

.

.题型2

无限制条件的组合问题例11（1）某人决定投资3种股票和4种债券，经纪人向他推荐了6种股票和5种债券，则此人有_____种不同的投资方式.100

（2）现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，另5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为____．26

求无限制条件的组合问题的思路解题时，首先要分清完成一件事情是需要分类还是分步，在每一类（或每一步）中注意分清元素的总数及取出元素的个数，按照组合的定义，正确地表示出相应的组合数，再利用分类加法计数原理或分步乘法计数原理计数.【学会了吗丨变式题】2.(2025·福建省莆田第十五中学期末)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(

)BA.4种

B.10种

C.18种

D.20种

3.将5名志愿者中的4人安排在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排2人,则不同的安排方案共有____种.（用数字作答）30

题型3

有限制条件的组合问题例12

[教材改编P27

T13]某校有男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；

（2）恰有1名女运动员；

（3）至少有1名女运动员；【解析】

（直接法）

至少有1名女运动员包括以下四种情况:1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.

（4）队长中至少有1人参加；【解析】

（直接法）

需分三类完成

：

（5）既要有队长，又要有女运动员.

.

..

.求解有限制条件的组合问题的方法（1）“含”或“不含”某些对象的组合问题：“含”，则先将这些对象取出，再取其他对象；“不含”，则先将这些对象剔除，再从剩下的对象中去选取.（2）“至少”或“至多”含有几个对象的组合问题：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，防止重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解此类问题，当用直接法处理较复杂时，可考虑用间接法处理.【学会了吗丨变式题】4.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有____个.（用数字作答）14

题型4

分组分配问题1

不同元素分组分配问题

（1）直接分配问题例13

9本不同的书分给甲、乙、丙三人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每人3本；

（2）甲2本,乙3本,丙4本;

（3）甲得5本，另外两人每人得2本.

（2）分组问题例14

9本不同的书分为三组，在下列条件下各有多少种不同的分组方法？（1）每组3本；【解析】（平均分组问题）

先将9本书平均放入1号箱，2号箱，3号箱.

.

.

（2）一组2本，一组3本，一组4本；【解析】（不平均分组问题）

由于这次不是平均分配，每个箱子里装的书本数都不同，因此不会出现重复的分法，因此共有1

260种不同的分组方法.

同（1）中方法2思路.

（3）一组5本，另外两组每组2本.

（3）先分组再分配问题例15

9本不同的书分给甲、乙、丙三人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）一人2本，一人3本，一人4本;

（2）一人得5本，另外两人每人得2本；

（3）甲4本，另外两人中有一人2本,一人3本.

【学会了吗丨变式题】5.[多选题](2025·河北省邯郸市武安一中月考)某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的有(

)BDA.分给甲、乙、丙三地每地各2辆，有120种分配方式B.分给甲、乙两地每地各2辆，分给丙、丁两地每地各1辆，有180种分配方式C.分给甲、乙、丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式D.分给甲、乙、丙、丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1

080种分配方式

2

相同元素分配问题（“隔板法”的应用）例16

有10个运动员名额，分给班号分别为1,2，3的3个班.（1）每班至少1个名额，有多少种分配方案？

图6.2.3-3（2）每班至少2个名额，有多少种分配方案？

图6.2.3-4（3）可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？【解析】

因为允许某些班级没有名额，所以“隔板”可以相邻，

运用“隔板法”求解组合问题的解题策略“隔板法”能快速解决相同元素的分配问题，由于元素和“隔板”都是相同的，需按组合问题求解.使用“隔板法”的关键是要根据题意转化为“每组至少1个”或“每组至少0个”的问题，才能合理使用“隔板法”解决问题.

【学会了吗丨变式题】6.(2025·山东省青岛第五十八中学检测)体育老师把10个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子中放入足球的个数不少于其编号，则不同的放法种数为(

)DA.10

B.12

C.13

D.15

.

.7.[多选题]某中学为提升高三学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进入社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是(

)BD

题型5

排列、组合的综合问题1

选派问题

90

【解析】

（元素分析法）

分两类完成.

（位置分析法）

分两类完成.

.

.选派问题的解题策略（1）求解选派问题时，要分清是排列还是组合问题,并注意结合分类与分步两个原理,要按元素的性质确定分类的标准,按事情的发生过程确定分步的顺序.（2）解选派问题的一般思路是“先选后排”,应遵循三个原则：①先组合后排列；②先分类后分步；③先特殊后一般..

.【学会了吗丨变式题】8.(2025·广东省湛江市第二十中学月考)将5名冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(

)CA.60种

B.120种

C.240种

D.480种

2

“多面手”问题例18

(2025·湖北省沙市中学月考)有8名划船运动员，其中3人只会划左舷，3人只会划右舷，其他2人既会划左舷又会划右舷，现要从这8名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有____种.

名师点评

“多面手”问题的分类依据是：按只会一种本领被选的人数来分类，将多面手和只会另一种本领的人放在一起.3

握手（交换）问题

例19

6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为(

)DA.1或3

B.1或4

C.2或3

D.2或4

.

..

..

..

.名师点评

握手（交换）问题的实质是组合问题.涉及的对象一般不多，解题时可以把符合条件的情况一一列举出来．4

有序排列问题母题

致经典·母题探究例20

身高不等的7人排成一排，要求排在正中间的人最高，从中间往两侧看，都是由高到低，则不同的排法有____种.20

子题身高不等的7人排成一排，要求排在正中间的人最高，第2,3高的人分别在其两侧，第4,5高的人分别排在第2,3高的外侧，最后的两个人分别排在队列的两端，则不同的排法有___种.8

命题探源

母题采用位置分析法，即给有序对象选位置，位置选定后，由于对象定序，因此只有一种排法.子题采用元素分析法，即一个一个地安排对象.两者区别在于题设条件“从中间往两侧看，都是由高到低”，此时身高位于第2,3高的人不一定排在最高人的两侧，完全可以排在同一侧，其他几人同理.题型6

组合与其他知识的综合1

立体几何例21

(教材改编P26

T6)

BA.30种

B.33种

C.36种

D.39种图6.2.3-5

（2）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有(

)DA.150种

B.147种

C.144种

D.141种

2

统计例22

(2025·广东省清远市期中)某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样的方法调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20,30,50名学生，则不同的抽样结果数为(

)C

C

.

.新考法·数学建模例24（1）5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有(

)A

（2）5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有(

)B

（3）5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里放球数量不限，则不同的放法有(

)D

高考帮

考试课丨核心素养聚焦考情揭秘排列组合主要和分类加法计数原理、分步乘法计数原理一起考查,若单独考查，则以选择题、填空题的形式呈现，后面还会与分布列综合出现在解答题中，突出分类讨论思想、转化与化归思想的应用，试题难度中等或中等偏上.将实际问题合理转化成排列组合问题来解决,体现了高考“四翼”中应用性的要求.核心素养：逻辑推理（排列、组合问题的判断等）、数学运算（组合数、概率的计算等）.考向1

组合中的计数问题

例26

(2023·

新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有____种（用数字作答）.64确定分类标准已知有两类选修课共8门，从中选2门或3门，每类至少选1门，确定分类标准：①两类选修课选的门数；②选2门和3门.求解分类方案数方法1，根据两类选修课选的门数用组合数表示；方法2，根据至少选1门，用间接法求解选2门和3门的方案数.求方案总数根据分类加法计数原理求解总的选课方案种数.【解析】

由题意,可分三类：

例27

(新高考全国Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(

)CA.120种

B.90种

C.60种

D.30种

考向2

组合在统计中的应用例28

(2023·

新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(

)D

考向3

组合在概率中的应用1

选派背景例29

(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(

)D

例30

(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为___.

2

数字背景例31

(2022·新高考全国Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(

)D

3

空间背景例32

(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为___.

图6.2.3-6（2）所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图6.2.3-6（2）,也有6种取法.

高考新题型专练1.[教材改编P27

T15]［多选题］(2025·安徽省合肥八中检测)在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有(

)ABC

.

..

.2.［多选题］(2025·广东省广州市天河中学期中)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加运动会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是(

)ABD

练习帮

习题课丨学业质量测评A

基础练丨知识测评建议时间：25分钟

B

BA.20

B.9

C.84

D.63

3.从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条,以取出的三条线段为边可组成钝角三角形的概率为(

)B

.

.4.新情境

洛书(2025·湖北省武汉市期中)如图6.2.3-1，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为(

)B图6.2.3-1A.30

B.40

C.44

D.70

5.(2025·江苏省南京市调研)将4本不同的书全部分给3个同学，每人至少一本，且1号书不能给甲同学，则不同的分法种数为(

)DA.6

B.12

C.18

D.24

6.［多选题］(2025·广东省华南师范大学附属中学期中)盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则(

)ACD

8.(2025·吉林省长春外国语学校期中)有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科（包含语文、数学）的课代表，分别求符合下列条件的选法种数.（1）有女生担任课代表但人数少于男生；

（2）某女生一定要担任语文课代表；

.

.（3）某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表；

（4）某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.

B

综合练丨高考模拟建议时间：30分钟9.(2025·浙江省杭州市期中)甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙、丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有排法(

)CA.144种

B.108种

C.120种

D.360种

10.(2025·山东省淄博六中检测)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(

)B

11.某