数列的递推公式及前n项和+同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

2/54.1.2数列的递推公式及前n项和一、选择题1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则a6＝()A．11 B．12C．13 D．142．(多选)符合递推公式an＝2an－1的数列是()A．1，2，3，4，…B．1，2，2C．2，2D．0，2，23．已知数列{an}的项满足an＋1＝nn+2an，而a1＝1，通过计算a2，a3，猜想anA．2n+12 C．12n−14．已知数列{an}满足a1＝2，an+1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于()A．n2＋1 B．n＋1C．1－n D．3－n5．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap+q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10＝()A．－165 B．－33C．－30 D．－216．已知各项均为正数的数列{an}满足：a1＝2，an＋12＝an(an+1＋2an)．则数列{an}的通项公式是an＝A．2n+1 B．2n-1C．2n D．3n7．(多选)已知函数f(x)＝x＋12，x≤12，2x−1，12<x<1，x−1，x≥1，若数列{aA．该数列是周期数列且周期为3B．该数列不是周期数列C．a2023＋a2024＝1D．a2023＋a2024＝3二、填空题8．数列{an}中，a1＝2，an＝an＋1－3，则14是{an}的第________项．9．在数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝________．10．已知数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝________．

11．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，第k项满足5<ak<8，则k＝________．三、解答题12．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2－n＋1．(1)写出a1，a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式．13．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3anan+3(n∈N答案1．C[由题可知a6＝S6－S5＝62＋2×6－(52＋2×5)＝13，故选C．]2．BC[B与C中从第2项起，后一项是前一项的2倍，符合递推公式an＝2an-1．]3．B[a1＝1＝21×2，∵an+1＝nn＋2an，∴a2＝13＝22×3．同理a3＝164．D[∵an+1－an＝－1，∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an-1)＝2＋(−1)＋(−1)＋＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n．当n＝1时，a1＝2也符合上式．故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*)．]5．C[由题可得，a2＝a1＋a1，所以a1＝－3，a10＝a1＋a9＝…＝a1＋a1＋…＋a1＝－30．]6．C[由题意得，an＋12＝anan+1＋(an+1－2an)(an+1＋an)＝0，又an>0，则an+1－2an＝0，即an＋1a∴an＝anan−1·an−1an−2·an−2a当n＝1时，a1＝2满足上式，则an＝2n．]7．BD[a2＝f73＝73－a3＝f43＝43－a4＝f13a5＝f56＝2×56－1＝a6＝f23＝2×23－1＝a7＝f13…∴从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列，但数列{an}并不是周期数列，故A错误，B正确．而a2023＋a2024＝a4＋a5＝32，∴C错误，D正确．故选BD．8.5[a1＝2，a2＝a1＋3＝5，a3＝a2＋3＝8，a4＝a3＋3＝11，a5＝a4＋3＝14．]9.19[由题意知a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19．]10．8164[a1a2…a8＝82，a1a2…a9＝92，②②÷①得，a9＝92811．7[当n＝1时，a1＝S1＝－5；当n≥2时，Sn-1＝(n－1)2－6(n－1)＝n2－8n＋7，an＝Sn－Sn-1＝2n－7，当n＝1时，a1＝－5符合上式，所以{an}的通项公式为an＝2n－7，所以ak＝2k－7．由5<2k－7<8，解得6<k<7.5，因为k为正整数，所以k＝7．]12．解：(1)因为Sn＝n2－n＋1，取n＝1可得S1＝1，故a1＝1；取n＝2可得S2＝4－2＋1＝3，即a1＋a2＝3，故a2＝2；取n＝3可得S3＝9－3＋1＝7，即a1＋a2＋a3＝7，故a3＝4．所以a1＝1，a2＝2，a3＝4．(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝n2－n＋1－(n－1)2＋(n－1)－1＝2n－2，又a1＝1，不满足上式．所以数列{an