福建省九师联盟2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省九师联盟2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列关系中正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于A，0不是正整数，故A错误；对于B，不是有理数，故B正确；对于C，不是整数，故C错误；对于D，，故D错误.故选：B.2.已知命题p：，，则命题p的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】易知，的否定形式为，.故选：D.3.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题知所以所以函数的定义域为.故选：B.4.下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（）A.，对应关系B.，对应关系C.，对应关系D.，对应关系【答案】C【解析】对于A，因为，但是没有意义，0在中无对应的元素，A不符合题意；对于B，因为对于任意一个实数，当时，无意义，B不符合题意；对于C，任意一个实数，，因此同时满足任意性和唯一性，C符合题意；对于D，当时，，不满足函数值的唯一性，D不符合题意.故选：C.5.若函数则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】当时，，则；当时，，则，所以函数的值域为.故选：A.6.设幂函数的图象经过原点，若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为是幂函数，所以，解得或.又的图象经过原点，所以，即.因为，所以，又因为在上单调递增，所以．故选：A.7.如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（）A. B.3 C. D.4【答案】C【解析】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，，则总造价，当且仅当，即时取等号，且，所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低.故选：C.8.已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，，所以，即，令，则有，则在上单调递增.又是定义在R上的偶函数，，所以是定义在R上的偶函数.由，可得，即，由的单调性和奇偶性，可得，解得或.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】当，时，满足，但是，故A错误；因为，所以，又，所以，故B正确；因为，又，所以，，所以，即，故C正确；当，，，时，满足，，但是，故D错误.故选：BC.10.关于幂函数，下列结论正确的是（）A.的图象经过原点 B.为偶函数C.的值域为 D.在区间上单调递增【答案】BC【解析】由题意，，所以，即对于A，的定义域为，故的图象不经过原点，A错误；对于B，因为的定义域为，，故为偶函数，B正确；对于C，由于，故值域为，C正确；对于D，由于，故在区间上单调递减，D错误．故选：BC．11.用表示有限集合中元素的个数，若集合，，则（）A.B.，C.若集合，则D.若，则【答案】AC【解析】对于选项：集合，判别式恒成立，集合有两个元素，，故正确.对于选项：集合.第一部分：，解得或.当时，有2个不同的根；当时，有1个根.第二部分：，判别式.当，即或，此时方程有2个不同的根；当，即或，此时方程有1个相同的根；当，即，此时方程无实数根.由于对于的任意值，方程的根与的根不会相等，所以当或时，两个方程共有4个实数根，；当或时，两个方程共有3个实数根，；且时，两个方程共有2个实数根，；当时，两个方程共有1个实数根，所以的值可能为1，2，3，4，故错误.对于选项C：当时，，此时；当时，；当时，，此时或；当时，.，，故C正确.对于选项：若，当且仅当，此时或，故错误.故选：.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则________.【答案】【解析】令，解得，所以.故答案为：.13.若函数，在上单调递减，则a的取值范围是______.【答案】【解析】依题意，在上单调递减，所以解得，所以的取值范围是.故答案为：.14.已知，不等式恒成立，则实数a的最小值为________.【答案】【解析】由题意可得，恒成立，所以，又，令，则，当且仅当，即时取等号，所以，即实数a的最小值为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．解：（1）当时，，所以，又，所以；（2）因为“”是“”的必要条件，所以，所以解得，所以实数的取值范围是．16.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求的解析式；（2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明.解：（1）因为是定义在上的奇函数，所以，此时是奇函数，又，解得，所以，经检验符合题意；（2）在区间上单调递减．证明如下：设任意的且，则，∵且，∴，，又，∴，即，∴在区间上单调递减．17.已知，，.（1）比较与的大小；（2）证明.解：（1），因为，，，，，所以，所以.（2）因为，，，所以，所以，即，同理可得，，以上三式相加，两边除以2得.18.已知二次函数.（1）若关于x的不等式的解集为，求a和b的值；（2）若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围；（3）解关于x的不等式.解：（1）由题意可知的两个解为，所以，所以；（2）因为恒成立，则，即，解之得；（3）原不等式等价于，若，则；若，则；若，则；若，则或；若，则或；综上所述：时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}；时，不等式的解集为{或}.19.已知函数．（1）若，在上单调递增，求a的取值范围；（2）若，设函数在上的最小值为，求的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意，存在，使得恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）因为，所以时，，此时，当时，，显然在上单调递减，不满足题意，舍去；当时，由二次函数的性质可知开口向上，对称轴为，即，解得，又，所以实数a的取值范围为．（2）由题意得，（ⅰ）当时，，开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，故．（ⅱ）当时，，则开口向上，对称轴为．①当，即时，在上单调递增，故；②当，即时，在上单