高考数学（理科）总复习教师用书练习32解三角形基础题

3.2解三角形基础题高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·6)在△ABC中,cos,BC=1,AC=5,则AB=()A.4 B. C. D.2答案A解析∵cosC=2cos21=,∴AB2=BC2+AC22BC·ACcosC=1+25+2×1×5×=32.∴AB=4.2.(2018全国Ⅲ·9)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=()A. B. C. D.答案C解析由S=absinC,得c2=a2+b22absinC.又由余弦定理c2=a2+b22abcosC,∴sinC=cosC,即C=.3.(2017山东·9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=B2C.A=2BD.B=D2答案A解析∵sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,∴sinB+2sinBcosC=(sinAcosC+cosAsinC)+sinAcosC,∴sinB+2sinBcosC=sinB+sinAcosC,∴2sinBcosC=sinAcosC,又△ABC为锐角三角形,∴2sinB=sinA,由正弦定理,得a=2b.故选A.4.(2016全国Ⅲ·8)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=()A. B.C.CD.D答案C解析(方法1)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD,AB=AD.由余弦定理,得cosA===,故选C.(方法2)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,由题意知∠BAD=.设∠DAC=α,则∠BAC=α+.∵BC=3AD,BD=AD.∴DC=2AD,AC=AD.∴sinα=,cosα=.∴cos∠BAC=cos=cosαcossinαsin=(cosαsinα)==,故选C.5.(2016全国Ⅱ·13)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=.

答案解析因为cosA=,cosC=,且A,C为△ABC的内角,所以sinA=,sinC=,sinB=sin[π(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=.又因为,所以b=.新题演练提能·刷高分1.(2018西南名校联盟适应性考试)在△ABC中,若原点到直线xsinA+ysinB+sinC=0的距离为1,则此三角形为()A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.不能确定答案A解析由已知可得=1,∴sin2C=sin2A+sin2B,∴c2=a2+b2,故三角形为直角三角形.选2.(2018广东茂名联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosC+c=2a,且b=,c=3,则a=(A.1 B. C.2 D.4答案D解析已知2bcosC+c=2a,由正弦定理可得2sinBcosC+sinC=2sinA=2sin(B+C)=2sinBcosC+2cosBsinC,∴sinC=2cosBsinC,∵sinC≠0,∴cosB=.由余弦定理可得b2=a2+c22accosB,又知b=,c=3,解得a=4.故选D3.(2018湖南益阳4月调研)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=5,C=60°,且△ABC的面积为5,则△ABC的周长为()A.8+ B.9+C.10+ D.14答案B解析由题意,根据三角形面积公式,得absinC=5,即a·5·=5,解得a=4.根据余弦定理得c2=a2+b22abcosC,即c2=16+252×4×5×,c=,所以△ABC的周长为9+.故选B.4.(2018河南郑州第二次质量预测)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若2cos2cos2C=1,4sinB=3sinA,ab=1,则c的值为(A. B. C. D.6答案A解析∵2cos2=2cos2=2cos2=2sin2=1cosC,∴1cosCcos2C=1.∴cos2C=cosC.∴2cos2C+cosC1=0,解得cosC=.因为故得到根据余弦定理得到,解得c的值为5.(2018广东佛山质量检测一)△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=5,B=,cosA=,则△ABC的面积S=()A. B.10 C.10 D.答案C解析因为cosA=,所以sinA=,由正弦定理得到,解得b=7,由正弦定理得到sinC=sin(A+B)=,△ABC的面积S=×5×7×=10.6.(2018山西晋城一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且csinB+=a,=20,c=7,则△ABC的内切圆的半径为()A. B.1 C.3 D答案D解析由csinB+=a及正弦定理得2sinCsinB+cosB=sinA,整理得sinBsinC+cosBsinC=sinA.∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,∴sinBsinC+cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,∴sinBsinC=sinBcosC,又sinB≠0,∴sinC=cosC,故tanC=,C=.∴=abcosC=20,∴ab=40.由余弦定理得c2=a2+b22abcosC,即49=a2+b2ab=(a+b)23ab=(a+b)2120,解得a+b=13.∴a+b+c=20.设△ABC的内切圆半径为r,∵S△ABC=absinC=(a+b+c)r,∴r=.选D.7.(2018江西重点中学盟校第一次联考)如图,平面四边形ABCD中,AC与BD交于点P,若3=3,AB=AD=BC,∠CAD+∠ACB=π,则=()A. B. C. D.答案A解析设BC=1,则AB=AD=,延长BC到E,使BE=3BC,所以CE=2,依题意3=2+()=2,所以AC∥DE,所以,由正弦定理得两式相除得,所以2sinα=sinα,所以α=,β=.在△ABC中,由余弦定理得3=1+AC22ACcos,AC=2,在Rt△ACD中CD=,故,选A.8.(2018东北三省三校一模)在△ABC中,AB=2,AC=,∠ABC=,则BC=.

答案1解析由题意,根据余弦定理得AC2=AB2+BC22AB·BC·cosB,即BC2+2BC3=0,解得BC=1,或BC=3(舍去负值).9.(2018北京海淀期末)在△ABC中,a=1,b=,且△ABC的面积为,则c=.

答案2或2解析S△ABC=absinC=×1××sinC=,则sinC=,cosC=±,当cosC=时,c2=1+72×1×=4,c=2;当cosC=时,c2=1+7+2×1×=12,c=2.10.(2018河北衡水中学模拟)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为米.

答案4062.5解析由题意画出图象,如图所示,且AB=13里=6500米,BC=14里=7000米,AC=15里=7500米.在△ABC中,由余弦定理有cosB=,B为锐角,sinB=.设△ABC外接圆半径为R,则由正弦定理有=2R,R==4062.5(高考真题体验·对方向1.(2015全国Ⅰ·16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是.

答案()解析如图.作CE∥AD交AB于E,则∠CEB=75°,∠ECB=30°.在△CBE中,由正弦定理得,EB=.延长CD交BA的延长线于F,则∠F=30°.在△BCF中,由正弦定理得,BF=,所以AB的取值范围为().2.(2014全国Ⅰ·16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinAsinB)=(cb)sinC,则△ABC面积的最大值为.

答案解析由正弦定理,可得(2+b)(ab)=(cb)·c.∵a=2,∴a2b2=c2bc,即b2+c2a2=bc.由余弦定理,得cosA=.∴sinA=.由b2+c2bc=4,得b2+c2=4+bc.∵b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4.∴S△ABC=bc·sinA≤,即(S△ABC)max=.新题演练提能·刷高分1.(2018吉林长春质量监测三)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,b=2,则△ABC面积的最大值是()A.1 B. C.2 D.4答案B解析∵2bcosB=acosC+ccosA,由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,∴2sinBcosB=sin(A+C)=sinB,∴cosB=.∴B=60°,由余弦定理,得ac=a2+c24,故ac=a2+c24≥2ac4,有ac≤4,故S△ABC=acsinB≤2.(2018陕西咸阳一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,a=2,则△ABC面积的最大值为()A. B.2 C. D答案B解析在△ABC中,由余弦定理知a2=b2+c22bccosA,即8=b2+c22bccos=b2+c2bc≥2bcbc=bc,即bc≤8,当且仅当b=c时,等号成立,所以△ABC面积的最大值为S=bcsinA=×8sin=2,故选B.3.(2018河南六市一模)已知锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2=a(a+c),则的取值范围是()A.0, B.C. D.0,答案C解析∵b2=a2+c22accosB,∴ac=c22accosB,∴a=c2acosB.∴sinA=sinC2sinAcosB=sin(A+B)2sinAcosB=sin(BA).∵△ABC为锐角三角形,∴A=BA,∴B=2A∵0<A<,0<B=2A<,0<πAB=π-3∴<A<.∴=sinA∈,选C.4.(2018宁夏银川4月检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,且,则c的最小值是()A.2 B.2 C.2 D.答案C解析∵,∴,∴根据正弦定理可得,即2sinAcosC=sinA.∵sinA≠0,∴cosC=.∵C∈(0,π),∴C=.∵△ABC的面积为,∴S△ABC=absinC=,即ab=4.∵cosC==,∴c2=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab=12,当且仅当a=b时取等号.∴cmin=2,故选C.5.(2018湖南衡阳二模)在△ABC中,已知a2+b2c2=4S(S为△ABC的面积),若c=,则ab的取值范围是()A.0,B.B1,0C.1,D.D答案C解析∵a2+b2c2=4S,∴a2+b2c2=4×absinC=2absinC.∴=sinC,∴cosC=sinC.∴C=.∵=2,∴a=2sinA,b=2sinB,又ab=2sinA×2sinB=2sinAsinB=2sinAsinA=sinAcosA=sinA,∵0<A<,∴<A,∴1<sinA<,∴1<ab<,故选C.6.(2018广东江门一模)已知平面四边形ABCD中,AB=AD=2,BC=CD,∠BCD=90°,则四边形ABCD面积的最大值为()A.6 B.2+2C.2+2 D.4答案C解析如图,设∠DAB=θ,BC=CD=x,则BD=x.在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD22AB·AD·cosθ,即(x)2=4+48cosθ=88cosθ,∴x2=44cosθ.∴四边形ABCD的面积为S=×22×sinθ+x2=2sinθ+(22cosθ)=2sinθ+2.∵0<θ<π,∴<θ,∴当θ,即θ=时,S有最大值,且Smax=2+2.选C.7.(2018河北石家庄一模)在△ABC中,AB=2,C=,则AC+BC的最大值为()A. B.2 C.3 D.答案D解析由正弦定理可得,=4,∴A+B=.∴AC+BC=4