高三二轮复习试题数学专题突破练23切线与公切线问题

专题突破练23切线与公切线问题必备知识夯实练1.(2025广东惠州模拟)曲线f(x)=12x22在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为(A.π6 B.πC.3π42.(2025安徽合肥模拟)已知曲线f(x)=lnx+ex在点(1,f(1))处的切线与直线xay=0垂直,则a=()A.1+e B.1C.1eD.D.13.(2025山东青岛模拟)过点P(1,1)作曲线f(x)=x3x的切线,不同的切线条数为()A.0 B.1 C.2 D.34.(2025江西赣州模拟)函数f(x)=12lnx图象上的点P到直线y=x2的最短距离为(A.2 B.2C.55 D.5.(2025山东济宁模拟)已知函数f(x)=x2-3x,x∈[0,2],2A.8x+y40=0B.4x+y12=0C.8xy72=0D.x+4y22=06.已知函数f(x)=2x2e2+ex,g(x)=3lnx,若直线l与曲线y=f(x)及y=g(x)均相切,且切点相同7.(2025河北石家庄模拟)若曲线f(x)=ax2与g(x)=lnx+1在公共点处存在公共的切线,则a=.

8.(2025浙江金华模拟)若直线mxy+2m6=0是曲线f(x)=x3x的切线,则m的值可以是.(写出一个值即可)

9.(2025山东济南模拟)若曲线f(x)=exa(a>0)在点(0,f(0))处的切线也是曲线g(x)=ln(x+b)(b>0)的切线,则1a+1关键能力提升练10.(2025宁夏石嘴山三模)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=lnx,若曲线y=f(x)与y=g(x)有两条公切线,则a的取值范围是()A.0,1C.12e11.(2025河南周口二模)将曲线f(x)=ln1x绕原点逆时针旋转角α后第一次与y轴相切,则tanα=(A.2e B.eC.2e D.e12.(2025山东聊城二模)过函数图象上一点,垂直于函数在该点处的切线的直线,称为函数在该点处的“法线”.若一条直线同时是两个函数的法线,则称该直线为两个函数的“公法线”.函数y=2x-x2与函数y=1+ex+1的“公法线13.(2025浙江强基联盟一模)在动画和游戏开发中,相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线,且曲线不重合,则称两条曲线相切.设两抛物线y=x2+a与y2=22x相切,则a=核心素养创新练14.(多选题)(2025辽宁本溪模拟)若函数f(x)在其图象上两个不同点A,B处的切线完全重合,则称直线AB为曲线y=f(x)的“自公切线”,f(x)为“自公切线函数”,则下列选项正确的是()A.函数f(x)=x2+ex是“自公切线函数”B.函数f(x)=xcosx是“自公切线函数”C.曲线f(x)=x2+2|x|的“自公切线”方程为y=1D.曲线f(x)=x3+16x的“自公切线”方程为y=8答案：1.B解析因为f(x)=12x2所以f'(x)=x,则f'(1)=1.设切线的倾斜角为α,则tanα=1,又α∈[0,π),所以α=π4.故选2.C解析由f(x)=lnx+ex,得f'(x)=1x+ex即f'(1)=1+e,即曲线在点(1,f(1))处的切线斜率为1+e.又曲线的切线与直线xay=0垂直,可得a≠0,所以1a(1+e)=解得a=1e.故选C.3.C解析由题意设切点坐标为(x0,x03x0),易知x0≠1.因为f'(x)=3x21,所以切线斜率3x021=x03-x0+1x0-1,又x0≠1,化简可得2x033x02=0,解得x4.C解析设与直线y=x2平行且与曲线f(x)=12lnx因为f'(x)=12x,所以解得x0=1,则切点坐标为(1,0).最短距离为点(1,0)到直线y=x2的距离,即d=121+5.A解析当x∈(0,2]时,f'(x)=2x3,当x∈(6,8]时,f(x)=2f(x2)=8f(x6),则f'(x)=8f'(x6),所以f(7)=8f(1)=16,f'(7)=8f'(1)=8,则所求切线方程为y(16)=8(x7),即8x+y40=0.故选A.6.3xey=0解析设切点为(x0,y0),由f得2解得x0=e,y0=3lnx0=3,故切线方程为y3=3e(x即3xey=0.7.e2解析函数f(x)=ax2与g(x)=lnx+1的导数分别为f'(x)=2ax与g'(x)=设公共点坐标为(x0,y0),则y0=ax02,y0=ln又2ax02=1,故lnx0=即x0=e-12,8.11或2(写出其中一个即可)解析设切点为(t,t3t),f'(x)=3x21,f'(t)=3t21,所以切线方程为y(t3t)=(3t21)(xt),整理得y=(3t21)x2t3,由mxy+2m6=0,得y=mx+2m6,所以m消去m,化简得(t1)(t+2)2=0,解得t=1或t=2,则m=31=2或m=3×41=11,所以m的值为2或11.9.2解析(exa)'=ex,(ln(x+b))'=1因为曲线f(x)=exa(a>0)在点(0,f(0))处的切线的斜率为e0=1,故曲线f(x)=exa(a>0)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x0+e0a=x+1a.设该直线与曲线g(x)=ln(x+b)(b>0)的切点坐标为(m,ln(m+b)),则1m+b=1,故m=1b,故切点坐标为该切点在直线y=x+1a上,故0=1b+1a,即a+b=2,故1a+1b=12(a+b)(1a+1当且仅当a=b=1时,等号成立,故1a+110.C解析设公切线与曲线y=f(x)、曲线y=g(x)相切的切点分别为(t,at2+1),(x0,lnx0),而f'(x)=2ax,g'(x)=1x,易验证当t=x0时不符合题意,所以有2at=1x0=at又a>0,则t>0,消去x0,得at2ln(2at)2=0.令函数h(t)=at2ln(2at)2(t>0),由曲线y=f(x)与y=g(x)有两条公切线,得函数h(t)有两个不同的正零点.h'(t)=2at1t=2at2-1t,当0<t<12a时,h'(t)<0;函数h(t)在0,12a内单调递减,在12a,+∞内单调递增,h(t)min而当t从大于0的方向趋近于0时,h(t)→+∞,当t→+∞时,h(t)→+∞,则当且仅当12ln(2a)32<0,即a>12e3时,函数h所以a的取值范围是1故选C.11.D解析根据题意,曲线f(x)=ln1x绕原点逆时针旋转角α后第一次与y轴相切,则y=tan3π2-α·x是曲线f(x设切点坐标为(x0,lnx0),又由f'(x)=1x,即切点处切线的斜率满足tan3π把切点坐标代入方程y=tan3π2-α·x,得lnx0=1x0·故tan3π2-α=1e,所以sin3π2-αcos3π12.x+y1=0解析易验证对y=2x-x2来说,当x=0或x=1由y=2x-x2求导得y'=1则曲线y=2x-x2在点(a,2a-a2)(0<a≤2,且a≠1)处的法线方程为y2a-a2=2a-a21-a(xa),由y=1+ex+1求导得y'=ex+1,则法线斜率为1ex+1,则曲线y=1+ex+1在点由“公法线”得2a-a21-a=1eb+1,a2所以“公法线”的一般式方程为x+y1=0.13.38解析由题意可知,两抛物线y=x2+a与y2=22设两条抛物线相切于点(x0,y0),抛物线y=x2+a在该点处的切线的斜率为2x0,抛物线y2=22x在第一象限的图象为函数y=22x在第一象限的图象,曲线y=2所以有2x0=12221x0,解得x0=2所以切点为2-32,12,代入y=x14.BCD解析若f(x)为“自公切线函数”,则f'(x)在某区间内不单调,由f(x)=x2+ex,得f'(x)=2x+ex,因为f'(x)在R上单调递增,故f(x)=x2+ex不是“自公切线函数”,故A错误;因为f(x)=xcosx,所以f'(x)=1+sinx,当x=2kπ(k∈Z)时,f'(2kπ)=1,f(2kπ)=2kπ1,则曲线f(x)在点(2kπ,2kπ1)(k∈Z)处的切线方程为y2kπ+1=x2kπ(k∈Z),即y=x1,所以f(x)=xcosx是“自公切线函数”,故B正确;当x≥0时,f(x)=x2+2x,则f'(x)=2x+2,当x<0时,f(x)=x22x,则f'(x)=2x2,所以f'(1)=f'(1)=0,f(1)=f(1)=1,所以曲线f(x)在点(1,1)和点(1,1)处的切线方程均为y=1,即曲线f(x)=x2+2|x|的“自公切线”方程为y=1,故C正确;因为f(x)=x3+16x,x≠所以f'(x)=3x216x2,x则f'(x)=f'(x),所以f'(x)为(∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,令h(x)=3x216x2,x≠0,则h'(x)=6x+32x3,当x>0时,h'(x)>0,当x<0时,h'(所以h(x)即f'(x)在(∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,所以必存在x1,x2,且x1≠x2≠0,使得f'(x1)=f'(x2),且x1+x2=0,不妨设两切点分别为A