【北师大版】七年级下册数学《1 认识三角形 三角形的高、中线与角平分线》课件

三角形的高、中线与角平分线

三角形画一画如图，P为线段AB右上方一点，过点P作线段AB的垂线.P

●AB过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗？D

如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所画的线段AD叫做△ABC的边BC上的高。讲授新课三角形的高一定义

如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.问题2由三角形的高你能得到什么结论？∠ADB=∠ADC=90°ABCD垂足注意:标明垂直的记号和垂足的字母.高的叙述方法（如图）：有三种②AD⊥BC,垂足为D.③点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°.①AD是△ABC的高.ABCD∵AD为△ABC的高，∴∠ADC=∠ADB=90°（或

⊥

）.三角形高的一种使用方法：锐角三角形的三条高问题1

每人画一个锐角三角形.(1)

你能画出这个三角形的三条高吗?(2)

这三条高之间有怎样的位置关系？O

（3）锐角三角形的三条高是是否能交于一点，若相交在三角形的内部还是外部?ABDEF锐角三角形的三条高交于同一点.锐角三角形的三条高都在三角形的内部.探究交流直角和钝角三角形的高也在内部交于一点吗？直角三角形的三条高问题：在纸上画出一个直角三角形.ABC(1)画出直角三角形的三条高.直角边BC边上的高是______;

AB直角边AB边上的高是

;CB(2)它们有怎样的位置关系？D斜边AC边上的高是_______.

BD●直角三角形的三条高交于直角顶点.钝角三角形的三条高(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？ABCDEF(2)AC边上的高呢？AB边上呢？BC边上呢？BFCEADABCDF(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？(4)它们所在的直线交于一点吗？OE钝角三角形的三条高不相交于一点；钝角三角形的三条高所在直线交于一点.三角形的高线锐角三角形直角三角形钝角三角形图形在三角形内部的数量是否相交所在的直线是否相交所在的直线的交点位置311相交相交不相交相交相交相交三角形内部直角顶点三角形外部作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是()D1.用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确是（）ABCDA2.下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是

()

ABCD3.过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是(

)A.B.C.D.DA3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有

（）A．2条B．3条C．4条D．5条4.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的BC边上的高（）ADCBABCDABCDABCDABCDBD1．下列说法正确的是

（）A．三角形三条高都在三角形内B．三角形三条中线相交于一点C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可

能在三角形外D．三角形的角平分线是射线B当堂练习2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个

三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形B1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的高()ABCDDADCBAABCDBABCDCD3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=_______．50°12ACDBE如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值．由△ABC的面积公式可知,AD·BC＝

BP·AC.代入数值，可解得BP＝4×6÷5=4.8.方法总结:面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.一个缺角的三角形残片如图所示，不恢复这个缺角，请你做出AB边上的高所在的直线，你是怎么作的？为什么？【小结】三角形的中线二一块三角形面包，如何经过一个顶点，将其分成面积相等的两块面包？E如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？BCDEA答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.问题4通过问题3你能发现什么规律？答：三角形的一个顶点和它对边中点的连线能将三角形的面积平分.三角形的中线：如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。几何语言：∵AD是三角形的中线画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？画图发现三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.ABCABCABDEFDDEFEFOOO锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，它们中线的交点有什么规律？三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心1、(2021·全国)如果AD是△ABC的中线，那么下列结论：①BD=1/2CB;②AB=AC;③S△ABD=S△ACD.其中一定成立的有()A.3个B.2个C.1个D.0个ABCDB1、(2021·全国)如图，已知P是△ABC的重心，连接AP并延长交BC于点D，若△ABC的面积为20，则△ADC的面积为()A.10B.8C.6D.5A2.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2，则S△ABC=______.12cm21、(2021)如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90∘.试求：(1)AD的长;(2)△ABE的面积;(3)△ACE与△ABE的周长的差。4.81222、(2020·安徽省)已知BD是△ABC的中线，AB=7，BC=3，且△ABD的周长为15，则△BCD的周长为_____.113、在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.7cm1.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm,

△DBC的周长为25cm,求△ADC的周长.ADBC解：∵CD是△ABC的中线，∴BD＝AD，∴C△DBC＝BC＋BD＋CD＝25cm，则BD+CD＝25－BC.∴C△ADC＝AD＋CD＋AC＝BD＋CD＋AC

＝25-BC＋AC

＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.2、例如图，△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，△ABC的面积是20，(1)求△ACE的面积。(2)若F是CE的中点,连接BE，求△BEF的面积。553、(2021·湖北省)如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC=4cm2，则S△BEF等于()A.2cm2B.1cm2C.1/2cm2D.1/4cm2B3、(2022·湖北省)如图，△ABC中，点O为三角形的重心，D为OC中点，若△ABC的面积为12，△BOD的面积是()A.6B.4C.3D.2D3、(2022·四川省)如图，在△ABC中D、F为BC上的点，且F为CD的中点，CD=2BD，连接AD，E是AD的中点，连接BE、EF、EC，若S△DEF=3，求△ABC的面积。184、(2022·江苏省)如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F.若△ABF的面积是4，则四边形DCEF的面积是()A.3.5B.4C.4.5D.5B2、(2022·湖南省)如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，且D为BC的中点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=______cm.3AEO如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.解：∵点D是AC的中点，∴AD＝

AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝

S△ABC＝

×12＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝

S△ABC＝

×12＝4.∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.知识小结三角形的角平分线二三角形的重要线段概念图形表示法三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段∵AD是△ABC的高线.∴AD⊥BC∠ADB=∠ADC=90°.三角形的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段∵

AD是△ABC的BC上的中线.∴

BD=CD=

½BC.

三角形的角平分线知识回顾三角形的角平分线三问题1

如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？ACBO∠AOC=∠BOC

问题2

你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗?ABCD相同点是：

∠BAD=∠

CAD;不同点是：前者是线段，后者是射线.想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?三角形的角平分线：如图，画∠BAC的平分线AD，交∠BAC所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线。几何语言：∵AD是三角形的角平分线DA三角形的角平分线三问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？问题3：一个三角形有几条角平分线？3条三角形的三条角平分线交于同一点.这一点叫内心1.下列说法中正确的是()A．三角形的角平分线和中线都是线段B．三角形的角平分线和中线都是射线C．三角形的角平分线是射线，而中线是线段D．三角形的角平分线是线段，而中线是射线A2．下列说法正确的是（）A．三角形三条高都在三角形内B．三角形三条中线相交于一点C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外D．三角形的角平分线是射线B3.如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF交AD于H,判断下列说法的正误.⌒⌒ABCDE12FGH（1）AD是△ABE的角平分线()（2）BE是△ABD边AD上的中线()（3）BE是△ABC边AC上的中线()×××2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是

（）A．①② B．③④ C．①④ D．②③D3.如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线，若∠A＝52°，则∠1＋∠2的度数为________．64°4.如图,在△ABC中,∠BAC=68°,∠B=36°,AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.ABDC76°5.如图,AE是△ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.ABCE解：∵ＡE是△ABC的角平分线，∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.∴∠CAE=∠BAE=∠BAC.6.如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=80°，求∠ECD的度数.解：∵DC平分∠ACB,又DE∥BC,∴∠ACB=∠AED=80°.∴∠ECD=40°.∴∠ECD=∠BCD=

∠ACB.解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，

∴∠DAC＝∠BAD＝34°.

在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，

∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD

＝180°－36°－34°＝110°.7.如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.ABDC8.如图，在△ABC中，AD