人教版高三数学下学期函数的概念与基本初等函数多选题单元-易错题提高题检测

人教版高三数学下学期函数的概念与基本初等函数多选题单元易错题提高题检测一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数是偶函数，且在上不单调B．函数是奇函数，且在上不单调递增C．函数在上单调递增D．对任意，都有，且【答案】AD【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A、B、C、D.【详解】解：对A，，定义域为，关于原点对称，，是偶函数，其图像关于轴对称，在上不单调，故A正确；对B，，，是奇函数，令，则，在上单调递增，故B错误；对C，，且在上单调递增，又，时，，在上单调递减，故C错误；对D，是偶函数，且在上单调递增，，且，故D正确.故选：AD.【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.2．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数（Q是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于的性质，下列说法正确的是（）A．函数是偶函数B．函数是周期函数C．对任意的，，都有D．对任意的，，都有【答案】ABC【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；验证，可判断B选项的正误；分、两种情况讨论，结合函数的定义可判断C选项的正误；取，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，任取，则，；任取，则，.所以，对任意的，，即函数为偶函数，A选项正确；对于B选项，任取，则，则；任取，则，则.所以，对任意的，，即函数为周期函数，B选项正确；对于C选项，对任意，，则，；对任意的，，则，.综上，对任意的，，都有，C选项正确；对于D选项，取，若，则，D选项错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D选项，可取，验证.3．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，又称为取整函数.如：，.则下列正确的是（）A．函数是上单调递增函数B．对于任意实数，都有C．函数（）有3个零点，则实数a的取值范围是D．对于任意实数x，y，则是成立的充分不必要条件【答案】BCD【分析】取反例可分析A选项，设出a，b的小数部分，根据其取值范围可分析B选项，数形结合可分析C选项，取特殊值可分析D选项．【详解】解：对于A选项，，故A错误；对于B选项，令，q分别为a，b的小数部分，可知，，，则，故B错误；对于C选项，可知当，时，则，可得的图象，如图所示：函数有3个零点，函数的图象和直线有3个交点，且为和直线必过的点，由图可知，实数a的取值范围是，故C正确；对于D选项，当时，即r，q分别为x，y的小数部分，可得，，；当时，取，，可得，，此时不满足，故是成立的充分不必要条件，故D正确；故选：BCD．【点睛】本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；4．定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”，另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则（）A．是的一个“完美区间”B．是的一个“完美区间”C．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为D．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为【答案】AC【分析】根据定义，当时求得的值域，即可判断A；对于B，结合函数值域特点即可判断；对于C、D，讨论与两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.【详解】对于A，当时，，则其值域为，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A正确；对于B，因为函数，所以其值域为，而，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B错误；对于C，由定义域为，可知，当时，，此时，所以在内单调递减，则满足，化简可得，即，所以或，解得（舍）或，由解得或（舍），所以，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；当时，①若，则，此时.当在的值域为，则，因为，所以，即满足，解得，（舍）.所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；②若，则，，此时在内单调递增，若的值域为，则，则为方程的两个不等式实数根，解得，，所以，与矛盾，所以此时不存在完美区间.综上可知，函数的“复区间长度”的和为，所以C正确，D错误；故选：AC.【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.5．下列命题正确的是（）A．已知幂函数在上单调递减则或B．函数的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是．C．已知函数，若，则的取值范围为D．已知函数满足，，且与的图像的交点为则的值为8【答案】BD【分析】根据幂函数的性质，可判定A不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B是正确；根据函数的定义域，可判定C不正确；根据函数的对称性，可判定D正确，即可求解.【详解】对于A中，幂函数，可得，解得或，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，所以A不正确；对于B中，若函数的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，则满足，解得，所以是函数的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B是正确；对于C中，由函数，则满足，解得，即函数的定义域为，所以不等式中至少满足，即至少满足，所以C不正确；对于D中，函数满足，可得函数的图象关于点对称，又由，可得，所以函数的图象关于点对称，则，所以D正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.6．已知当时，；时，以下结论正确的是（）A．在区间上是增函数；B．；C．函数周期函数，且最小正周期为2；D．若方程恰有3个实根，则或；【答案】BD【分析】利用函数的性质，依次对选项加以判断，ABC考查函数的周期性及函数的单调性，重点理解函数周期性的应用，是解题的关键，D选项考查方程的根的个数，需要转化为两个函数的交点个数，在同一图像中分别研究两个函数，临界条件是直线与函数相切，结合图像将问题简单化.【详解】对于A，时，即在区间上的单调性与在区间上单调性一致，所以在上是增函数，在上是减函数，故A错误；对于B，当时，，，，故B正确；对于C，当时，，当时，不是周期函数，故C错误；对于D，由时，；时，可求得当时，；直线恒过点，方程恰有3个实根，即函数和函数的图像有三个交点，当时，直线与函数（）相切于点，则，解得，要函数和函数的图像有三个交点，则的取值范围为：；当时，当时，直线与函数有两个交点，设直线与函数（）相切于点，则，解得综上，方程有3个实根，则或,故D正确.故选：BD.【点睛】本题考查函数的性质，单调性，及函数零点个数的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，数形结合能力，属于较难题.7．对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线与的“分渐近线”.给出定义域均为的四组函数，其中曲线与存在“分渐近线”的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】BD【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数.【详解】解：和存在分渐近线的充要条件是时，．对于①，，，当时，令，由于，所以为增函数，不符合时，，所以不存在分渐近线；对于②，，，，因为当且时，，所以存在分渐近线；对于③，，，当且时，与均单调递减，但的递减速度比快，所以当时，会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④，，，当时，，且，因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是BD．故选：BD．【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.8．已知函数，则方程的实根个数可能为（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】ABC【分析】以的特殊情形为突破口，解出或或或，将看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可.【详解】由基本不等式可得或，作出函数的图像，如下：①当时，或，故方程的实数根个数为；②当时，或或，故方程的实数根个数为；③当时，或或或，故方程的实数根个数为；④当时，或或或，故方程的实数根个数为；⑤当时，或，故方程的实数根个数为；⑥当时，或，故方程的实数根个数为；⑦当时，，故方程的实数根个数为；故选：ABC【点睛】本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.9．已知函数，若关于x的方程恰有两个不同解，则的取值可能是（）A． B． C．0 D．2【答案】BC【分析】利用函数的单调性以及已知条件得到，代入，令，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围.【详解】因为的两根为，所以，从而．令，则，．因为，所以，所以在上恒成立，从而在上单调递增．又，所以，即的取值范围是，故选：BC．【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数，利用导数求取值范围是解决本题的关键.10．已知函数，以下结论正确的是（）A．函数在区间上是减函数B．C．若方程恰有5个不相等的实根，则D．若函数在区间上有8个零点，则【答案】BCD【分析】对于A，画出函数的图象即可判断；对于B，由函数的周期性可计算求解；对于C，方程恰有5个不相等的实根等价于与直线有5个交点，画出图形即可判断求解；对于D，函数在区间上有8个零点，则与有8个交点，由对称性可求解.【详解】由题可知当时，是以2为周期的函数，则可画出的函数图象，对于A，根据函数图象可得，在单调递增，在单调递减，故A错误；对于B，，，则，故B正确；对于C，方程恰有5个不相等的实根等价于与直线有5个交点，如图，直线过定点，观察图形可知，其中，则，故，故C正确；对于D，若函数在区间上有8个零点，则与有8个交点，如图，可知这八个零点关于对称，则，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是判断出函数的周期性，画出函数的图象，即可将方程的解的个数问题、函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的思想可快捷解决问题.11．已知函数，则下列说法正确的是（）A．若函数有4个零点，则实数k的取值范围为B．关于x的方程有个不同的解C．对于实数，不等式恒成立D．当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为1【答案】AC【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断.【详解】当时，；当时，；当，则，；当，则，；当，则，；当，则，；依次类推，作出函数的图像：对于A，函数有4个零点，即与有4个交点，如图，直线的斜率应该在直线m,n之间，又，，，故A正确；对于B，当时，有3个交点，与不符合，故B错误；对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立，由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故C正确；对于D，取，，此时函数的图像与x轴围成的图形的面积为，故D错误；故选：AC【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.12．函数，以下四个结论正确的是（）A．的值域是B．对任意，都有C．若规定，则对任意的D．对任意的，若函数恒成立，则当时，或【答案】ABC【分析】由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.【详解】由函数解析式可得，有如下函数图象：∴的值域是，且单调递增即(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB正确；对于C，有，若，∴当时，，故有.正确.对于D，上，若函数恒成立，即有，恒成立，令，即上，∴时，，有或（舍去）；时，故恒成立；时，，有或（舍去）；综上，有或或；错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.2、数学归纳法：当结论成立，若时结论也成立，证明时结论成立即可.3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.13．设函数其中表示中的最小者.下列说法正确的有（）A．函数为偶函数B．当时，有C．当时，D．当时，【答案】ABC【分析】画出的图象然后依据图像逐个检验即可．【详解】解：画出的图象如图所示：对A，由图象可知：的图象关于轴对称，故为偶函数，故A正确；对B，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，此时有，故B成立；对C，从图象上看，当时，有成立，令，则，故，故C正确；对D，取，则，，，故D不正确．故选：ABC．【点睛】方法点睛：一般地，若（其中表示中的较小者），则的图象是由这两个函数的图象的较低部分构成的．14．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令，以下结论正确的有（）A． B．函数为奇函数C． D．函数的值域为【答案】AD【分析】根据高斯函数的定义逐项检验可得正确的选项.【详解】对于A，，故A正确.对于B，取，则，而，故，所以函数不为奇函数，故B错误.对于C，则，故C错误.对于D，由C的判断可知，为周期函数，且周期为，当时，则当时，则，当时，，当时，，故当时，则有，故函数的值域为，故D正确.故选：AD．【点睛】思路点睛：对于函数的新定义问题，注意根据定义展开讨论性质的讨论，并且注意性质讨论的次序，比如讨论函数值域，可以先讨论函数的奇偶性、周期性．15．1837年，德国数学家狄利克雷(P.G.Dirichlet，1805-1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：(Q表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（）A．是偶函数B．C．对于任意的有理数，都有D．存在三个点，使为正三角形【答案】ABCD【分析】利用定义判断函数奇偶性，可确定A的正误，根据“狄利克雷函数”及有理数、无理数的性质，判断其它三个选项的正误.【详解】A：由定义知：定义域关于原点对称，当则，当则，即有，故是偶函数，正确；B：由解析式知：或，即，正确；C：任意的有理数，当时，即，当时，即，正确；D：若存在为正三角形，则其高为1，边长为，所以当时成立，正确；故选：ABCD【点睛】关键点点睛：应用函数的奇偶性判断，结合新定义函数及有理数、无理数的性质判断各选项的正误.16．对于函数定义域中任意的，有如下结论，当时，上述结论中正确结论的序号是（）A． B．C．＞0 D．【答案】BC【分析】由对数的运算性质判断A，B，由对数函数的单调性判断C，由对数的运算结合基本不等式判断D．【详解】对于A，，即，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，在定义域中单调递增，，故C正确；对于D，，利用基本不等式知，又，则，故D错误；故选：BC【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即，利用对数的运算结合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．17．已知函数，若关于的方程有四个不等实根，，，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．的最小值为10【答案】ACD【分析】画出的图象，结合图象求得的取值范围，利用特殊值确定B选项错误，利用基本不等式确定CD选项正确.【详解】画出的图象如下图所示，由于关于的方程有四个不等实根，，，，由图可知，故A选项正确.由图可知关于直线对称，故，由解得或，所以，，当时，，所以B选项错误.令，，，，是此方程的解，所以，或，故，当且仅当时等号成立，故D选项正确.由图象可知，，，，由，解得或，由，解得或，所以，①.令或，所以①的等号不成立，即，故C选项正确.故选：ACD【点睛】求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.18．已知函数满足，且在上有最小值，无最大值.则（）A． B．若，则C．的最小正周期为3 D．在上的零点个数最少为1346个【答案】AC【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断；根据已知三角函数值求角的方法，可得，，两式相减可求出，进而求得周期，从而可判断和选项；因为，所以函数在区间上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取，进而可判断．【详解】解：由题意得，在的区间中点处取得最小值，即，所以A正确；因为，且在上有最小值，无最大值，所以不妨令，，两式相减得，，所以，即B错误，C正确；因为，所以函数在区间上的长度恰好为673个周期，当，即时，在区间上的零点个数至少为个，即D错误.故选:AC.【点睛】