2025-2026 学年高二 数学 学情调研 试卷及答案

2025-2026学年高二数学学情调研试卷及答案2025-2026学年高二数学学情调研试卷班级：________姓名：________得分：________考试时间：120分钟一、选择题（每题5分，共40分）1.已知数列{aₙ}是等差数列，a₁=2，a₃=6，则公差d=（）A.1B.2C.3D.42.函数f(x)=x³-3x的导数f’(x)=（）A.3x²-3B.x²-3C.3x²-3xD.x²-3x3.已知向量a=(1，2)，b=(2，-1)，则a·b=（）A.0B.1C.2D.34.双曲线x²/4-y²/9=1的渐近线方程为（）A.y=±(3/2)xB.y=±(2/3)xC.y=±(9/4)xD.y=±(4/9)x5.已知函数f(x)在x=x₀处的导数f’(x₀)=0，则x=x₀是函数f(x)的（）A.极值点B.最小值点C.最大值点D.可能是极值点6.已知空间向量a=(1，0，0)，b=(0，1，0)，则向量a与b的夹角为（）A.0°B.30°C.60°D.90°7.已知等比数列{aₙ}中，a₁=1，公比q=2，则a₅=（）A.8B.16C.32D.648.抛物线y²=4x的焦点坐标为（）A.(1，0)B.(-1，0)C.(0，1)D.(0，-1)二、填空题（每题5分，共20分）9.已知数列{aₙ}的通项公式为aₙ=2n-1，则前n项和Sₙ=________。10.函数f(x)=x²-2lnx的单调递减区间为________。11.已知椭圆x²/a²+y²/4=1（a>2）的离心率为√3/2，则a=________。12.已知空间直角坐标系中，点A(1，2，3)，B(2，1，4)，则|AB|=________。三、解答题（共90分）13.（12分）已知数列{aₙ}是等差数列，且a₂=5，a₅=14。（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）求数列{aₙ}的前n项和Sₙ，并求S₁₀的值。14.（12分）已知函数f(x)=x³-3x²+2。（1）求函数f(x)的导数f’(x)；（2）求函数f(x)在x=2处的切线方程；（3）求函数f(x)的极值。15.（12分）已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，c=(3，4)。（1）求|a+b|；（2）求向量a与c的夹角θ的余弦值；（3）若c=λa+μb，求λ和μ的值。16.（12分）已知椭圆C：x²/16+y²/9=1。（1）求椭圆C的长轴长、短轴长和离心率；（2）若直线l：y=kx+1与椭圆C有两个不同的交点，求k的取值范围。17.（15分）如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=2，AA₁=3，点A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)。（1）求点A₁，B₁，C₁的坐标；（2）求向量A₁B和向量B₁C的坐标；（3）求异面直线A₁B与B₁C所成角的余弦值。18.（15分）已知函数f(x)=lnx-ax（a∈R）。（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有最大值为-1，求a的值；（3）若函数f(x)在区间(1，e)上有零点，求a的取值范围。19.（12分）已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且S₃=14，S₆=126。（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）若数列{bₙ}满足bₙ=log₂aₙ，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。2025-2026学年高二数学学情调研试卷答案一、选择题1.B2.A3.A4.A5.D6.D7.B8.A二、填空题9.n²10.(0，1]11.412.√3三、解答题13.解：（1）设等差数列{aₙ}的公差为d，由题意得：｛a₁+d=5a₁+4d=14②-①得：3d=9，解得d=3，将d=3代入①得：a₁+3=5，解得a₁=2，∴通项公式aₙ=a₁+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1。（2）前n项和Sₙ=n(a₁+aₙ)/2=n(2+3n-1)/2=n(3n+1)/2，S₁₀=10×(3×10+1)/2=10×31/2=155。14.解：（1）f’(x)=3x²-6x。（2）当x=2时，f(2)=2³-3×2²+2=8-12+2=-2，f’(2)=3×2²-6×2=12-12=0，∴切线方程为y-(-2)=0×(x-2)，即y=-2。（3）令f’(x)=0，即3x²-6x=0，解得x=0或x=2，当x<0时，f’(x)>0，函数f(x)单调递增；当0<x<2时，f’(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>2时，f’(x)>0，函数f(x)单调递增，∴当x=0时，函数f(x)取得极大值f(0)=0-0+2=2；当x=2时，函数f(x)取得极小值f(2)=-2。15.解：（1）a+b=(2+1，1+(-2))=(3，-1)，∴|a+b|=√(3²+(-1)²)=√(9+1)=√10。（2）a·c=2×3+1×4=6+4=10，|a|=√(2²+1²)=√5，|c|=√(3²+4²)=5，∴cosθ=(a·c)/(|a||c|)=10/(√5×5)=2/√5=2√5/5。（3）∵c=λa+μb，∴(3，4)=λ(2，1)+μ(1，-2)=(2λ+μ，λ-2μ)，则｛2λ+μ=3λ-2μ=4①×2+②得：5λ=10，解得λ=2，将λ=2代入①得：4+μ=3，解得μ=-1。16.解：（1）由椭圆C：x²/16+y²/9=1，得a²=16，b²=9，∴a=4，b=3，c=√(a²-b²)=√(16-9)=√7，∴长轴长2a=8，短轴长2b=6，离心率e=c/a=√7/4。（2）联立直线l与椭圆C的方程：｛y=kx+1x²/16+y²/9=1将y=kx+1代入x²/16+y²/9=1，得：x²/16+(kx+1)²/9=1，两边同乘144得：9x²+16(k²x²+2kx+1)=144，整理得：(9+16k²)x²+32kx-128=0，∵直线l与椭圆C有两个不同的交点，∴Δ=(32k)²-4×(9+16k²)×(-128)>0，化简得：1024k²+4×(9+16k²)×128>0，即k²+(9+16k²)×0.5>0，2k²+9+16k²>0，18k²+9>0，∵18k²+9≥9>0恒成立，∴k的取值范围是R。17.解：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=3，且A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，∴A₁(0，0，3)，B₁(2，0，3)，C₁(2，2，3)。（2）A₁B=B-A₁=(2-0，0-0，0-3)=(2，0，-3)，B₁C=C-B₁=(2-2，2-0，0-3)=(0，2，-3)。（3）设异面直线A₁B与B₁C所成角为α，则cosα=|A₁B·B₁C|/(|A₁B||B₁C|)，A₁B·B₁C=2×0+0×2+(-3)×(-3)=9，|A₁B|=√(2²+0²+(-3)²)=√13，|B₁C|=√(0²+2²+(-3)²)=√13，∴cosα=|9|/(√13×√13)=9/13，∴异面直线A₁B与B₁C所成角的余弦值为9/13。18.解：（1）函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f’(x)=(1/x)-a=(1-ax)/x，当a≤0时，1-ax>0，f’(x)>0，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增；当a>0时，令f’(x)=0，得x=1/a，当0<x<1/a时，f’(x)>0，函数f(x)单调递增；当x>1/a时，f’(x)<0，函数f(x)单调递减。（2）由（1）知，当a>0时，函数f(x)在x=1/a处取得最大值，f(1/a)=ln(1/a)-a×(1/a)=-lna-1，由题意得-lna-1=-1，解得lna=0，∴a=1。（3）若函数f(x)在区间(1，e)上有零点，则f(1)·f(e)<0，f(1)=ln1-a×1=-a，f(e)=lne-a×e=1-ae，∴(-a)(1-ae)<0，即a(ae-1)<0，∵a>0（若a≤0，f(x)在(1，e)上单调递增，f(1)=-a≥0，f(e)=1-ae>0，无零点），∴ae-1<0，解得a<1/e，∴a的取值范围是(0，1/e)。19.解：（1）设等比数列{aₙ}的公比为q，首项为a₁，当q=1时，S₃=3a₁=14，S₆=6a₁=28≠126，矛盾，∴q≠1，由题意得：｛a₁(1-q³)/(1-q)=14a₁(1-q⁶)/(1-q)=126②÷①得：(1-q⁶)/(1-q³)=9，即1+q³=