2025 九年级数学上册二次函数图像旋转 90 度变换课件

一、课程引入：从“熟悉”到“陌生”的数学探索演讲人CONTENTS课程引入：从“熟悉”到“陌生”的数学探索知识储备：温故而知新的必要铺垫核心探究：二次函数图像旋转90度的具体分析典型例题：从理论到实践的跨越课堂练习：巩固与提升总结与作业目录2025九年级数学上册二次函数图像旋转90度变换课件01课程引入：从“熟悉”到“陌生”的数学探索课程引入：从“熟悉”到“陌生”的数学探索同学们，我们已经与二次函数相伴了一段时间。从最初认识它的一般式(y=ax^2+bx+c)，到通过配方法掌握顶点式(y=a(x-h)^2+k)，从观察开口方向、对称轴、顶点坐标，到研究平移、轴对称变换对图像的影响——二次函数的“变形记”似乎总在挑战我们的空间想象力。今天，我们要开启一次更具挑战性的探索：将二次函数的图像绕某一点旋转90度。这是一种既熟悉又陌生的变换——熟悉，因为旋转是我们在几何中早已接触的基本变换；陌生，因为当它作用于二次函数（抛物线）时，图像会呈现怎样的形态？表达式又会发生怎样的“重组”？让我们带着这些问题，一步步揭开二次函数旋转90度的“神秘面纱”。02知识储备：温故而知新的必要铺垫知识储备：温故而知新的必要铺垫在正式研究旋转变换前，我们需要先回顾几个关键知识点，它们将成为今天探索的“工具包”。1二次函数的基本图像特征二次函数的图像是抛物线，其核心特征由以下要素决定：开口方向：由二次项系数(a)的符号决定（(a>0)向上，(a<0)向下）；顶点坐标：顶点式中为((h,k))，一般式中可通过公式(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))计算；对称轴：直线(x=h)（顶点式）或(x=-\frac{b}{2a})（一般式）；函数的本质：对于每一个(x)值，存在唯一的(y)值与之对应（即“单值对应”）。2平面直角坐标系中的旋转变换旋转是几何变换的一种，其核心是确定旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）和旋转角度。对于平面内任意一点(P(x,y))，绕原点(O)旋转(90^\circ)后，新坐标(P'(x',y'))的规律如下（以逆时针旋转为例）：推导过程：将点(P)视为向量(\overrightarrow{OP})，逆时针旋转(90^\circ)后，向量的坐标变换满足((x,y)\rightarrow(-y,x))（可通过三角函数或勾股定理验证，如点((1,0))旋转后到((0,1))，点((0,1))旋转后到((-1,0))，点((2,3))旋转后到((-3,2))）；2平面直角坐标系中的旋转变换顺时针旋转(90^\circ)的规律则为((x,y)\rightarrow(y,-x))（如点((1,0))顺时针旋转后到((0,-1))，点((0,1))到((1,0))）。3函数图像变换的通用思路无论是平移、轴对称还是旋转，研究函数图像变换的核心方法都是**“点的对应”**：原图像上的每一个点((x,y))经过变换后得到新点((x',y'))，将((x,y))用((x',y'))表示并代入原函数表达式，即可得到变换后的函数表达式。例如，图像向右平移(m)个单位时，原坐标((x,y))对应新坐标((x'=x+m,y'=y))，因此(x=x'-m)，代入原函数得(y'=a(x'-m)^2+b(x'-m)+c)，即平移后的函数表达式。03核心探究：二次函数图像旋转90度的具体分析核心探究：二次函数图像旋转90度的具体分析现在，我们正式进入主题：二次函数图像绕某一点旋转90度后的图像与表达式。为了降低难度，我们分两种情况讨论：旋转中心为原点，以及旋转中心为抛物线的顶点（最常见的旋转中心）。1旋转中心为原点的情况3.1.1从具体例子出发：以(y=x^2)为例原函数：(y=x^2)，其图像是开口向上、顶点在原点((0,0))的抛物线。旋转操作：将图像绕原点逆时针旋转(90^\circ)。根据旋转变换规律，原图像上任意一点((x,y))旋转后对应新点((x',y')=(-y,x))。因此，原坐标与新坐标的关系为：(x=y')（由(y'=x)得），(y=-x')（由(x'=-y)得）。将(x=y')、(y=-x')代入原函数(y=x^2)，得到：1旋转中心为原点的情况(-x'=(y')^2)，即(x'=-(y')^2)。由于函数表达式通常以(y)为因变量，我们可以将上式改写为(y'^2=-x')，但这已不是传统意义上的“函数”（因为对于一个(x')值，可能有两个(y')值），而是一条开口向左的抛物线。图像验证：原抛物线(y=x^2)上的关键点如((1,1))、((2,4))、((-1,1))旋转后分别变为((-1,1))、((-4,2))、((-1,-1))，将这些点绘制在坐标系中，可明显看到它们构成一条开口向左的抛物线，与(x=-y^2)的图像完全一致（如图1所示）。3.1.2一般式推导：(y=ax^2+bx+c)绕原点旋转91旋转中心为原点的情况0度设原函数为(y=ax^2+bx+c)，图像上任意一点((x,y))绕原点逆时针旋转(90^\circ)后得到新点((x',y')=(-y,x))，因此(x=y')，(y=-x')。将(x=y')、(y=-x')代入原函数，得：(-x'=a(y')^2+b(y')+c)，整理得：(x'=-a(y')^2-b(y')-c)。这就是旋转后的表达式，它表示的是一条关于(y')的二次函数（即开口方向为水平方向的抛物线）。若以(x)、(y)为变量，可简写为(x=-ay^2-by-c)。1旋转中心为原点的情况关键结论：绕原点逆时针旋转(90^\circ)后，原二次函数(y=f(x))变为(x=-f(y))；旋转后的图像不再是传统的“(y)关于(x)的函数”，而是“(x)关于(y)的函数”，其图像是一条开口方向与原抛物线垂直的抛物线（原开口向上/下，旋转后开口向左/右）。2旋转中心为抛物线顶点的情况实际问题中，更常见的旋转中心是抛物线的顶点（如“将抛物线绕其顶点旋转90度”）。此时需要先将顶点平移至原点，旋转后再平移回原位置，这涉及“平移+旋转+平移”的复合变换。3.2.1以顶点式(y=a(x-h)^2+k)为例原函数：顶点为((h,k))，开口方向由(a)决定。变换步骤：平移坐标系：将顶点((h,k))平移至原点，即令(x'=x-h)，(y'=y-k)，原函数变为(y'=ax'^2)（顶点在新坐标系的原点）；2旋转中心为抛物线顶点的情况旋转操作：将新坐标系下的抛物线(y'=ax'^2)绕原点逆时针旋转(90^\circ)，根据3.1.1的结论，旋转后的表达式为(x'=-ay'^2)；01平移回原坐标系：将(x'=x-h)，(y'=y-k)代回，得到(x-h=-a(y-k)^2)，整理得(x=-a(y-k)^2+h)。02图像特征：旋转后的抛物线顶点仍为((h,k))，但开口方向变为水平方向（原开口向上则旋转后开口向左，原开口向下则开口向右），对称轴由原直线(x=h)变为直线(y=k)。032旋转中心为抛物线顶点的情况2.2一般式的推导验证若原函数为一般式(y=ax^2+bx+c)，顶点坐标为(\left(h,k\right)=\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))。按照上述步骤：平移后得到(y'=ax'^2)（其中(x'=x-h)，(y'=y-k)）；旋转后得到(x'=-ay'^2)；代回原坐标系得(x-h=-a(y-k)^2)，即(x=-a(y-k)^2+h)。这与顶点式推导的结果一致，说明无论原函数是顶点式还是一般式，绕顶点旋转90度后的表达式均可通过“平移-旋转-平移”的方法推导。3顺时针旋转与逆时针旋转的区别前文以逆时针旋转(90^\circ)为例展开分析，若改为顺时针旋转(90^\circ)，坐标变换规律为((x,y)\rightarrow(y,-x))（绕原点）或通过类似的复合变换推导。以(y=x^2)绕原点顺时针旋转(90^\circ)为例：原坐标((x,y))对应新坐标((x',y')=(y,-x))，因此(x=-y')，(y=x')。代入原函数得(x'=(-y')^2=y'^2)，即(x=y^2)，图像为开口向右的抛物线（如图2所示）。对比总结：3顺时针旋转与逆时针旋转的区别逆时针旋转(90^\circ)：((x,y)\rightarrow(-y,x))，原函数(y=f(x))变为(x=-f(y))；顺时针旋转(90^\circ)：((x,y)\rightarrow(y,-x))，原函数(y=f(x))变为(x=f(-y))（或简化为(x=f(y))，因平方项中负号可消去）；两种旋转方向的结果均为开口方向与原抛物线垂直的抛物线，但左右方向相反（逆时针向左，顺时针向右）。04典型例题：从理论到实践的跨越典型例题：从理论到实践的跨越为了帮助同学们更好地掌握二次函数旋转90度的变换方法，我们通过以下例题进行详细讲解。例题1：绕原点旋转题目：将二次函数(y=2x^2)的图像绕原点逆时针旋转(90^\circ)，求旋转后的函数表达式，并描述其图像特征。分析与解答：原函数上任意一点((x,y))旋转后对应点((x',y')=(-y,x))，因此(x=y')，(y=-x')；代入原函数(y=2x^2)，得(-x'=2(y')^2)，即(x'=-2(y')^2)；以(x)、(y)为变量，表达式为(x=-2y^2)；图像特征：顶点在原点((0,0))，开口向左，对称轴为(y=0)（即x轴），是一条关于y的二次函数图像。例题1：绕原点旋转验证：原函数上点((1,2))旋转后为((-2,1))，代入(x=-2y^2)得(-2=-2(1)^2)，成立；点((2,8))旋转后为((-8,2))，代入得(-8=-2(2)^2)，成立。例题2：绕顶点旋转题目：已知二次函数(y=(x-1)^2+2)，将其图像绕顶点顺时针旋转(90^\circ)，求旋转后的函数表达式及顶点坐标。分析与解答：原函数顶点为((1,2))，开口向上；例题1：绕原点旋转平移坐标系：令(x'=x-1)，(y'=y-2)，原函数变为(y'=x'^2)；顺时针旋转(90^\circ)后，新坐标系下的表达式为(x'=y'^2)（因顺时针旋转((x',y')\rightarrow(y',-x'))，代入(y'=x'^2)得(-x'=(y')^2)？不，这里需要重新推导：原坐标((x',y'))顺时针旋转后为((y',-x'))，因此(x'=-y'')，(y'=x'')（设新坐标系为((x'',y''))），代入(y'=x'^2)得(x''=(-y'')^2=y''^2)，即(x''=y''^2)；例题1：绕原点旋转平移回原坐标系：(x''=x-1)，(y''=y-2)，因此(x-1=(y-2)^2)，即(x=(y-2)^2+1)；图像特征：顶点仍为((1,2))，开口向右，对称轴为(y=2)。验证：原函数顶点((1,2))旋转后仍为((1,2))（旋转中心不变）；原函数上点((2,3))（顶点右侧1单位，向上1单位）旋转后应为绕顶点顺时针旋转90度，即向右1单位变为向上1单位，向上1单位变为向右1单位（方向变化），因此新点为((1+1,2+1)=(2,3))？不，例题1：绕原点旋转更准确的方法是：原坐标((2,3))相对于顶点((1,2))的坐标为((1,1))，顺时针旋转90度后变为((1,-1))（因((x',y')=(1,1))顺时针旋转后为((1,-1))），因此新点绝对坐标为((1+1,2-1)=(2,1))。代入旋转后的表达式(x=(y-2)^2+1)，当(y=1)时，(x=(1-2)^2+1=2)，符合。05课堂练习：巩固与提升课堂练习：巩固与提升为了检验同学们的学习效果，请完成以下练习（时间10分钟，独立思考后小组讨论）。练习1将二次函数(y=-3x^2)的图像绕原点顺时针旋转(90^\circ)，求旋转后的表达式，并画出大致图像。练习2已知二次函数(y=2(x+2)^2-3)，将其绕顶点逆时针旋转(90^\circ)，求旋转后的表达式，并说明其开口方向和对称轴。练习3（拓展）若将二次函数(y=x^2+2x+1)绕点((1,0))