2025 九年级数学上册二次函数图像与反比例函数图像交点个数课件

一、开篇引思：从“相遇”到“探究”的数学之旅演讲人01开篇引思：从“相遇”到“探究”的数学之旅02知识奠基：二次函数与反比例函数的图像“档案”03核心探究：交点个数的分析方法与分类讨论04子情况2.1：反比例函数(k>0)（一、三象限）05易错警示与典型例题06总结升华：从“个数”到“思维”的跨越目录2025九年级数学上册二次函数图像与反比例函数图像交点个数课件01开篇引思：从“相遇”到“探究”的数学之旅开篇引思：从“相遇”到“探究”的数学之旅各位同学，当我们在坐标系中同时画出二次函数与反比例函数的图像时，总会好奇：这两条形态迥异的曲线会“相遇”几次？是永远没有交点，还是可能有1个、2个甚至更多？这个问题不仅是对两种函数图像性质的综合应用，更是培养我们数形结合思维的重要载体。作为一线数学教师，我在教学中发现，许多同学初次接触这类问题时，常因忽略函数图像的细节（如反比例函数的双分支特性、二次函数的开口方向）而判断失误。今天，我们就从基础回顾出发，逐步揭开“交点个数”的神秘面纱。02知识奠基：二次函数与反比例函数的图像“档案”知识奠基：二次函数与反比例函数的图像“档案”要分析交点个数，首先需要清晰掌握两类函数的图像特征。它们的“性格”不同，相遇的可能性自然不同。1二次函数的图像与性质（回顾与深化）二次函数的一般形式为(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），其图像是一条抛物线，核心特征由系数(a)、(b)、(c)共同决定：开口方向：(a>0)时开口向上，(a<0)时开口向下；顶点坐标：(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))，这是抛物线的“最低点”（开口向上）或“最高点”（开口向下）；对称轴：直线(x=-\frac{b}{2a})，图像关于此直线对称；1二次函数的图像与性质（回顾与深化）与坐标轴的交点：与y轴交于((0,c))，与x轴的交点由判别式(\Delta=b^2-4ac)决定（(\Delta>0)时两交点，(\Delta=0)时一交点，(\Delta<0)时无交点）。教学手记：我曾让学生用不同颜色的笔绘制(y=x^2)、(y=-x^2+2)等函数图像，发现他们对“顶点位置如何影响整体形态”的理解，通过动手画图会更深刻——开口向上的抛物线像“笑脸”，顶点越低越容易与其他曲线相交；开口向下的像“哭脸”，顶点越高越可能与其他曲线相遇。2反比例函数的图像与性质（细节再强化）01反比例函数的一般形式为(y=\frac{k}{x})（(k\neq0)），其图像是双曲线，关键特征如下：02分支分布：(k>0)时，图像分布在第一、三象限；(k<0)时，分布在第二、四象限；03渐近线：以x轴和y轴为渐近线（图像无限接近坐标轴但永不相交）；04对称性：关于原点中心对称，也关于直线(y=x)（(k>0)）或(y=-x)（(k<0)）轴对称；05单调性：在每个分支内，(k>0)时y随x增大而减小，(k<0)时y随x增大而增大。2反比例函数的图像与性质（细节再强化）特别提醒：反比例函数的图像是“双分支”，分析交点时必须同时考虑两个分支的可能性——这是学生最易忽略的细节！例如，当二次函数图像跨越第二、四象限时，可能同时与反比例函数的两个分支相交。03核心探究：交点个数的分析方法与分类讨论1从“数”到“形”的桥梁：联立方程求交点两函数图像的交点坐标((x,y))需同时满足两个函数表达式，因此联立方程：[\begin{cases}y=ax^2+bx+c\y=\frac{k}{x}\end{cases}]消去(y)后得到：(ax^2+bx+c=\frac{k}{x})。1从“数”到“形”的桥梁：联立方程求交点两边同乘(x)（注意(x\neq0)，因为反比例函数中(x=0)无定义），整理为：[ax^3+bx^2+cx-k=0\quad(x\neq0)]关键结论：二次函数与反比例函数的交点个数，等价于三次方程(ax^3+bx^2+cx-k=0)的非零实数解的个数。但三次方程的解法超出九年级范围，因此我们需通过“数形结合”分析——从函数图像的位置关系出发，判断交点数量。2分类讨论：基于参数的交点个数分析为简化问题，我们先考虑二次函数为最简形式（如(y=ax^2+c)，即(b=0)），反比例函数为(y=\frac{k}{x})，后续可推广到一般情况。2分类讨论：基于参数的交点个数分析2.1情况1：二次函数开口向上（(a>0)）子情况1.1：反比例函数(k>0)（图像在一、三象限）当二次函数顶点((0,c))位于y轴正半轴（(c>0)）时，抛物线开口向上，最低点在((0,c))。若(c)很小（如(c=1)），抛物线可能与第一象限的反比例函数分支相交（因x>0时，抛物线从((0,1))开始上升，反比例函数从正无穷递减到0），同时可能与第三象限的反比例函数分支相交（x<0时，抛物线值为(ax^2+c>0)，而第三象限反比例函数值(y<0)，故无交点）。此时可能有1个交点（仅第一象限）或2个交点（第一象限内抛物线与反比例函数相切或相交两次）。2分类讨论：基于参数的交点个数分析2.1情况1：二次函数开口向上（(a>0)）当顶点(c<0)时，抛物线向下延伸至y轴负半轴，x<0时抛物线值可能为负（如(y=x^2-2)，当x=-1时y=-1），此时可能与第三象限的反比例函数分支（y<0）相交，同时x>0时抛物线值可能与第一象限的反比例函数分支（y>0）相交，交点个数可能为2个或3个。实例验证：取(y=x^2)（(a=1>0)，(c=0)）和(y=\frac{1}{x})（(k=1>0)），联立得(x^3=1)，解为(x=1)（唯一正解），对应交点((1,1))，此时仅1个交点。若取(y=x^2-2)和(y=\frac{1}{x})，联立得(x^3-2x-1=0)，因式分解为((x+1)(x^2-x-1)=0)，2分类讨论：基于参数的交点个数分析2.1情况1：二次函数开口向上（(a>0)）解为(x=-1)（对应第三象限交点((-1,-1))）、(x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2})（正解，对应第一象限两个交点），共3个交点！3.2.2情况2：二次函数开口向下（(a<0)）04子情况2.1：反比例函数(k>0)（一、三象限）子情况2.1：反比例函数(k>0)（一、三象限）开口向下的抛物线顶点为最高点，若顶点((0,c))较高（如(c=3)），则x>0时抛物线从((0,3))向下延伸，可能与第一象限的反比例函数分支（从正无穷递减到0）相交；x<0时抛物线值为(ax^2+c)（(a<0)，故(ax^2<0)），若(c)足够大，抛物线在x<0时可能仍为正，而第三象限反比例函数值为负，无交点。此时可能有1个或2个交点。若顶点(c<0)，抛物线整体向下，x>0时抛物线值可能为负，与第一象限反比例函数（y>0）无交点；x<0时抛物线值可能为负（如(y=-x^2-1)，x=-1时y=-2），与第三象限反比例函数（y<0）可能相交，此时可能有1个交点。子情况2.1：反比例函数(k>0)（一、三象限）实例验证：取(y=-x^2+2)（(a=-1<0)，(c=2)）和(y=\frac{1}{x})，联立得(-x^3+2x-1=0)，即(x^3-2x+1=0)，因式分解为((x-1)(x^2+x-1)=0)，解为(x=1)（第一象限交点((1,1))）、(x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2})（其中(x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx0.618>0)，对应第一象限另一交点；(x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\approx-1.618<0)，对应第三象限交点((-1.618,-0.618))），共3个交点！子情况2.1：反比例函数(k>0)（一、三象限）3.2.3一般情况：二次函数含一次项（(b\neq0)）当二次函数为(y=ax^2+bx+c)（(b\neq0)）时，对称轴为(x=-\frac{b}{2a})，图像左右偏移。此时需结合对称轴位置分析：若对称轴在y轴右侧（(-\frac{b}{2a}>0)，即(a)与(b)异号），抛物线右侧（x较大）部分可能与反比例函数某一分支更接近；若对称轴在y轴左侧（(-\frac{b}{2a}<0)），左侧（x较小）部分可能更易相交。关键总结：无论二次函数是否含一次项，交点个数的核心影响因素始终是：二次函数的开口方向（决定抛物线向上/向下延伸）；子情况2.1：反比例函数(k>0)（一、三象限）顶点位置（决定抛物线的“高低”）；反比例函数的(k)值符号（决定分支所在象限）；两函数在各象限内的单调性（决定是否可能相交）。01020305易错警示与典型例题1学生常见错误分析在教学实践中，学生的错误主要集中在以下几点：忽略反比例函数的双分支：仅考虑一个分支（如只看第一象限），导致漏判交点；未排除(x=0)的情况：联立方程时直接乘(x)，但(x=0)不是反比例函数的定义域，需确保解不为0；图像分析不全面：未结合开口方向、顶点位置综合判断，仅凭直觉猜测交点个数。2典型例题解析例题1：判断二次函数(y=x^2-1)与反比例函数(y=\frac{2}{x})的交点个数。解析步骤：联立方程：(x^2-1=\frac{2}{x})，整理得(x^3-x-2=0)；尝试因式分解：(x^3-x-2=(x-1)(x^2+x+2))（验证：((x-1)(x^2+x+2)=x^3+x^2+2x-x^2-x-2=x^3+x-2)，错误！实际应通过试根法，当(x=1)时，(1-1-2=-2\neq0)；(x=2)时，(8-2-2=4\neq0)；(x=-1)时，(-1+1-2=-2\neq0)，说明无有理根）；2典型例题解析改用图像法分析：二次函数(y=x^2-1)开口向上，顶点((0,-1))，与x轴交于((\pm1,0))；反比例函数(y=\frac{2}{x})在一、三象限。x>0时，抛物线从((0,-1))上升，反比例函数从正无穷递减到0，必存在一个交点（因x=1时，抛物线y=0，反比例函数y=2，抛物线值小于反比例函数；x=2时，抛物线y=3，反比例函数y=1，抛物线值大于反比例函数，根据中间值定理，必有一个交点）；x<0时，抛物线值(x^2-1)（x=-1时y=0，x=-2时y=3），反比例函数值(y=\frac{2}{x}<0)，抛物线值在x<0时当(x<-1)时y>0，1232典型例题解析当(-1<x<0)时y<0。在(-1<x<0)区间，抛物线y<0，反比例函数y<0，可能相交（如x=-0.5时，抛物线y=0.25-1=-0.75，反比例函数y=-4，抛物线值大于反比例函数；x趋近于0-时，抛物线y趋近于-1，反比例函数y趋近于-∞，抛物线值大于反比例函数，故无交点）；当(x<-1)时，抛物线y>0，反比例函数y<0，无交点。综上，仅x>0时有1个交点？但之前的三次方程是否有其他实根？补充：三次函数(f(x)=x^3-x-2)的导数(f’(x)=3x^2-1)，2典型例题解析令(f’(x)=0)得(x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\approx\pm0.577)。计算(f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\approx(0.192)-(0.577)-2\approx-2.385<0)，(f\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\approx(-0.192)-(-0.577)-2\approx-1.615<0)，且当x→+∞时f(x)→+∞，x→-∞时f(x)→-∞，故三次函数仅有1个实根（x>0），对应1个交点。例题2：已知二次函数(y=-x^2+bx+3)与反比例函数(y=\frac{-2}{x})有3个交点，求b的取值范围。2典型例题解析解析思路：联立方程得(-x^2+bx+3=\frac{-2}{x})，整理为(-x^3+bx^2+3x+2=0)，即(x^3-bx^2-3x-2=0)；分析三次函数(f(x)=x^3-bx^2-3x-2)的零点个数。三次函数至少有1个实根，最多3个实根。要使其有3个实根，需其导数(f’(