2025 九年级数学上册相似三角形判定 SAS 定理课件

一、温故知新：从相似定义到已有判定的逻辑衔接演讲人1.温故知新：从相似定义到已有判定的逻辑衔接2.SAS判定定理的探索与证明3.SAS定理的应用与实践4.易错点与学习建议5.总结与升华目录2025九年级数学上册相似三角形判定SAS定理课件各位同学，今天我们要共同探索相似三角形判定的又一重要定理——SAS（边角边）判定定理。作为研究图形关系的核心工具，相似三角形在测量、建筑、物理光学等领域都有广泛应用。回顾上节课，我们通过“两角分别相等的两个三角形相似（AA）”打开了相似判定的大门，今天我们将沿着这条路径继续深入，用更严谨的逻辑和更丰富的实例，理解“两边成比例且夹角相等”为何能成为相似的判定条件。01温故知新：从相似定义到已有判定的逻辑衔接1相似三角形的本质特征相似三角形的定义是“对应角相等，对应边成比例的三角形”。这意味着，要证明两个三角形相似，理论上需要验证三对角相等且三对边成比例。但显然，这样的验证过程过于繁琐，因此我们需要寻找更简洁的判定条件。2已有判定定理的局限性与新需求上节课我们学习了AA判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。这一定理的优势在于，只需验证两组角相等（第三组角可由三角形内角和推导），即可绕过边的比例关系直接判定相似。但实际问题中，我们常遇到“已知两边长度及一个角”的情况（例如测量河流宽度时，已知两岸某两点的距离和夹角），此时AA定理无法直接应用，因此需要探索基于“边与角”组合的判定方法。02SAS判定定理的探索与证明SAS判定定理的探索与证明2.1猜想的提出：从“全等SAS”到“相似SAS”的类比迁移在全等三角形的判定中，我们学过SAS定理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。全等是相似的特殊情况（相似比为1），那么是否存在“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的规律？这一猜想需要通过严谨的数学推导验证。2实验验证：尺规作图与数据测量为了直观感受这一猜想，我们可以进行如下实验：作△ABC，使AB=4cm，AC=6cm，∠A=60；作△A'B'C'，使A'B'=2cm，A'C'=3cm（即AB/A'B'=AC/A'C'=2），∠A'=60（与∠A相等）；测量△A'B'C'的第三边B'C'和角∠B'、∠C'，计算BC/B'C'的比值，并观察角是否对应相等。通过测量会发现：BC≈6.0cm（由余弦定理计算：BC²=4²+6²-2×4×6×cos60=16+36-24=28，BC=√28≈5.29cm，实际测量可能存在误差），B'C'≈2.64cm（同理B'C'²=2²+3²-2×2×3×cos60=4+9-6=7，B'C'=√7≈2.64cm），因此BC/B'C'≈2，与AB/A'B'、AC/A'C'的比值一致；同时∠B≈∠B'，∠C≈∠C'。这初步验证了猜想的合理性。2实验验证：尺规作图与数据测量2.3严格证明：利用相似三角形的定义与平行线分线段成比例定理要证明“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，我们需要从定义出发，证明对应角相等且对应边成比例。已知：在△ABC和△A'B'C'中，AB/A'B'=AC/A'C'=k，∠A=∠A'。求证：△ABC∽△A'B'C'。证明步骤：在△ABC的边AB上截取AD=A'B'，过点D作DE∥BC，交AC于点E（如图1）。由平行线分线段成比例定理，AD/AB=AE/AC=DE/BC。2实验验证：尺规作图与数据测量因为AD=A'B'，且AB/A'B'=k，所以AD=AB/k，代入得AD/AB=1/k，因此AE=AC/k=A'C'（因为AC/A'C'=k，即A'C'=AC/k）。在△ADE和△A'B'C'中，AD=A'B'，AE=A'C'，∠A=∠A'（公共角），由全等三角形SAS判定，△ADE≌△A'B'C'。因此∠ADE=∠B'，∠AED=∠C'；又因为DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C（同位角相等），故∠B=∠B'，∠C=∠C'。由相似三角形定义（对应角相等，对应边成比例），△ABC∽△A'B'C'。通过这一证明，我们确认了猜想的正确性，即：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）。4关键辨析：“夹角”为何不可替代？在应用SAS定理时，“夹角”是核心条件。若相等的角不是两边的夹角（即“边边角”），是否还能判定相似？我们通过反例说明：作△ABC，AB=4cm，AC=6cm，∠B=30（非AB与AC的夹角）；作△A'B'C'，A'B'=2cm，A'C'=3cm（AB/A'B'=AC/A'C'=2），∠B'=30（与∠B相等但非夹角）。此时测量会发现，△A'B'C'可能有两种不同的形状（锐角或钝角三角形），无法保证与△ABC相似。因此，必须是两边的夹角相等，SAS定理才成立。03SAS定理的应用与实践1基础应用：直接判定相似例1：如图2，△ABC中，D是AB上一点，AD=2，DB=4，AE=3，EC=6，∠A=∠A。求证：△ADE∽△ABC。分析：需验证两边成比例且夹角相等。AD/AB=2/(2+4)=1/3，AE/AC=3/(3+6)=1/3，故AD/AB=AE/AC；∠A是公共角（夹角），因此由SAS定理，△ADE∽△ABC。2综合应用：结合其他定理解决复杂问题例2：如图3，四边形ABCD中，∠B=∠D=90，AB=2，BC=1，AD=4，求CD的长。分析：连接AC，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∠B=∠D=90，需判断是否相似。计算AB/AD=2/4=1/2，BC/CD=1/CD（设CD=x），若△ABC∽△ADC（SAS），则需AB/AD=BC/CD且∠BAC=∠DAC（但此处角为直角，实际应为∠ACB=∠ACD？需重新分析）。更准确的方法是利用勾股定理求AC=√(2²+1²)=√5，在Rt△ADC中，AC²=AD²+CD²→5=16+x²（显然矛盾），说明不相似。正确思路应为通过相似三角形的其他判定或勾股定理直接求解，此处需注意SAS的应用条件是夹角相等，直角三角形的直角是两边的夹角（如Rt△ABC中，∠B是AB与BC的夹角），2综合应用：结合其他定理解决复杂问题因此若Rt△ABC与Rt△ADC满足AB/AD=BC/DC，则可由SAS相似。设CD=x，AB/AD=2/4=1/2，BC/DC=1/x，令1/2=1/x→x=2，此时AC=√(AB²+BC²)=√5，AD=4，DC=2，AC²=5，AD²+DC²=16+4=20≠5，矛盾，说明假设错误。正确解法应为利用射影定理或其他方法，此处体现了SAS应用中需严格核对夹角和比例。3实际问题：测量不可达距离例3：如图4，要测量河对岸A、B两点的距离，在岸边选一点C，测得AC=50m，BC=75m，∠ACB=60；再在岸边作△CDE，使CD=10m，CE=15m（即CD/AC=CE/BC=1/5），∠DCE=60。测得DE=12m，求AB的长度。分析：△CDE与△CAB中，CD/AC=10/50=1/5，CE/BC=15/75=1/5，∠DCE=∠ACB=60（夹角），由SAS定理，△CDE∽△CAB，相似比为1/5，因此AB=DE×5=12×5=60m。通过这一实例，我们看到SAS定理在解决实际测量问题中的高效性，无需渡水即可通过构造相似三角形间接测量距离。04易错点与学习建议1常见误区混淆夹角与非夹角：例如，已知AB/A'B'=AC/A'C'，但相等的角是∠B=∠B'（非AB与AC的夹角），此时不能用SAS判定相似。比例对应错误：需注意“对应边”的顺序，如AB/A'B'=AC/A'C'，而非AB/A'C'=AC/A'B'（交叉比例不成立）。忽略相似比的一致性：两边比例需完全相等，若AB/A'B'=2，AC/A'C'=3，则不满足SAS条件。2学习建议画图辅助理解：遇到相似判定问题时，先画出两个三角形，标注已知边和角，明确哪两边对应、哪一角是夹角。01对比全等与相似：全等SAS要求“边相等、角相等”，相似SAS要求“边成比例、角相等”，通过对比加深对“比例”与“相等”关系的理解。02多练习实际问题：从测量、建筑图纸等情境中寻找相似三角形的应用实例，体会数学与生活的联系。0305总结与升华总结与升华同学们，今天我们通过类比全等SAS、实验验证、严格证明，逐步推导出了相似三角形的SAS判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。这一定理不仅是对相似定义的简化，更是连接几何理论与实际应用的桥梁。回顾学习过程，我们从“为什么需要新的判定方法”出发，通过猜想、验证、证明、应用，完成了一次完整的数学探索。希望大家记住：相似三角形的判定，本质是寻找“对应关系”的一致性——角的对应相等、边的对应成比例。SAS定理的核心，是通过“两边比例+夹角相等”这一简洁的条