2025 九年级数学上册相似三角形预备定理课件

一、教学背景分析：为何要学？学什么？演讲人目录01.教学背景分析：为何要学？学什么？02.教学目标设定：我们要达成什么？03.教学过程设计：如何让学习真实发生？04.活动7：师生共结，构建体系05.作业布置：分层巩固，延伸思维06.结语：让定理“活”在思维中2025九年级数学上册相似三角形预备定理课件作为一名深耕初中数学教学十余年的一线教师，我始终认为，几何定理的教学不仅要让学生记住结论，更要让他们经历“观察—猜想—验证—应用”的完整思维过程。今天，我们将围绕“相似三角形预备定理”展开学习。这一定理是相似三角形判定体系的基石，更是连接“平行线分线段成比例”与“相似三角形判定定理”的关键桥梁。接下来，我将从教学背景、目标设定、过程设计、总结提升四个维度，为大家呈现这一课的完整思路。01教学背景分析：为何要学？学什么？1课标要求与教材定位《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形的相似”主题中明确要求：“了解相似三角形的判定定理，能利用相似三角形的判定定理解决简单问题。”而“相似三角形预备定理”（即“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”）是教材中第一个系统学习的相似三角形判定方法。它既是“平行线分线段成比例”定理的延伸应用，又为后续学习“AA”“SAS”“SSS”等判定定理奠定基础，在相似三角形知识体系中起到“承前启后”的核心作用。2学生学情与认知起点授课对象是九年级上学期学生，已掌握以下基础：知识基础：理解相似图形的概念，掌握“平行线分线段成比例”定理（三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例）及其推论（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例）；能力基础：具备一定的几何直观能力和简单推理论证能力，能通过测量、拼图等操作探究几何关系；潜在障碍：对“从线段比例到三角形相似”的逻辑转化可能存在困惑，辅助线添加经验不足，实际问题中抽象几何模型的能力有待提升。02教学目标设定：我们要达成什么？教学目标设定：我们要达成什么？基于以上分析，我将本课教学目标设定为“三维一体”的结构：1知识与技能目标准确表述相似三角形预备定理的内容，能结合图形写出符号语言；01掌握定理的推导过程，理解“平行”“线段比例”“角相等”之间的逻辑关联；02能运用定理解决简单的相似三角形判定问题，包括直接应用、变式判断及实际测量问题。032过程与方法目标通过“操作猜想—推理论证—应用拓展”的探究过程，体会从特殊到一般、从直观到抽象的研究方法；01在定理推导中，经历“构造辅助线—利用已知定理—建立比例关系—证明角相等”的思维链，提升逻辑推理能力；02在解决实际问题中，体验“抽象几何模型—应用定理分析—得出结论”的数学建模过程。033情感态度与价值观目标01通过定理与生活实例的联系（如测量建筑物高度），感受数学的应用价值；03通过定理的简洁性与逻辑性，体会数学的理性之美。02在小组合作探究中，培养质疑精神与团队协作意识；03教学过程设计：如何让学习真实发生？教学过程设计：如何让学习真实发生？为实现上述目标，我将教学过程设计为“情境导入—旧知回顾—定理探究—应用深化—总结提升”五个环节，层层递进，让学生在“做数学”中“学数学”。1情境导入：从生活问题到数学思考（5分钟）活动1：问题驱动，引发兴趣展示图片：校园内有一根旗杆，同学们想知道它的高度，但无法直接测量。现有工具：一根1米长的标杆、卷尺。你能设计一个测量方案吗？学生可能的思路：将标杆直立在地面，测量标杆影长和旗杆影长，利用“同一时刻物高与影长成比例”解决。我顺势追问：“为什么物高与影长成比例？这背后的几何原理是什么？”设计意图：用学生熟悉的生活场景引发认知需求，将“相似三角形”的应用价值前置，激发学习动机。3.2旧知回顾：搭建知识脚手架（8分钟）活动2：温故知新，铺垫基础（1）展示图形：△ABC中，DE∥BC，交AB于D，AC于E。提问：“根据平行线1情境导入：从生活问题到数学思考（5分钟）活动1：问题驱动，引发兴趣分线段成比例的推论，图中哪些线段成比例？”学生回答后，板书：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$（强调“对应线段”的顺序）。（2）追问：“如果只看△ADE和△ABC，它们的角有什么关系？”学生通过观察可得出：∠A=∠A（公共角），∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）。设计意图：通过回顾“平行线分线段成比例”及平行线的性质，为定理推导中“角相等”“边成比例”的条件做铺垫，避免知识断层。3定理探究：从猜想验证到逻辑证明（20分钟）活动3：操作猜想，发现规律（1）学生分组操作：用直尺和三角板在练习本上画△ABC，作DE∥BC，测量△ADE与△ABC的各边长度及角度，填写表格：|三角形|∠A（）|∠ADE（）|∠AED（）|AD（cm）|AB（cm）|AE（cm）|AC（cm）|DE（cm）|BC（cm）||--------|---------|-----------|-----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------||△ADE|||||||||||△ABC||||||||||3定理探究：从猜想验证到逻辑证明（20分钟）组内讨论：观察角度和边长的关系，能得出什么结论？学生通过测量会发现：△ADE与△ABC的对应角相等，对应边成比例，从而猜想“△ADE∽△ABC”。活动4：推理论证，严谨证明（1）引导学生明确相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。因此，要证明△ADE∽△ABC，需证：①∠A=∠A（已证）；②∠ADE=∠B，∠AED=∠C（由DE∥BC，同位角相等可得）；③$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$（由平行线分线段成比例推论可得）。（2）追问：“是否需要证明所有对应边成比例？”学生结合定义理解，只需证明三组对应边比例相等即可。（3）规范符号语言：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC（相似三角形预备定理）。活动4：推理论证，严谨证明（4）强调定理的关键条件：“平行于三角形一边”“与其他两边相交”（若与两边延长线相交，定理是否成立？可作为课后探究问题）。设计意图：通过“操作—猜想—证明”的完整探究过程，让学生经历数学定理的“再发现”，理解定理的逻辑基础，避免机械记忆。4应用深化：从单一模仿到综合运用（20分钟）活动5：基础应用，巩固定理（1）例题1：如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD=2，DB=3，DE=4，求BC的长。分析：由预备定理知△ADE∽△ABC，故$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，代入数据得$\frac{2}{2+3}=\frac{4}{BC}$，解得BC=10。（2）例题2：如图，点D在AB上，点E在AC的延长线上，DE∥BC，判断△ADE与△ABC是否相似。学生易混淆“两边相交”与“两边延长线相交”，通过画图分析可得：DE∥BC时，∠ADE=∠B（同位角），∠A=∠A，故△ADE∽△ABC（预备定理的推广，可补充说明）。活动6：变式拓展，提升能力4应用深化：从单一模仿到综合运用（20分钟）活动5：基础应用，巩固定理（1）变式1：△ABC中，DE∥BC，F为DE上一点，连接AF交BC于G，求证：$\frac{DF}{BG}=\frac{FE}{GC}$。提示：由预备定理得△ADF∽△ABG，△AFE∽△AGC，通过比例传递证明。（2）变式2：测量旗杆高度问题（呼应导入）。若标杆高1m，影长0.8m，旗杆影长12m，求旗杆高度。学生建模：将旗杆、标杆、影子抽象为△ABC（旗杆AB，影长BC）和△DEF（标杆DE，影长EF），由DE∥AB（光线平行），得△DEF∽△ABC，故$\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}$，代入数据得AB=15m。设计意图：通过“基础题—变式题—实际问题”的梯度设计，帮助学生从“记忆定理”过渡到“灵活应用”，体会数学与生活的联系。04活动7：师生共结，构建体系活动7：师生共结，构建体系（1）知识梳理：预备定理内容：平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；关键条件：“平行”“相交”；应用场景：判定相似、求线段长度、解决实际测量问题。（2）思维提炼：研究几何定理的一般路径：观察现象→提出猜想→推理论证→应用拓展；相似三角形判定的核心：对应角相等、对应边成比例，预备定理通过“平行”同时满足了这两个条件。活动7：师生共结，构建体系（3）情感升华：“今天我们通过自己的探索发现了相似三角形预备定理，它不仅能解决测量问题，更是打开相似三角形世界的第一把钥匙。希望同学们保持这种‘观察—思考—验证’的学习习惯，继续探索更多几何奥秘！”05作业布置：分层巩固，延伸思维作业布置：分层巩固，延伸思维为满足不同层次学生的需求，作业设计为“基础巩固—能力提升—拓展探究”三个梯度：1基础题（必做）（1）教材P32练习第1、2题（直接应用定理求线段比例）；（2）如图，DE∥BC，AD=3，AB=5，AE=4，求AC的长。2能力题（选做）（1）△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，求证：△ADE∽△DBF；（2）测量校园内某棵树的高度，写出测量方案及计算过程（需附示意图）。3拓展题（探究）若DE平行于△ABC的边BC，但D在BA的延长线上，E在CA的延长线上，△ADE与△ABC是否相似？尝试用预备定理的推导方法证明你的结论。06结语：让定理“活”在思维中结语：让定理“活”在思维中