2025 九年级数学上册相似三角形预备定理图形识别课件

一、课程背景与教学定位演讲人CONTENTS课程背景与教学定位知识铺垫：从平行线分线段成比例到预备定理的逻辑延伸图形识别的核心：从基础模型到复杂变式的分层突破例题解析与能力提升：从“模仿应用”到“综合推理”课堂巩固与分层训练总结与升华：图形识别的“三看”策略目录2025九年级数学上册相似三角形预备定理图形识别课件01课程背景与教学定位课程背景与教学定位作为初中几何“图形的相似”章节的核心内容之一，相似三角形预备定理（又称“平行线分三角形两边成比例定理”）是从“全等”到“相似”认知跃迁的关键桥梁。我在近十年的一线教学中发现，学生对相似三角形的学习难点往往始于对定理条件的模糊理解，尤其是对“图形识别”的敏感度不足——他们常因无法从复杂图形中提取“平行线+三角形”的核心结构，导致后续相似三角形判定与性质的应用受阻。因此，本节课的核心目标不仅是让学生掌握定理的文字表述与符号语言，更要通过系统化的图形识别训练，培养其“见线想比，见比想形”的几何直观能力。02知识铺垫：从平行线分线段成比例到预备定理的逻辑延伸1前置知识回顾：平行线分线段成比例定理在讲解预备定理前，必须先夯实学生对“平行线分线段成比例”这一基础定理的理解。记得去年带的班级中，有位学生曾问：“三条平行线截两条直线，为什么对应线段的比会相等？”为解答这个问题，我曾用方格纸绘制过如下图形：在水平方向绘制三条等距平行线(l_1\parallell_2\parallell_3)，再用两条斜线(a)、(b)分别与这三条平行线相交于(A,B,C)和(D,E,F)。通过测量(AB=2cm)、(BC=2cm)、(DE=3cm)、(EF=3cm)，学生直观看到(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=1)；若调整斜线(a)的倾斜角度，使(AB=3cm)、(BC=5cm)，再测量(DE=6cm)、(EF=10cm)，1前置知识回顾：平行线分线段成比例定理仍能得到(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{3}{5})。由此引出定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例（符号语言：若(l_1\parallell_2\parallell_3)，则(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF})）。2预备定理的推导：从“三平行线”到“三角形”的特殊化当“三条平行线”中的一条退化为三角形的一边时，定理会如何简化？以△ABC为例，作直线(DE\parallelBC)，分别交AB于D、AC于E（如图1）。此时，原“三条平行线”可视为(DE\parallelBC)，而第三条线是“无穷远线”，但更直观的理解是：将BC作为被截直线之一，AB和AC作为被截的两条直线。根据平行线分线段成比例定理，(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC})；若将比例式变形为(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC})（分子分母同加，利用合比性质），则可进一步观察到△ADE与△ABC的角对应相等（由DE∥BC得∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB），从而引出相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所构成的三角形与原三角形相似（符号语言：若(DE\parallelBC)，则△ADE∽△ABC）。03图形识别的核心：从基础模型到复杂变式的分层突破1基础模型：“A”型与“X”型的标准图形在相似三角形预备定理的应用中，最典型的两种基础图形是“正A型”（又称“金字塔型”）和“反X型”（又称“蝴蝶型”），这是学生图形识别的起点。“A”型图形：如图2，直线DE平行于△ABC的边BC，且D在AB上、E在AC上。其特征是：①有公共顶点A；②DE与BC方向相同；③对应边成比例（(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC})）。教学中我常让学生用手指比划出“△ADE”与“△ABC”的轮廓，感受“小三角形嵌套于大三角形”的结构。“X”型图形：如图3，直线DE平行于△ABC的边BC，但D在AB的延长线上、E在AC的延长线上（或D在BA的延长线、E在CA的延长线）。1基础模型：“A”型与“X”型的标准图形其特征是：①无公共顶点，两三角形交叉形成“X”状；②DE与BC方向相反；③对应边成比例（(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC})，注意AD、AB为有向线段，需关注延长线方向）。去年有位学生曾混淆“X型”的比例方向，我通过标注箭头方向（AD→AB，AE→AC）帮助其理解“从公共点出发的线段比例”。2变式图形：隐藏平行线与复合结构的识别实际题目中，平行线往往不会直接标注“∥”符号，而是通过角相等（如同位角、内错角相等）间接给出，或与其他几何图形（如平行四边形、梯形）结合，形成复合结构。这需要学生具备“抽丝剥茧”的能力。隐藏平行线的识别：例如，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，若∠ADE=∠ABC，根据“同位角相等，两直线平行”，可推出DE∥BC，从而应用预备定理。我曾设计过这样的题目：已知△ABC中，∠B=60，D在AB上，E在AC上，∠ADE=60，求证△ADE∽△ABC。学生最初可能只关注角度，忽略平行线的隐含条件，通过引导其反向思考“角度相等是否能推平行”，逐步建立“角等→线平行→相似”的逻辑链。2变式图形：隐藏平行线与复合结构的识别复合图形中的嵌套结构：如图4，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，点F在BC上，EF∥AB，连接AF、BE交于点G。此时需识别出：①在△ABD中，EG∥AB（由EF∥AB且E在AD上）；②在△ABE中，FG∥AB（由EF∥AB且F在BC上，而BC∥AD，故EF∥AD）。这类题目需要学生逐层分解图形，先识别大平行四边形中的平行线，再聚焦到小三角形中的相似关系。3易错图形：混淆“平行线”与“非平行线”的典型误区学生在图形识别中最易犯的错误是：误将不平行的直线当作平行线，或忽略延长线的情况。以下两类图形需重点强调：“伪A型”图形：如图5，D在AB上，E在AC上，但DE不平行于BC，此时△ADE与△ABC不相似。为加深理解，我会让学生测量具体长度（如AD=2，AB=5，AE=3，AC=8），计算(\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5})，(\frac{AE}{AC}=\frac{3}{8})，因比例不等，故不相似，从而强化“平行线是必要条件”的认知。延长线方向错误：如图6，D在AB的延长线上，E在AC上，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC；但若E在AC的延长线上，D在AB上，此时DE与BC可能不平行（需具体验证角度或比例）。3易错图形：混淆“平行线”与“非平行线”的典型误区我曾让学生用坐标法验证：设A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(3,0)（AB延长线上），若E(0,3)（AC延长线上），则DE的斜率为(\frac{3-0}{0-3}=-1)，BC的斜率为(\frac{2-0}{0-2}=-1)，此时DE∥BC，△ADE（坐标(0,0),(3,0),(0,3)）与△ABC（坐标(0,0),(2,0),(0,2)）相似；但若E(0,1)（AC上），则DE斜率为(\frac{1-0}{0-3}=-\frac{1}{3})，BC斜率为-1，不平行，故不相似。通过坐标计算，学生能更直观理解延长线方向对相似性的影响。04例题解析与能力提升：从“模仿应用”到“综合推理”1基础例题：直接识别“标准型”图形例1：如图7，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=2，BC=5，求DE的长度。解析：由预备定理知△ADE∽△ABC，故(\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB})。AB=AD+DB=5，代入得(\frac{DE}{5}=\frac{3}{5})，故DE=3。设计意图：通过直接给出平行线，让学生熟悉“比例式的构造”，强化“对应边成比例”的核心结论。2变式例题：隐含平行线的“角等推平行”例2：如图8，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠ABC，AB=6，AC=8，AE=3，求AD的长度。解析：由∠AED=∠ABC（同位角相等），得DE∥BC，故△ADE∽△ABC，(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC})，即(\frac{AD}{6}=\frac{3}{8})，解得AD=(\frac{9}{4})。设计意图：训练学生从角度相等反向推导平行线，培养“条件转化”能力。3综合例题：复合图形中的多层相似例3：如图9，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，过O作EF∥BC，分别交AB于E、CD于F。求证：EF是AD与BC的调和中项（即(\frac{2}{EF}=\frac{1}{AD}+\frac{1}{BC})）。解析：由AD∥EF∥BC，在△ABC中，EO∥BC，故(\frac{EO}{BC}=\frac{AE}{AB})；在△ABD中，EO∥AD，故(\frac{EO}{AD}=\frac{BE}{AB})；两式相加得(\frac{EO}{BC}+\frac{EO}{AD}=\frac{AE+BE}{AB}=1)，即(EO=\frac{ADBC}{AD+BC})；3综合例题：复合图形中的多层相似同理，FO=(\frac{ADBC}{AD+BC})，故EF=EO+FO=(\frac{2ADBC}{AD+BC})，变形得(\frac{2}{EF}=\frac{1}{AD}+\frac{1}{BC})。设计意图：通过梯形与平行线的结合，让学生体验“多层相似”的分析过程，提升综合推理能力。05课堂巩固与分层训练课堂巩固与分层训练为满足不同学习水平学生的需求，设计以下分层练习：基础层（达标要求）：如图10，DE∥BC，AD=2，AB=5，AE=3，求AC的长度。如图11，△ABC中，∠ADE=∠ACB，AD=4，AC=6，AB=9，求AE的长度。提升层（拓展要求）：如图12，在△ABC中，D在AB上，E在AC的延长线上，DE∥BC，AD=3，DB=2，BC=5，求DE的长度（注意延长线方向）。如图13，平行四边形ABCD中，E是AD中点，F是AB上一点，EF交AC于G，若AF=(\frac{1}{3})AB，求AG:GC的比值。06总结与升华：图形识别的“三看”策略总结与升华：图形识别的“三看”策略经过本节课的学习，我们不仅掌握了相似三角形预备定理的文字表述与符号语言，更重要的是提炼出图形识别的“三看”策略：看平行线：直接标注的“∥”符号，或通过角相等、比例相等间接推导出的平行线；