2025 九年级数学上册相似三角形折叠相似问题课件

一、教学背景分析演讲人教学背景分析壹教学目标设计贰教学重难点突破叁教学过程设计（45分钟）肆板书设计伍核心关联：折叠（轴对称）→相似三角形陆目录建立方程/比例求解柒2025九年级数学上册相似三角形折叠相似问题课件01教学背景分析教学背景分析作为一线数学教师，我始终认为，教学设计需扎根于教材与学情的深度融合。本节“相似三角形折叠相似问题”是人教版九年级上册第二十七章“相似”单元的拓展延伸，既是对相似三角形判定与性质的综合应用，也是对轴对称（折叠）变换中几何不变性的深入探究。从知识体系看，它上承“图形的相似”“轴对称变换”，下启“解直角三角形”“圆的综合应用”，是培养学生几何直观、逻辑推理与动态分析能力的重要载体。1教材地位教材中，相似三角形的核心是“对应角相等、对应边成比例”，而折叠问题的本质是轴对称变换，其核心是“对应点连线被折痕垂直平分，对应边、对应角相等”。二者结合的“折叠相似问题”，要求学生在动态变换中捕捉静态的几何关系，既是对单一知识点的深化，也是对“图形与变换”“图形与证明”跨模块能力的综合考查，符合新课标“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维分析现实世界”的要求。2学情分析授课对象为九年级学生，已掌握相似三角形的判定（AA、SAS、SSS）与性质（对应线段比等于相似比），以及折叠（轴对称）的基本性质（对应边相等、对应角相等、对称轴是对应点连线的垂直平分线）。但实际教学中我发现，学生普遍存在三大难点：一是难以将折叠的“动态过程”转化为“静态图形”；二是易忽略折叠前后的隐含等量关系（如对应角相等、对应边相等）；三是在复杂图形中找不全相似三角形的对应元素。因此，本节课需通过“从静态到动态、从单一到综合”的递进设计，帮助学生突破思维瓶颈。02教学目标设计教学目标设计基于课程标准与学情，我将本节课的教学目标设定为以下三个维度：1知识与技能目标理解折叠（轴对称）变换中“对应边、对应角相等”的本质，能准确标注折叠前后的等量关系；掌握在折叠问题中利用相似三角形的判定（AA、SAS）证明三角形相似的方法，能结合勾股定理、方程思想解决折叠相似的综合问题；能从动态折叠过程中抽象出几何模型，建立“折叠-轴对称-相似”的逻辑关联。2过程与方法目标通过“观察折叠现象→标注等量关系→猜想相似关系→验证推理”的探究过程，培养动态几何分析能力与逻辑推理能力；经历“单一折叠→复合折叠→开放探究”的问题进阶，体会“特殊到一般”“转化与化归”的数学思想。3情感态度与价值观目标在解决折叠相似问题的过程中，感受数学“变中寻不变”的美感，增强用数学方法解决实际问题的信心；通过小组合作探究，培养交流分享与质疑反思的学习习惯，体会数学学习的协作性与创造性。03教学重难点突破1教学重点折叠问题中相似三角形的判定与性质应用。需让学生明确：折叠的本质是轴对称，相似的关键是找“对应角相等”或“对应边成比例”，二者结合的核心是利用折叠的等量关系（如角相等、边相等）构造相似条件。2教学难点动态折叠过程中几何关系的捕捉与建模。学生常因折叠位置的变化（如折痕从边到对角线、从固定位置到任意位置）产生认知混乱，需通过“分步拆解→图形标注→动态演示”帮助学生建立“变中抓不变”的分析框架。04教学过程设计（45分钟）1情境导入：从生活到数学（5分钟）“同学们，上周手工课上大家折的纸飞机还记得吗？折叠时，机翼的两侧总是完全重合——这就是数学中的轴对称现象。今天我们就从‘折叠’出发，探究它与相似三角形的关联。”（展示图片：折叠的课本、窗花、纸飞机）设计意图：以生活实例激发兴趣，自然引出“折叠→轴对称”的核心概念。旧知回顾（2分钟）：提问1：折叠（轴对称）的性质有哪些？（学生回答：对应边相等，对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线）提问2：相似三角形的判定方法有哪些？（学生回答：AA、SAS、SSS；教师补充：平行于三角形一边的直线截其他两边，所截三角形与原三角形相似）过渡：“当折叠遇到相似，会碰撞出怎样的火花？让我们从一个简单的折叠问题开始探究。”2新知探究：从静态到动态（15分钟）2.1静态折叠：基础模型建构（8分钟）问题1：如图1，将△ABC沿直线EF折叠，使点A落在BC边上的点A'处，折痕为EF。若∠B=∠C=50，∠AEF=70，判断△A'EF与△ABC是否相似，并说明理由。（教师黑板画图，学生独立思考后小组讨论）引导分析：第一步：标注折叠的等量关系。由折叠可知，∠AEF=∠A'EF=70，AE=A'E，∠A=∠A'=80（△ABC内角和180）。第二步：找相似条件。在△A'EF中，∠A'EF=70，∠A'=80，则∠A'FE=30；在△ABC中，∠B=50，∠C=50，∠A=80。是否有对应角相等？（学生发现：∠A=∠A'=80，但∠AEF=70≠∠B=50，因此2新知探究：从静态到动态（15分钟）2.1静态折叠：基础模型建构（8分钟）不相似）追问：若改变折叠位置，使A'落在AB边上（如图2），其他条件不变，△A'EF与△ABC是否可能相似？（学生通过角度计算发现：若∠A'EF=∠B=50，则∠AEF=50，∠AFE=180-80-50=50，此时△AEF为等腰三角形，AE=AF，可能满足相似条件）设计意图：通过静态折叠的角度计算，强化“折叠→对应角相等”的关键，初步建立“标注等量关系→找相似条件”的分析流程。2新知探究：从静态到动态（15分钟）2.2动态折叠：复杂模型探究（7分钟）问题2：如图3，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处。判断△A'ED与△BCD是否相似，并求相似比。（教师用几何画板动态演示折叠过程，学生观察A'的运动轨迹）分析步骤：第一步：利用折叠的对称性，标注等量关系。AB=A'B=6，AE=A'E，∠BAE=∠BA'E=90。第二步：计算BD的长度（勾股定理：BD=√(6²+8²)=10），则A'D=BD-BA'=10-6=4。2新知探究：从静态到动态（15分钟）2.2动态折叠：复杂模型探究（7分钟）第三步：找相似条件。在△A'ED与△BCD中，∠A'DE=∠BDC（公共角），需证另一组角相等。由∠BA'E=90，得∠DA'E=90，而∠C=90，故∠DA'E=∠C=90，因此△A'ED∽△BCD（AA）。第四步：求相似比。相似比=A'D/BC=4/8=1/2。学生易错点：易忽略∠DA'E=90的推导，或误将边的比例找错（如用A'E/CD代替A'D/BC）。教师需强调“对应角找对，对应边才对”。过渡：“从静态到动态，折叠的位置变化带来了更丰富的几何关系。接下来，我们通过例题进一步巩固‘折叠相似’的解题方法。”3例题精讲：从基础到综合（12分钟）3.1基础例题（5分钟）例1：如图4，在△ABC中，∠C=90，AC=8，BC=6，点D在AC上，将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边上的点C'处。求证：△AC'D∽△ABC。分析思路：折叠性质：BC=BC'=6，CD=C'D，∠C=∠BC'D=90；计算AB=10（勾股定理），则AC'=AB-BC'=10-6=4；找角的关系：∠AC'D=180-∠BC'D=90=∠C，∠A=∠A（公共角），故△AC'D∽△ABC（AA）。设计意图：巩固“利用折叠的直角对应关系构造AA相似”的方法，强化“标注-计算-找角”的解题流程。3例题精讲：从基础到综合（12分钟）3.2综合例题（7分钟）例2：如图5，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠，使点A落在对角线AC上的点A'处，连接A'D。若△A'ED∽△BEC，求AE的长。分析思路：菱形性质：AC⊥BD，AO=3（O为对角线交点），BO=4（勾股定理），AD=5，∠DAC=∠BAC（角平分线）；折叠性质：AB=A'B=5，AE=A'E，∠BAE=∠BA'E；设AE=x，则A'E=x，DE=5-x；由△A'ED∽△BEC，得对应边成比例：A'E/BE=DE/EC=A'D/BC；3例题精讲：从基础到综合（12分钟）3.2综合例题（7分钟）最终通过方程求解x=10/3（具体过程需详细板书，强调分类讨论与方程思想的应用）。计算A'O=√(A'B²-BO²)=√(25-16)=3（此处需引导学生注意A'在AC上，故A'O=|AO-AA'|，需分情况讨论）；设计意图：综合菱形、折叠、相似三角形的性质，培养学生多知识点融合应用能力，突破“复杂图形中找相似对应关系”的难点。0102034课堂练习：分层巩固（8分钟）基础题（全体学生）：如图6，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4，将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB边上的点C'处。判断△AC'D与△ABC是否相似，并说明理由。提升题（学有余力学生）：如图7，在正方形ABCD中，AB=4，点E在BC上，BE=1，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处，连接B'D。若△AB'D与△AED相似，求DE的长。设计意图：通过分层练习，满足不同学生的学习需求，基础题巩固“AA相似判定”，提升题强化“动态折叠+相似比例”的综合应用。5归纳总结：从知识到思想（5分钟）“同学们，回顾本节课，我们从折叠的对称性出发，通过标注等量关系、寻找角或边的比例，解决了折叠中的相似问题。现在请大家用一句话总结‘折叠相似问题’的解题关键。”（学生自由发言，教师提炼）核心总结：折叠的本质是轴对称，需标注“对应边相等、对应角相等”；相似的关键是找“两组对应角相等”或“一组对应角相等且夹边成比例”；动态问题的解决策略：画图标注→捕捉不变量→建立方程或比例关系。情感升华：“数学中的折叠，就像生活中的挑战——看似改变了形状，却隐藏着不变的规律。希望大家能像今天探究折叠相似一样，在遇到困难时，学会‘变中寻不变’，用数学的思维照亮每一个问题！”05板书设计板书设计2025九年级数学上册相似三角形折叠相似问题06核心关联：折叠（轴对称）→相似三角形核心关联：折叠（轴对称）→相似三角形标注折叠等量关系（对应边、角）01寻找相似条件（AA/SAS）02二、解题步骤：07建立方程/比例求解建立方程/比例求解三、典型例题关键步骤（略）六、课后作业（分层）基础作业：教材P42习题27.2第10题（折叠后相似三角形的判定）；提升作业：如图8，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，将△ABC沿过点A的直线折叠，使点B落在BC边上的点B'处，若△AB'C∽△ABC，求折痕的长度；拓展作业：查