2025 九年级数学上册相似三角形坐标变换规律课件

一、教学目标与知识铺垫演讲人教学目标与知识铺垫01规律应用与典型例题分析02相似三角形坐标变换的核心规律探究03总结与升华04目录2025九年级数学上册相似三角形坐标变换规律课件各位同学、老师们：今天，我们将共同探索“相似三角形坐标变换规律”这一核心内容。作为九年级数学上册“图形的相似”章节的重要延伸，这部分知识既是对相似三角形基本性质的深化，也是坐标系中图形变换规律的综合应用。我将以“从观察到猜想，从验证到归纳”的思维路径，带大家逐步揭开坐标变换与相似三角形之间的内在联系。01教学目标与知识铺垫1教学目标定位本节课的学习需达成以下三个维度的目标：知识与技能：掌握相似三角形在坐标系中平移、旋转、位似等变换下的坐标规律；能根据变换前后的坐标数据，判断三角形的相似性并计算相似比。过程与方法：通过“观察特例—归纳规律—验证猜想—应用拓展”的探究过程，提升数形结合能力与逻辑推理能力；体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想。情感态度与价值观：感受坐标系作为“数与形桥梁”的独特价值，在解决实际问题（如地图缩放、建筑设计图）中体会数学的应用美，增强用数学眼光观察世界的意识。2前置知识回顾为顺利推进本节课，我们需要先回顾两组关键概念：（1）相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例（相似比k）；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。（2）坐标系中的基本变换：平移变换：点(x,y)向右（左）平移a个单位→(x±a,y)；向上（下）平移b个单位→(x,y±b)。旋转变换（绕原点顺时针/逆时针旋转θ）：点(x,y)旋转后坐标可通过三角函数计算（如旋转90时，(x,y)→(y,-x)或(-y,x)）。位似变换：以某点为位似中心，将图形放大或缩小，对应点连线过位似中心，且到位似中心的距离比等于相似比。2前置知识回顾过渡：这些知识是我们探索坐标变换规律的“工具包”。接下来，我们将聚焦“相似三角形”这一特定图形，研究其在坐标变换中的“不变性”与“可变性”。02相似三角形坐标变换的核心规律探究1从“位似变换”切入：最直接的相似关联位似变换是相似变换的特殊形式（相似比为k，且对应点连线共点），因此我们首先以位似变换为切入点，分析坐标规律。1从“位似变换”切入：最直接的相似关联1.1位似中心在原点的情形案例1：如图1所示，△ABC的顶点坐标为A(1,2)、B(3,4)、C(5,1)；△A'B'C'是△ABC以原点O为位似中心，相似比k=2的位似图形。计算△A'B'C'的坐标：A'(1×2,2×2)=(2,4)B'(3×2,4×2)=(6,8)C'(5×2,1×2)=(10,2)观察规律：若位似中心在原点，相似比为k，则原图形上任意一点P(x,y)的对应点P'(x',y')满足x'=kx，y'=ky。1从“位似变换”切入：最直接的相似关联1.1位似中心在原点的情形验证猜想：若相似比k=1/2，△A''B''C''的坐标应为A''(0.5,1)、B''(1.5,2)、C''(2.5,0.5)。通过计算AB=√[(3-1)²+(4-2)²]=√8，A''B''=√[(1.5-0.5)²+(2-1)²]=√2，AB/A''B''=√8/√2=2=1/k，符合相似比定义。1从“位似变换”切入：最直接的相似关联1.2位似中心不在原点的情形案例2：如图2所示，△ABC的顶点坐标为A(2,1)、B(4,3)、C(6,2)；△A'B'C'是以点D(1,0)为位似中心，相似比k=3的位似图形。如何推导A'的坐标？位似变换中，位似中心D到A的向量为(2-1,1-0)=(1,1)，放大k=3倍后，向量变为(1×3,1×3)=(3,3)，因此A'=D+(3,3)=(1+3,0+3)=(4,3)。同理，B到D的向量为(4-1,3-0)=(3,3)，放大后为(9,9)，B'=(1+9,0+9)=(10,9)；C到D的向量为(6-1,2-0)=(5,2)，放大后为(15,6)，C'=(1+15,0+6)=(16,6)。1从“位似变换”切入：最直接的相似关联1.2位似中心不在原点的情形归纳规律：若位似中心为点H(h_x,h_y)，相似比为k，原图形上点P(x,y)的对应点P'(x',y')满足：x'=h_x+k(x-h_x)y'=h_y+k(y-h_y)几何意义：该公式本质是“向量放大”——将原图形各顶点相对于位似中心的位置向量（即P-H）放大k倍，再平移回位似中心的位置。2.2一般相似变换的坐标规律：从位似到任意相似位似变换是“中心对称+缩放”的组合，而一般相似变换还可能包含平移、旋转或轴对称。但无论哪种变换，相似三角形的坐标规律都可通过“保持形状不变，大小按比例缩放”这一本质推导。1从“位似变换”切入：最直接的相似关联2.1平移变换与相似性结论：平移变换不改变图形的形状和大小（即相似比k=1），因此平移后的三角形与原三角形全等（特殊的相似）。案例3：△ABC平移后得到△A'B'C'，若A(1,2)→A'(4,5)（即向右平移3，向上平移3），则B(3,4)→B'(6,7)，C(5,1)→C'(8,4)。计算AB=√[(3-1)²+(4-2)²]=√8，A'B'=√[(6-4)²+(7-5)²]=√8，AB=A'B'，故全等。1从“位似变换”切入：最直接的相似关联2.2旋转变换与相似性结论：旋转变换同样不改变图形的形状和大小（k=1），旋转后的三角形与原三角形全等。案例4：△ABC绕原点逆时针旋转90，A(1,2)→A'(-2,1)，B(3,4)→B'(-4,3)，C(5,1)→C'(-1,5)。计算AB=√8，A'B'=√[(-4+2)²+(3-1)²]=√[(-2)²+2²]=√8，故全等。1从“位似变换”切入：最直接的相似关联2.3轴对称变换与相似性结论：轴对称变换（关于x轴、y轴或任意直线对称）是保距变换（k=1），对称后的三角形与原三角形全等。案例5：△ABC关于y轴对称，A(1,2)→A'(-1,2)，B(3,4)→B'(-3,4)，C(5,1)→C'(-5,1)。AB=√8，A'B'=√[(-3+1)²+(4-2)²]=√[(-2)²+2²]=√8，全等。过渡：通过以上分析，我们发现：平移、旋转、轴对称是“保相似比”的变换（k=1），而位似变换是“改变大小但保持形状”的变换（k≠1）。接下来，我们需要将这些变换组合，探索更复杂的相似三角形坐标规律。3组合变换下的相似三角形坐标规律STEP5STEP4STEP3STEP2STEP1实际问题中，相似三角形可能由多种变换组合而成（如先平移后位似，或先旋转后缩放）。此时，坐标规律需分步分析。案例6：△ABC先向右平移2个单位，再以原点为位似中心放大k=2倍，得到△A'B'C'。原A(1,2)→平移后A1(3,2)→位似后A'(3×2,2×2)=(6,4)。同理，B(3,4)→B1(5,4)→B'(10,8)；C(5,1)→C1(7,1)→C'(14,2)。规律总结：组合变换的坐标规律满足“变换顺序的叠加”，即先执行的变换先作用于原坐标，后执行的变换再作用于中间结果。03规律应用与典型例题分析1基础应用：根据变换求坐标或相似比03例2：△DEF以点G(2,1)为位似中心缩小k=1/2，D(4,5)的对应点D'坐标是多少？02解析：由位似中心在原点的规律，x'=kx→6=k2→k=3；y'=ky→9=k3→k=3，故相似比k=3。01例1：已知△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为原点，A(2,3)的对应点A'(6,9)，求相似比k。04解析：D到G的向量为(4-2,5-1)=(2,4)，缩小1/2后为(1,2)，故D'=G+(1,2)=(2+1,1+2)=(3,3)。2综合应用：判断相似性并推导变换过程例3：△PQR的顶点为P(1,1)、Q(3,2)、R(2,4)；△P'Q'R'的顶点为P'(2,2)、Q'(6,4)、R'(4,8)。判断两三角形是否相似，若相似，说明变换过程。解析：（1）计算PQ=√[(3-1)²+(2-1)²]=√5，P'Q'=√[(6-2)²+(4-2)²]=√(16+4)=√20=2√5；（2）QR=√[(2-3)²+(4-2)²]=√(1+4)=√5，Q'R'=√[(4-6)²+(8-4)²]=√(4+16)=√20=2√5；（3）PR=√[(2-1)²+(4-1)²]=√(1+9)=√10，P'R'=√[(4-2)²+(8-2)²]=√(4+36)=√40=2√10；2综合应用：判断相似性并推导变换过程（4）三边比均为2:1，故相似比k=2；（5）观察坐标：P'(2,2)=2×(1,1)=2×P，Q'(6,4)=2×(3,2)=2×Q，R'(4,8)=2×(2,4)=2×R，故△P'Q'R'是△PQR以原点为位似中心，k=2的位似图形。3实际问题：地图缩放中的相似坐标例4：某区域地图原比例尺为1:10000（即图上1cm=实际100m），现需放大为1:5000的地图（图上1cm=实际50m）。原地图中A点坐标为(3,5)（单位：cm），B点坐标为(7,9)，求放大后A'、B'的坐标及实际距离的变化。解析：（1）比例尺从1:10000变为1:5000，相当于相似比k=2（因为图上距离放大2倍，实际距离不变）；（2）放大后A'(3×2,5×2)=(6,10)，B'(7×2,9×2)=(14,18)；（3）原实际距离AB：图上距离=√[(7-3)²+(9-5)²]=√(16+16)=√32=4√2cm，实际距离=4√2×100m=400√2m；3实际问题：地图缩放中的相似坐标（4）放大后图上距离A'B'=√[(14-6)²+(18-10)²]=√(64+64)=√128=8√2cm，实际距离=8√2×50m=400√2m（与原实际距离一致，符合比例尺定义）。04总结与升华1核心规律回顾相似三角形在坐标系中的变换规律可概括为“三不变、一比例”：01形状不变：对应角相等（由相似性保证）；02方向可能变：旋转或轴对称会改变方向，但相似性不受影响；03位似中心是关键：位似变换的坐标规律依赖位似中心的位置（原点或任意点）；04坐标成比例：位似变换下，对应点坐标满足线性比例关系（k倍缩放）。052思想方法提炼本节课中，我们通过“特例观察—规律猜想—验证归纳—应用拓展”的研究路径，深刻体会了“数形结合”的数学思想——坐标系将几何图形的“形”转化为代数的“数”，通过坐标运算揭示相似变换的本质。这种“以数解形”的能力，是后续学习函