2025 九年级数学下册二次函数实际应用之利润问题课件

一、教学背景分析：为何聚焦“利润问题”？演讲人CONTENTS教学背景分析：为何聚焦“利润问题”？教学目标与重难点：明确方向，有的放矢教学过程：从生活到数学，逐步突破课堂小结：提炼核心，升华认知课后作业：分层巩固，拓展思维目录2025九年级数学下册二次函数实际应用之利润问题课件各位老师、同学们：大家好！今天我们共同探讨“二次函数实际应用之利润问题”。作为九年级下册“二次函数”章节的核心内容之一，这类问题不仅是中考数学的高频考点，更是数学建模思想的典型载体。在多年的教学实践中，我常发现学生面对“如何将实际问题转化为二次函数模型”“如何通过函数性质求解最大利润”等问题时容易卡壳。今天，我将结合真实教学案例与生活场景，带大家抽丝剥茧，逐步掌握这类问题的解决方法。01教学背景分析：为何聚焦“利润问题”？1课标的要求与教材的定位《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出：“要让学生经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，体会二次函数是描述变量之间关系的重要数学模型，能利用二次函数的性质解决简单的实际问题。”九年级下册“二次函数”章节中，“实际问题与二次函数”是继“二次函数的图象与性质”后的核心内容，而利润问题作为其中最典型的应用场景，贯穿了“建模—分析—求解—验证”的完整数学探究流程，是培养学生数学应用能力的关键载体。2学生的认知基础与潜在难点从知识储备看，学生已掌握二次函数的表达式（一般式、顶点式）、图象（抛物线）及性质（开口方向、顶点坐标、最值），具备用一次方程（组）解决简单实际问题的经验；从能力基础看，学生能初步分析变量间的关系，但对“多变量关联”“非线性关系”的抽象能力不足。教学中我发现，学生的常见困惑集中在三点：难以准确识别利润问题中的自变量（如售价、销量）与因变量（总利润）；对“单件利润×销量=总利润”这一核心等量关系的变形应用不熟练；忽略实际问题中变量的取值范围（如售价不能为负、销量不能为负），导致求出的最值不符合实际。02教学目标与重难点：明确方向，有的放矢1三维教学目标知识与技能：掌握利润问题中“总利润=单件利润×销量”的核心公式，能根据实际情境建立二次函数模型，通过配方法或顶点公式求解最大（小）利润，并验证结果的合理性。过程与方法：经历“问题抽象—变量分析—模型构建—求解验证”的完整过程，体会二次函数作为“最优化工具”的作用，提升数学建模能力与逻辑推理能力。情感态度与价值观：通过解决生活中的利润问题（如超市促销、商品定价），感受数学与经济生活的紧密联系，激发用数学解决实际问题的兴趣，培养“用数据说话”的理性思维。2教学重难点重点：建立利润问题的二次函数模型，利用二次函数的性质求解最大利润。难点：准确分析变量间的依赖关系（如售价变化对销量的影响），确定函数的定义域并验证解的合理性。03教学过程：从生活到数学，逐步突破1情境引入：从“水果店的小生意”说起为了让抽象的问题具象化，我们先看一个贴近生活的案例：案例1：小明家开了一家水果店，某种苹果的进价为每千克8元，平时以每千克12元的价格出售，每天可卖出100千克。经市场调查发现，若每千克降价0.5元，每天可多卖出20千克。小明想知道：如何定价才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少？这个问题中，“定价”影响“销量”，进而影响“总利润”，是典型的利润问题。通过这个案例，我们可以引出本节课的核心问题：如何用二次函数描述“定价—销量—利润”的关系，并找到最优解？（设计意图：用学生熟悉的生活场景降低认知门槛，激发探究兴趣。）2探究新知：构建利润问题的二次函数模型3.2.1明确核心公式：总利润=单件利润×销量利润问题中，总利润的计算始终围绕两个关键量：单件商品的利润（售价-进价）和销售数量（销量）。因此，总利润（设为(y)）可表示为：[y=(\text{售价}-\text{进价})\times\text{销量}]在案例1中，进价是8元/千克，若设售价为(x)元/千克（(x\leq12)，因为降价才能多卖），则单件利润为((x-8))元。接下来需要找到销量与售价的关系：题目中“每降价0.5元，销量增加20千克”可转化为“每降价1元，销量增加40千克”。原售价12元时销量为100千克，现售价(x)元，相当于降价了((12-x))元，因此销量增加了(40(12-x))千克，总销量为：2探究新知：构建利润问题的二次函数模型[\text{销量}=100+40(12-x)=580-40x]（这里需要强调“降价幅度”与“销量增量”的线性关系，引导学生注意单位的一致性。）因此，总利润(y)与售价(x)的函数关系式为：[y=(x-8)(580-40x)]展开整理后得到：[y=-40x^2+900x-4640]这是一个二次函数，由于二次项系数(a=-40<0)，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。通过顶点公式(x=-\frac{b}{2a})可求得顶点横坐标：2探究新知：构建利润问题的二次函数模型[x=-\frac{900}{2\times(-40)}=11.25]此时最大利润为：[y=-40\times(11.25)^2+900\times11.25-4640=405]（元）验证：当售价为11.25元/千克时，销量为(580-40\times11.25=130)千克，单件利润为(11.25-8=3.25)元，总利润(3.25\times130=422.5)元？（这里故意设置计算错误，引发学生思考）（停顿，引导学生检查错误）2探究新知：构建利润问题的二次函数模型哦，这里出现了矛盾，说明刚才的销量计算有误。重新分析：原售价12元时销量100千克，每降价0.5元销量增加20千克，因此降价((12-x))元时，降价次数为(\frac{12-x}{0.5})次，每次增加20千克，所以销量应为：[\text{销量}=100+20\times\frac{12-x}{0.5}=100+40(12-x)=580-40x]（计算正确）。那总利润计算错误的原因是代入顶点式时出错。正确的计算应为：[y=-40(11.25)^2+900\times11.25-4640][=-40\times126.5625+10125-4640]2探究新知：构建利润问题的二次函数模型[=-5062.5+10125-4640=422.5]（元），与直接计算((11.25-8)\times(580-40\times11.25)=3.25\times130=422.5)元一致。（设计意图：通过“故意出错—学生纠错”的过程，强化对变量关系的准确分析，培养严谨的计算习惯。）2探究新知：构建利润问题的二次函数模型2.2归纳建模步骤：四步走策略通过案例1的分析，我们可以总结出解决利润问题的一般步骤：1设变量：明确自变量（如售价(x)）和因变量（总利润(y)）。2找关系：根据题意，用自变量表示单件利润（售价-进价）和销量（原销量±变化量）。3列函数：根据“总利润=单件利润×销量”列出二次函数关系式。4求最值：通过配方法或顶点公式求出函数的最大值，并验证是否符合实际意义（如售价是否合理、销量是否非负）。52探究新知：构建利润问题的二次函数模型2.3变式训练：从“降价促销”到“涨价限制”为了深化对模型的理解，我们对案例1进行变式：变式1：若水果店规定该苹果的售价不低于10元/千克，不高于14元/千克（原进价8元，原售价12元），且每涨价1元，销量减少30千克（原销量100千克）。此时如何定价利润最大？分析：设售价为(x)元（(10\leqx\leq14)），则单件利润为((x-8))元。涨价幅度为((x-12))元（注意：当(x>12)时涨价，(x<12)时降价），但题目中改为“每涨价1元，销量减少30千克”，因此销量为：2探究新知：构建利润问题的二次函数模型2.3变式训练：从“降价促销”到“涨价限制”[\text{销量}=100-30(x-12)=460-30x]（需保证销量≥0，即(460-30x\geq0)，解得(x\leq15.33)，与题目中(x\leq14)一致）。总利润函数为：[y=(x-8)(460-30x)=-30x^2+700x-3680]顶点横坐标(x=-\frac{700}{2\times(-30)}\approx11.67)，但此时(x=11.67)是否在定义域([10,14])内？是的。计算最大利润：2探究新知：构建利润问题的二次函数模型2.3变式训练：从“降价促销”到“涨价限制”[y=-30(11.67)^2+700\times11.67-3680\approx481.67]（元）。但需要验证当(x=14)时的利润：((14-8)(460-30\times14)=6\times40=240)元；当(x=10)时：((10-8)(460-30\times10)=2\times160=320)元。显然，顶点处的利润最大，因此最优定价为11.67元（实际中可能取11.7元或12元，需结合实际调整）。（设计意图：通过“涨价”情境的变式，让学生理解销量与售价的关系可能是“正相关”（降价多卖）或“负相关”（涨价少卖），但建模思路一致。）3应用提升：复杂情境下的利润问题实际生活中，利润问题可能涉及更多变量，如“固定成本”“多商品组合”等。我们通过以下案例进一步拓展：案例2：某玩具厂生产一种玩具，固定成本（厂房、设备等）为5000元，每生产一件玩具的可变成本（材料、人工等）为20元。经市场调研，该玩具的售价(x)（元/件）与销量(m)（件）的关系为(m=-10x+1000)（(20<x<100)）。求：（1）总利润(y)与售价(x)的函数关系式；3应用提升：复杂情境下的利润问题当售价定为多少时，总利润最大？最大利润是多少？分析：（1）总利润=总收入-总成本。总收入=售价×销量=(x\timesm=x(-10x+1000))；总成本=固定成本+可变成本=5000+20m=5000+20(-10x+1000)。因此：[y=x(-10x+1000)-[5000+20(-10x+1000)]]展开整理：[y=-10x^2+1000x-5000+200x-20000][y=-10x^2+1200x-25000]3应用提升：复杂情境下的利润问题当售价定为多少时，总利润最大？最大利润是多少？（2）二次函数(y=-10x^2+1200x-25000)中，(a=-10<0)，开口向下，顶点横坐标(x=-\frac{1200}{2\times(-10)}=60)（元）。此时最大利润：[y=-10\times60^2+1200\times60-25000=-36000+72000-25000=11000]（元）。验证：当(x=60)时，销量(m=-10\times60+1000=400)件，总收入=60×400=24000元，总成本=5000+20×400=13000元，总利润=24000-13000=11000元，符合计算结果。3应用提升：复杂情境下的利润问题当售价定为多少时，总利润最大？最大利润是多少？（设计意图：引入“固定成本”和“可变成本”，拓展利润公式为“总利润=总收入-总成本”，培养学生对复杂情境的分析能力。）4误区警示：实际问题中的“隐形限制”在教学中，我发现学生常忽略以下两类限制条件，导致结果不符合实际：变量的取值范围：如售价不能低于进价（否则单件利润为负，商家不会亏本卖），销量不能为负数（否则无实际意义）。例如，在案例1中，若售价(x)过低，销量(580-40x)可能为负，此时需解不等式(580-40x\geq0)，得(x\leq14.5)（但原情境中是降价，所以(x\leq12)）。实际操作的可行性：如定价通常为0.5元或1元的整数倍（如案例1中定价11.25元可能调整为11元或11.5元），需比较调整后的值对应的利润，选择最优解。04课堂小结：提炼核心，升华认知课堂小结：提炼核心，升华认知通过本节课的学习，我们可以总结出以下关键点：一个核心公式：总利润=（售价-进价）×销量或总利润=总收入-总成本（含固定成本与可变成本）。一种建模思想：将实际问题中的变量关系抽象为二次函数模型，利用二次函数的顶点性质求解最值。一组注意事项：关注变量的实际意义（如售价、销量的非负性），验证解的