2024-2025学年新教材高中数学第五章统计与概率534频率与概率学案新人教B版必修第二册

5.3.4频率与概率

目国国图

考点学习目标核心素养

在详细情境中，了解随机事务发生的不确定

频率与概率性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频数学抽象、数学运算

率与概率的区分

■》预习,

一Hill研透:号号:争试

◎问题导学

预习教材P108—P112的内容，思索以下问题：

1.什么叫事务力的概率？其范围是什么？

2.频率和概率有何关系？

1.概率的统计定义

一般地，假如在〃次重复进行的试验中，事务力发生的频率为今则当〃很大时，可以认

为事务A发生的概率P(A)的估计值为N此时0WP3W：.

n

2.频率与概率的关系

概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映r一个

事务发生的可能性的大小.

■名师点拨

名称区分联系

本身是随孔的，在试验之前无法确定，(1)频率是概率的近似值，随着试

大多会随着试验次数的变更而变更.做验次数的增加，频率会越来越接近

频率

同样次数的重复试验，得到的频率值也概率

可能会不同(2)在实际问题中，事务的概率通

是一个［0,1］中的确定值，不随试验结常状况卜.是未知的，常用频率估计

概率

果的变更而变更概率

、自我检测》

n推断正误(正确的打“丁”，错误的打“x”)

⑴随机事务力的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.()

⑵随意事务1发生的概率夕(用总满意0<%冷<1.()

(3)若事务力的概率趋近于0，即夕(力)一0,则事务力是不行能事务.()

答案：（1）J（2）X（3）X

口某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的状况出现了12次，若用力表示事务”正面对

上”，则力的（）

A.频率堤B.概率状

□b

3

C.频率为12D.概率接近三

□

答案：A

回某医院治疗一种疾病的治愈率为！若前4个病人都没有治好，则第5个病人的治愈率

为（）

1

A.1B.7

C.3

D.0

5

答案：B

m某商品的合格率为99%,某人购买这种商品100件，他认为这100件商品中肯定有1

件是不合格的，这种相识是的（填“合理”或“不合理”）.

答案：不合理

探究案，窃⑥。⑧解惑•探究•突破

探究点可

概率概念的理解

屈m下列说法正确的是（）

A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5,一对夫妇先后生两小孩，则肯定为一男一女

B.一次摸奖活动中，中奖概率为0.2,则摸5张票，肯定有一张中奖

C.10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大

D.10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1

【解析】一对夫妇生两小孩可能是（男，见），（见，女），（女，男），（女，女），所以A

不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为（）.2,当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一

张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，

每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确，D正

确.

【答案】D

您倒园囹

(1)概率是随机事务发生.可能性大小的度量，是随机事务力的本质属性，随机事务.4发生

的概率是大量重复试验中事务A发生的频率的近似值.

(2)由概率的定义我们可以知道随机事务力在一次试脸中发生与否是随机的，但随机中含

有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映.

(3)正确理解概率的意义，要清晰概率与频率的区分与联系.对详细的问题要从全局和整

体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个详细的事务.

踪训

1.我们知道，每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都为0.5,则连续抛掷质地匀称的

硬币两次，是否肯定出现“一次正面对上，一次反面对上”呢？

解：不肯定.这是因为统计规律不同于确定的数学规律，对于详细的一次试验而言，它

带有很大的随机性(即偶然性)，通过详细试验可以知道除上述结果外，也可能出现“两次都

是正面对上”“两次都是反面对上”.

尽管随机事务的概率不像函数关系那样具有确定性，但是假如我们知道某事务发生的概

率的大小，也能作出科学的决策.例如；做连续抛掷两枚质地匀称的硬币的试验1000次，

可以预见：”两个都是正面对上”大约出现250次，“两个都是反面对上”大约出现25。次，

而“一个正面对上、一个反面对上”大约出现500次.

2.若某种彩票打算发行1000万张，其中有1万张可以中奖，则买一张这种彩票的中奖

概率是多少？买1000张的话是否肯定会中奖？

解：中奖的概率为K而；买1000张也不肯定中奖，因为买彩票是随机的，每张彩票都

可能中奖也可能不中奖.买彩票中奖的概率为；455,是由试验次数相当大，即随着购买彩票

的张数的增加，大约有7篇的彩票中奖.

1UJU

2

概率与频率的关系及求法

侧②某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示:

射击次数n102050100200500

击中靶心次数加8194492178455

击中靶心的频率夕

n

(1)填写表中击中靶心的频率；

(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？

【解】(I)表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.

(2)由于频率稳定在常数0.9旁边，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.

奥01困囹

(1)频率是事务A发生的次数力与试验总次数〃的比值，利用此公式可求出它们的频率.频

率本身是随机变量，当〃很大时，频率总是在一个稳定值旁边左右摇摆，这个稳定值就是概

率.

⑵解此类题目的步骤是：先利用频率的计算公式依次计算出频率，然后用频率估计概率.

跟踪训练;下面是某批乒乓球质量检查结果表:

抽取球数5010020050010002000

优等品数45921944709541900

优等品出现的频

率

(1)在上表中填上优等品出现的频率;

(2)估计该批乒乓球优等品的概率是多少？

(3)若抽取乒乓球的数量为1700则优等品的数量大约为多少？

解：(1)如下表所示：

抽取球数5010020050010002000

优等品数45921944709541900

优等品出现的频

0.90.920.970.940.9540.95

率

(2)从表中数据可以看出，这批乒乓球优等品的概率是0.95.

(3)由优等品的概率为。95,则抽取1700只乒乓球时,优等品的数量大约为1700X0.95

=1615.

探究点西

概率的应用

侧⑶为了估计水库中鱼的尾数，可以运用以下的方法：先从水库中捕出2000尾鱼,

给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库.经过适当的时间，让其和水库中的其他

鱼充分混合，再从水库中指出500尾，查看其中有记号的鱼，有40尾，试依据上述数据，估

计水库中鱼的尾数.

【解】设水库中鱼的尾数是〃，现在要估计〃的值，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的,

从水库中任捕一尾鱼，设事务4=｛带记号的鱼｝,则2(4=工幽

其次次从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，即事务力发生的频数为40,由概

率的统计定义知产(4)2荒，即“詈仁爵，解得25000.

所以估计水库中的鱼有25000尾.

奥愈同囹

（1）由于概率反映了随机事务发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以

可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率.

（2）实际生活与生产中经常用随机事务发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类

的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等.

跟踪训练;某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成状况，在学校随机抽

取初中部的150名学生登记佩带胸卡的学生名字.结果，150名学生中有60名佩带胸卡.其

次次检查，调查了初中部的全部学生，有500名学生佩带胸卡.据此估计该中学初中部一共

有多少名学生.

解：设初中部有〃名学生,

依题意得鲁=迎

解得〃=1250.

所以该中学初中部共有学生大约1250名.

，测评案▼⑥⑤每脩

1.在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些状况，其中有一项是说这种手

术的胜利率大约是99%,下列说明正确的是（）

A.100个手术有99个手术胜利，有1个手术失败

B.这个手术肯定胜利

C.99%的医生能做这个手术，另外遇的医生不能做这个手术

D.这个手术胜利的可能性大小是99%

解析：选D.胜利率大约是99%,说明手术胜利的可能性大小是99乐故选【）.

2.下列叙述中的事务最能体现概率是0.5的是（）

A.抛掷一枚骰子10次，其中数字6朝上出现了5次，抛掷一枚骰子数字6向上的概率

B.某地在8天内下雨4天，该地每天下雨的概率

C.进行10000次抛掷硬币试验，出现5001次正面对上，那么抛掷一枚硬币正面对上

的概率

D.某人买了2张体育彩票，其中一张中500万大奖，那么购买一张体育彩票中50。万大

奖的概率

解析：选C.A,B,D中试验次数较少，只能说明相应事务发生的频率是0.5.

3.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破裂的概率，公司收集了20000部汽车的相关

信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发觉有600部汽车的挡风玻璃破裂,

则一部汽车在一年内挡风玻璃破裂的概率近似是.

解析：这一年内汽车挡风玻璃破裂的频率为行■标=0.03,此频率值为概率的近似值.

乙UUUU

答案：0.03

4.给出下列四个命题：

①设有一批产品，其次品率为0.05,则从中任取200件，必有10件是次品；

51

②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是丽:

③随机事务发生的频率就是这个随机事务发生的概率；

9

④抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是正.

其中正确命题的序号为.

解析：①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的.②③混淆了

频率与概率的区分.④正确.

答案：④

5.假如掷一枚质地匀称的硬币，连续5次正面对上，有人认为下次出现反面对上的概率

大于这种理解正确吗？

解：这种理解是不正确的.掷一枚质地匀称的硬币，作为一次试验，其结果是随机的，

但通过大量的试验，其结果呈现出肯定的规律，即“正面对上”“反面对上”的可能性都是

连续5次正面对上这种结果是可能的，但对下一次试验来说，仍旧是随机的，其出现正面对

上和反面对上的可能性还是*而不会大于

应用素▼心⑥脸③

[A基础达标]

1.从一批打算出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用。

表示抽到次品这一事务，则对C的说法正确的是（）

A.概率端

B.频率端

C.概率接近专

D.每抽10台电视机，必有1台次品

解析：选B.事务。发生的频率为玄，由于只做了一次试验，故不能得出概率接近，的结

论.

2.高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正

确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是土某家长说：“要是都不会做，每题都随机选

择其中一个选项，则肯定有3道题答对.”这句话（：

A.正确B.错误

C.不肯定D.无法说明

解析：选B.杷解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是:说明白对的可能性大小是;.

做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大,

但是并不肯定答对3道题，也可能都选错，或有2,3,4,…甚至12个题都选择正确.

3.某篮球运动员投篮命中率为98%,估算该运动员投篮1000次命中的次数为（）

A.98B.980

C.20D.998

解析：选B.1（）00次命中的次数约为98%X1000=980.

4.从12件同类产品中（其中10件正品，2件次品），随意抽取6件产品，下列说法中正

确的是（）

A.抽出的6件产品必有5件正品，1件次品

B.抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品

C.抽取6件产品时，逐个不放回地抽取，前5件是正品，第6件必是次品

D.抽取6件产品时，不行能抽得5件正品，1件次品

解析：选B.从12件产品中抽到正品的概率喏T，抽到次品的概率为4=',所以抽出

1ZO1ZO

的6件产品中可能有5件正品，1件次品.

5.一袋中有红球5个、黑球4个，现从中任取5个球，至少有1个红球的概率为（）

54

A,9B,9

4

C-D.1

0

解析：选D.因为这是个必定事务，所以其概率为：.

6.在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49,则“正面朝下”

的次数为.

解析：由100X0.49=49,知有49次“正面朝上”，

故有100-49=51（次）“正面朝下”.

答案：51

7.对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示：

调查件数50100200300500

合格件数4792192285478

依据表中所供应的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查

________件产品.

解析：由表中数据知:抽查5次，产品合格的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.956,

可见频率在0.95旁边摇摆，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约需抽

950

杳〃件产品，则一丁=0.95,所以〃000.

答案：1000

8.下列说法正确的有.（填序号）

①频率反映的是事务发生的频繁程度，概率反映的是事务发生的可能性的大小.

②做〃次随机试验，事务力发生加次，则事务力发生的频率?就是事务月的概率.

③频率是不能脱离详细的试验次数的试验值，而概率是确定性的不依靠于试验次数的理

论值.

④在大量试验中频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.

解析：由频率、概率的意义及二者的关系可知①、③、④正确.

答案：①③④

9.在一次试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内，最初，这些豚鼠中150只有圆形

细胞，250只有椭圆形细脆，100只有不规则形态细胞，被注射这种血清之后，没有一个有圆

形细胞的豚鼠被感染，50个有椭圆形细胞的豚鼠被感染，有不规则形态细胞的豚鼠全部被感

染.依据试验结果，分别估计（1）圆形细胞；（2）椭圆形细胞；（3）不规则形态细胞的豚鼠被这

种血清感染的概率.

解：（1）记“圆形细胞的豚鼠被感染”为事务力，由题意知，力为不行能事务，

所以夕（4=0.

（2）记“椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事务H

501

由题意知P（而=7T-"=~=0.2.

ZoU0

（3）记“不规则形态细胞的豚鼠被感染”为事务C,由题意知事务。为必定事务，所以P9

=1.

10.某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成果记录如下：

射击次数100120150100150160150

击中飞碟数819512382119129121

击中飞碟的频率

（D将各次记录击中飞碟的频率填入表中；

（2）这个运动员击中飞碟的概率约为多少？

O1

解：（1）射击次数100,击中飞碟数是81,故击中飞碟的频率是丽=0.81,同理可求得

之后的频率依次是O792,0.820,0.820,0.793,0.806,0.807.

（2）击中飞碟的频率稳定在0.81旁边，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.

[B实力提升]

11.“某彩票的中奖概率为目而”意味着（）

A.买1000张彩票就肯定能中奖

B.买1000张彩票中一次奖

C.买1（）00张彩票一次奖也不中

D.购买彩票中奖的可能性是代记

解析：选D.概率只是度晨事务发生的可能性的大小，不能确定是否发生.

12.将一枚质地匀称的硬币连掷两次，则至少出现一次正面与两次均出现反面的概率比

为.

解析：将•枚质地匀称的硬币连掷两次有以下情形：

（正，