2024年统计学贾俊平考研知识点总结

统计学重点笔记

第一章导论

一、比较描述统计和推断统计：

数据分析是通过统计措施研究数据，其所用的措施可分为描述统计和推断统计0

(1)描述性统计：研究一组数据的组织、整顿和描述的统计学分支，是社会科学实

证研究中最常用的措施，也是统计分析中必不可少的一步。内容包括取得研究所需要

的数据、用图表形式对数据进行加工处理和显示，进而通过综合、概括与分析，得出

反应所研究现象的一般性特性。

(2)推断统计学：是研究怎样利用样本数据对总体的数量特性进行推断的统计学分

支。研究者所关心的是总体的某些特性，但许多总体太大，无法对每个个体进行测

量，有时我们得到的数据往往需要破坏性试验，这就需要抽取部分个体即样本进行测

量，然后依照样本数据对所研究的总体特性进行推断,这就是推断统计所要处理的问

题。其内容包括抽样分布理论，参数估量，假设检查,方差分析，回归分析，时间序

列分析等等。

(3)二者的关系：描述统计是基础，推断统计是主体

二、比较分类数据、次序数据和数值型数据:

依照所采取的计量尺度不一样，能够将统计数据分为分类数据、次序数据和数值型

数据。

(1)分类数据是只能归于某一类别的非数字型数据。它是对事物进行分类的成果，

数据体现为类别，是用文字来体现的，它是由分类尺度计量形成的。

(2)次序数量是只能归于某一有序类别的非数字型数据。也是对事物进行分类的成

果，但这些类别是有次序的，它是由次序尺度计量形成的。

(3)数值型数据是按数字尺度测量的观测值。其成果体现为详细的数值，现实中我

们所处理的大多数都是数值型数据。

总之，分类数据和次序数据阐明的是事物的本质特性,一般是用文字来体现的,其

成果均体现为类别，因而也统称为定型数据或品质数据；数值型数据阐明的是现象的

数量特性，一般是用数值来体现的，因此可称为定量数据或数量数据。

三、比较总体、样本、参数、统计量和变量：

(1)总体是包括所研究的所有个体的集合。一般是我们所关心的某些个体组成,

如由多个企业所组成的集合，多个居民户所组成的集合。总体依照其所包括的单位数

目是否可数能够分为有限总体和无限总体。有限总体是指总体的范围能够明确确定，

并且元素的数目是有限可数的，需要注意的是，统计意义上的总体，一般不是一举人

或某些物品的集合，而是一组观测数据。

(2)样本是从总体中抽取的一部分元素的集合，组成样本的元素的数目称为样本

容量。例如我们从一批灯泡中随机抽取100个，这100个灯泡就组成了一个样本。

(3)参数是用来描述总体特性的概括性数字度量。有总体平均数、标准差、总体

百分比。因为总体参数一般是不懂得的，因此参数是一个未知的常数。因此才需要进

行抽样，依照样本来估量总体参数

(4)样本量是用来描述样本特性的概括性数字度量。统计量是依照样本数据计算

出来的一个量，一般包括：样本平均数、样本标准差、样本百分比等，因为样本是我

们已经抽出来的，因此统计量总是懂得的，抽样的目标就是要依照样本统计量推断总

体参数。

(5)变量是阐明现象某种特性的概念。变量的特点是从一次观测到下一次观测会

展现出差异或变化，分为分类变量、次序变量、数值型变量、离散型变量和连续型变

量。

第二章数据搜集

一、调查方案的重要内容：

(1)调查目标：是调直所要达成的详细目标，他所回答的是“为何调查""要处理

什么样的问题”等

(2)调查对象和调查单位：调查对象是依照调查目标确实定的调查研究的总体或调

查范围。调查单位是组成调查队选中的每一个单位，它是调查项目和调查内容的负担

着或载体。所要处理的是“向谁调查"由谁来提供所需数据

(3)调查项目和调查表：调查项目要处理的问题是"调查什么"，也就是调查的详

细内容，大多数统计调查中，调查项目一般以表格的形式来体现，称为调查表

二、数据的误差：统计数据的误差一般是指统计数据与客观现实之间的差距，误

差的类型重要有抽样误差和非抽样误差两类。

(1)抽样误差：重要是指在用样本数据进行推断时所产生的随机误差。只存在于概

率抽样中。此类误差T殳是无法消除的，但事先能够进行控制和计算。

影响抽样误差大小的原因：

(a)抽样单位的数目。在其他条件不变的情况下，抽样单位的数目越多，抽样误

差越小；反之，越大。这是因为伴随样本数目标增多，样本结构越接近总体，抽样调

查也就越接近全面调查，当样本扩大到总体时，则为全面调查，也就不存在抽样误差

了。

(b)总体背研究标志的变异程度。在其他条件不变的情况下，总体标志的变异程

度越小，抽样误差越小，反之，越大。抽样误差和总体标志的变异程度呈正比变化。

这是因为总体的变异程度小，表示总体各单位标志值之间的差异小。则样本指标与总

体指标之间的差异也也许小；假如总体各单位标志值用等，则标志变动度为零，样本

指标等于总体指标，此时不存在抽样误差

(c)抽样措施的选择。重复抽样和非重复抽样的抽样误差大小不一样。采取不重

复抽样比采取重复抽样的抽样误差小

(d)抽样组织方式不一样。采取不一样的组织方式，会有不一样的抽样误差，这

是因为不一样的抽样组织所抽中的样本，对丁总体的代表性也不一样，一般，常利用

不一样的抽样误差，作出判断各种抽样组织方式的比较标准。

(2)非抽样误差：重要包括：抽样框误差，回答误差、无回答误差、调查员误差；

是调查过程中因为调查者或被调查者的人为原因所导致的误差。调查者所导致的误差

重要有：调查方案中有关的要求或解释不明确导致的填报错误、抄录错误、汇总错误

等；被调查者所导致的误差重要有：因人为原因干扰形成的故意虚报或瞒报调查数

据。非抽样误差理论上是能够消除的。

三、简单随机抽样：

(1)概念：从总体〃个单位中随机地抽取77个单位作为样本，每个单位入抽样本

的概率是相等的；

(2)特点：a、简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本

b、用样本统计量对目标量进行估量比较以便

(3)不足

■当“很大时，不易结构抽样框

■抽出的单位很分散，给实行调查增加了困难

■没有利用其他辅助信息以提升估量的效率

第三章数据的整顿与展示

一、数据排序的目标:

(1)数据排序是按一定次序将数据排列，以发觉某些明显的特性或趋势，找到处

理问题的线索

(2)排序尚有利于对数据检查纠错，以及为重新归类或分组等提供以便。

(3)在某些场所，排序自身就是分析的目标之一。

二、数据分组：

是依照统计研究的需要，将原始数据按照某种标准化提成不一样的组别，分组后的

数据成为分组数据。数据经分组后再计算出各组中数据出现的频数，就形成了一张频

数分布表，分组措施有单变量值分组和组距分组两种，单变量分组一般只适合于离散

变量，且在变量值较少的情况下使用，在连续变量或变量值较多情况下，一般采取组

距分组。

三、组距分组的步骤和标准：

(1)步骤：

a、确定组数：组数确实定应以能够显示数据的分布特性和规律为目标。在实际

国2)

分组时，能够按Sturges提出的经验公式来确定组数K

b、确定组距：组距(QassWidth)是一个组的上限与下限之差，可依照所有数据

的最大值和最小值及所分的组数来确定，即

组距=(最大值•最小值)+组数

以统计出各组的频数并整顿成频数分布表

(2)标准：

采取组距分组时，需遵照"不重不漏”的标准，〃不重"是指一项数据只能分在

其中的某一组，不能在其他组中重复出现；"不漏”是指组别能够穷尽，即在所分的

所有组别中每项数据都能分在其中的某一组，不能遗漏。为处理不重的问题，统计分

组时习惯上要求"上组限不在内"，即当相邻两组的上下限重叠时，恰好等于某一组

上限的变量值不算在本组内，而计算在下一组内。当然，对于离散变量，我们能够采

取相邻两组组限间断的措施处理"不重”的问题。也能够对一个组的上限值采取小数

点的形式，小数点的位数依照所要求的精度详细确定.缺陷：组距分组掩盖了各组内

的数据分布情况

四、直方图和条形图的区分:

首先，条形图是用条形的长度(横置时)表示各类别频数的多少，其宽度则是固

定的；直方图是用面积表示各组频数的多少，频数的高度表示每一组的频数或频率，

宽度则表示各组的组距，因此高度与宽度都故意义。

其次，因为分组数据具备连续性，直方图的各矩形一般是连续排列，而条形图则

是分开排列。

最后，条形图重要用于展示各类数据，而直方图则重要用于展示数据型数据。

五、绘制线图应注意的问题：

(1)时间一般绘在横轴，观测数据绘在纵轴

(2)图形的长宽百分比要适当，一般应绘成横粕略不小于纵轴的长方形，其长宽

百分比大体是10:7.

(3)一般情况下，纵轴数据下端应从。开始，以便于比较，数据与0之间的间距

过大，能够采取折断的符号将纵轴折断

六、设计统计表注意的问题:

首先，要合理安排统计表的结构，例如表号、行标题、列标题、数字资料的位置

应安排合理。

其次，表头一般应包括表号、总标题和表中数据的单位等内容，总标题应简明确

切地概括出统计表的内容。

再次，表中的上下两条线一般用粗线，中间的其他线用细线，表的左右两边不封

口，列标题之间能够用竖线分开，而行标题之间一般无须用横线隔开。

最后，在使用统计表时，必要时可在表下方加上注释，尤其注意标明数据起源。

七、数据的审核：

(1)原始数据：

a、完整性审核：检查应调查的单位或个体是否有遗漏；所有的调查项目或指标

是否填写齐全

b、准确性审核：检查数据是否真实反应客观实际情况，内容是否符合实际；检

查数据是否有错误，计算是否正确等

(2)二手数据：

a、合用性审核：搞清楚数据的起源、数据的口径以及有关的背景材料；确定数

据是否符合自己分析研究的需要

b、时效性审核：尽也许使用最新的数据

八、数据的整顿与显示(基本问题)

(1)要搞清所面正确数据类型，因为不一样类型的数据，所采取的处理方式^措

施是不一样的

(2)对分类数据和次序数据重要是做分类整顿

(3)对数值型数据则重要是做分组整顿

(4)适合于低层次数据的整顿和显示措施也适合于高层次的数据；但适合于高层

次数据的整顿和显示措施并不适合于低层次的数据

第四章数据的概括性度量

一、集中趋势和离散趋势的度量:

(1)集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，它反应了一组数据中心

点的位置所在。描述集中趋势所采取的测度值分为：众数、中位数和分位数、平均

数。

(2)离散趋势是数据分布的另一个重要特性，它所反应的各变量值远离其中心

值得程度，因此也称为离中趋势，数据的离散程度越大，集中趋势的测度值对该组数

据的代表性越差，反之，代表性越好。描述数据离散程度所采取的测度值，依照所依

据的数据类型的不一样重要有异种比率、四分位差、方差和标准差。另外尚有极差、

平均差以及测度相对离散程度的离散系数。

二、众数、中位数和平均数：

(1)三者的关系：从分布的角度看，众数一直是一组数据分布的最高峰值，中位数

的处在一组数据中间位置上的值，而平均数则是所有数据的算数平均。因此，对于具

备单峰分布的大多数数据而言，众数、中位数和平均数之间具备如下关系：

(a)假如数据的分布是对称的，众数、中位数、平均数必然相等

(b)假如数据是左偏分布，阐明数据存在极小值，必然拉动平均数向极小值一方

接近，而众数和中位数因为是位置代表值，不受极值的影响，因此三者的关系为众数,

中位数〉平均数

(c)假如数据是右偏分布，阐明数据存在极大值，必然拉动平均数向极大值的一

方接近，则众数〈中位数〈平均数。

(2)特点及应用场所

(a)众数是一组数据的峰值，是一个位置代表词，不受极端值的影响，具备不唯

一性，对于一组数据也谆有一个众数，也也许有两个或多个众数，也也许没有众数。

虽然对于次序数据以及数值型数据也能够计算众数，但众数重要适合于作为分类数据

的集中趋势测度值。

(b)中位数是一组数据中间位置上的代表值，重要适合于作为次序数据的集中趋

势测度值，虽然对于次序数据能够使用众数，但以中位数为宜。

(c)平均数是就数值型数据计算的，并且利用了所有数据信息，它是实际中应用

最广泛的集中趋势测度值。平均数重要适合于作为数值型数据的集中趋势测度值。当

数据呈对称分布或接近对称分布时，三个代表值相等或接近相等，这是我们应当选择

平均数作为集中趋势的代表值。但平均数的重要缺陷是易受数据极端值得影响，对于

偏态分布的数据，平均数的代表性较差。因此，当数据为偏态分布，尤其是当偏斜的

程度较大时，我们能够考虑选择众数或中位数等位置弋表词。

三、异种比率：

是非众数组的频数占总频数的比率。重要用于衡量众数对一组数据的代表程度。异

众比率越大，阐明非众数组的频数占总频数的比重越大，众数的代表性越差。反之，

越小，众数的代表性越好。异种比率重要适合测度分类数据的离散程度。当然，对于

次序数据以及数值型数据也能够计算异种比率。

四、四分位差：

是上四分位数与下四分位数之差。反应了中间50%数据的离散程度，其数值越

小，阐明中间数据越集中，数值越大，阐明中间数据越分散。四分位差不受极值的影

响。重要用于测度次序数据的离散程度，当然，对于数值型数据也能够计算四分位

差，但不适合于分类数据。

五、方差和标准差:

极差是一组数据的最大值与最小值之差，也称为全距。它轻易受极端值的影响，

因为极差只是利用了一组数据两端的信息，不能反应出中间数据的分散情况，因而不

能准确描述出数据的分散程度。

平均差是各变量值与其平均数离差的绝对值的平沟数,平均差以平均数为中心，

反应了每个数据与平均数的平均差异程度，它能全面准确的反应一组数据的离散情

况。平均差越大阐明数据的离散程度就越大，反之，越小。为了防止离差之和等于0

而无法计算平均差这一问题，平均差在计算时对离差取了绝对值，以离差的绝对值来

表总离差。

方差（或标准差）是实际中应用最广泛的离散程度测度值，因此它能准确的反应

出数据的离散程度。方差是各变量值与其平均数离差平方的平均数。

标准差是方差的平方根，与方差不一样的是，标准差是具备量纲的，它与变量值

的计量单位相同，其实际意义要比方差清楚，因此，在对实际问题进行分析时，我们

更多的使用标准差。

六、标准分数:

标准分数是指变量值与其平均数的离差除以标准差后的差。能够测度每个数据在

该组数据中的相对位置,并能够用它来判断一组数据是否有离群数据，也给出了一组

数据中各数值的相对位置，例如，假如某个数值的标准分数为-1.5,我们就懂得该数

值低于平均数L5倍的标准差。在对多个具备不一样量纲的变量进行处理时，常常需

要对各变量数值进行标准化处理。标准分数具备平均数为0、标准差为1的特性。实

际上，标准分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有变化一个数据在该组数据

中的位置，也没有变化改组数据分布的形状，而只是使该组数据的平均数为0、标准

差为1。

七、经验法则：

经验法则表白：当一组数据对称分布时

(1)约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内

(2)约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内

(3)约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内

八、切比雪夫不等式:

假如一组数据不是对称分布，经验法则就不再合用，这时就要使用切比雪夫不等

式，它对任何分布形状的数据都合用，对于任意分布形态的数据，依照切比雪夫不等

式，最少有(1・1人2)的数据落在k个标准差之内。其中k是不小于1的任意值，但不

一定是整数。对于k=2、3、4,该不等式的含义是：

(1)最少有75%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内

(2)最少有89%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内

(3)最少有94%的数据在平均数加减4个标准差的范围之内

九、相对离散程度：离散系数的作用：

极差、平均差、方差和标准差等都是反应数据分散程度的绝对值，其数值的大小

首先取决于原变量值自身水平高低的影响，也就是与变量的平均数大小有关，变量值

绝对水平高的，离散程度的测度值自然也就大。绝对水平小的离散程度的测度值自然

也就小；另首先，它们与原变量值的计量单位相同，采取不一样计量单位计量的变量

值，其离散程度的测度值也就不一样。因此对于平均水平不一样或者计量单位不一样

的不一样组别的变量值，是不能用上述离散程度的测度值直接比较其离散程度的。为

消除变量值水平高彳麻口让量单位不一样对离散程度测度值的影响，需要计算离散系

数。离散系数是指一组数据的标准差与其对应的平均数之比。离散系数是测度数据离

散程度的相对统计量，一般是就标准差来计算的，因此也称为标准差系数，离散系数

的作用重要是用于上徽对不一样样本数据的离散程度,离散系数大的阐明数据的离散

程度大，离散系数小的阐明数据的离散程度小。

十、测度数据分布形状的统计量：

(1)偏态：假如一组数据的分布的对称的，则SK=O，假如SK明显不等于零,表

白分布是非对称的。当SK为正值时，表示正偏离差值较大，能够判断为正偏或右偏；

反之，为负偏或左偏，SK的值越大，表示倾斜的程度就越大

(2)峰态：假如一组数据服从标准正态分布，则峰态系数的值等于0,若峰态系

数的值明显不一样于0,表白分布比正太分布更平或更尖，一般称为平峰分布或尖峰

分布。当K>0时为尖峰分布，当K<0时为扁平分布

第五章概率与概率分布

一、常见的离散型概率分布:

(1)两点分布

(2)二项分布：n重伯努利试验满足下列条件：a、一次试验只有两种成果，即成

功和失败，这里的成功是指感兴趣的某种特性。b、一次试验成功的概率是p,失败的

概率是q=l-p,并且概率P对每次试验都是相同的。c、试验是相互独立的。d、试验

能够重复进行n次。e、在n次试验中，成功的次数对应一个离散型随机变量，用X表

示

(3)泊松分布：重要特性：a.所考查的事件在任意两个长度相等的区间里发生一

次的机会均等。b、所考查的事件在任何一个区间里发生是否和在其他区间里发生是否

没有相互影响，即是独立的。泊松分布的另一个重要用途是作为二项概率分布的近

似。对一个n重伯努利试验，p代表每次伯努利试验成功的概率，当试验次数n柜对

很大，成功概率P相对很小，而乘积np大小适中时，泊松分布的一般体现式与二项分

布的一般体现式近似相等，

(4)超几何分布：二项分布只适合于重复抽样，但在实际抽样中，极少采取重复

抽样。不过，当总体的元素数目N很大而样本容量n相对于N很小时，二项分布仍然

合用。但假如是采取不重复抽样，各次试验并不独立，成功的概率也互不相等，并且

总体元素的数目很小或栏本容量n相对于N来说较大时，二项分布就不再合用，这

时，样本中成功的次数则服从超几何分布。

超几何分布与二项分布的关系：因为呈几何分布所描述的试验与n重伯努利试验

相同，因此超几何分布与二项分部之间也存在着十分特殊而故意义的联系，从直观上

来看吗，假如总体中的元素个数N很大，使得M的有限变化相对于N而言比较小，那

么超几何分布趋向于二项分布。这是因为在N趋于无穷大时，每次抽样的样品虽然不

放回，对其后裔表成功的事件发生的概率也不会有太大影响，能够近似以为不变，二

者恰好满足了二项分布的前提。

二、正态分布的曲线的性质：

(1)正态曲线的图形是有关x=目的对称钟形曲线，且峰值在x=畋h、

(2)正态分布的两个参数均值诉口标准差。一旦确定，正态分布的详细形式就唯一

确定，不一样参数取值的正太分布组成一个完整的正态分布族。

(3)正态分布的均值日能够是实数轴的任意数值，他决定正态曲线的详细位置，标

准差o相同二均值不一样的正太曲线在坐标轴上体现为水平位移

(4)正态分布的标准差o为不小于0的实数，他决定正态曲线的"陡峭"或"扁平

"程度。o越大，正太曲线越扁平；o越小，正太曲线越陡峭。

(5)当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，正态曲线的左右两个尾端也无

限渐进横轴，但理论上永远不会与之相交。

(6)与其他连续型随机变量相同，正太随机变量在特定区间上的取值概率由正太

曲线下的面积给出，并且其曲线下的面积等于1

♦经验法则：

・正态随机变量落入其均值左右各1个标准差内的概率是

68.27%

・正态随机变量落入其均值左右各2个标准差内的概率是

95.45%

・正态随机变量落入其均值左右各3个标准差内的概率是

99.73%

三、数据正态性的评定措施：

(1)、对数据画出频数分布的直方图或茎叶图。若数据近似服从正态分布，则图

形的形状与上面给出的正太曲线应当相同

(2)、求出样本数据的四分位差Qd/sal.3.

(3)、对数据作正太概率图。若数据近似服从正态分布，则数据点将落在一条近

似直线上

四、什么条件下用正态分布分布近似计算二项分布的效果很好

当样本容量n越来越大时，二项分布越来越近似服从正太分布，这时，二项随机

变量的直方图的形状接近正太分布的图形形状。

虽然对于小样本，当P=0.5时，二项分布的正太近似仍然相称好,此时随机变量

X的分布是相对是相对于其平均值卜i=np对称的。当平p趋于。或1时，二项分布将展

现出偏态，但当n变大时，这种偏斜就会消失。一般来说，只有当n大到使np和n

(1-P)不小于或等于5时，近似的效果就相称好。

五、均匀分布的直观概率意义：

将区间(a,b)划分为任意多个小区间。随机变量X在任何小区间上取值的概率

大小与该小区间的长度成正比，而与该小区间的详细，立置无关。

第六章抽样与抽样分布

一、比较分层抽样、系统抽样和整群抽样

(1)分层抽样是指将抽样单位按某种特性或某种规则划分为不一样的层，然后从

不一样的层中独立、随机地抽取样本。优点：a、确保样本的结构与总体的结构比狡相

近，从而提升估量的精度b、组织实行调查以便c、既能够对总体参数进行估量，也能

够对各层的目标量进行估量。d、分层抽样的样本分布在各个层内，从而使样本在总体

中的分布比较均匀

(2)系统抽样是指将总体中的所有单位(抽样单位)按一定次序排列，在要求的范围

内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先要求好的规则确定其他样本单位。

优点：操作简便，系统拍样的样本在总体中的分布一般也匕匕较均匀，由此抽样误差一

般要小于简单随机抽样,提升估量的精度缺陷：对估量量方差的估量比较困难

(3)整群抽样是指将总体中若干个单位合并为组(群)，抽样时直接抽取群，然后对中

选群中的所有单位所有实行调查优点是：不需要有总体的详细名单而只要有群的名单

就能够进行抽样，而群的名单比较轻易得到；另外调食的地点相对集中，节约调查费

用，以便调查的实行缺陷是估量的精度较差

二、比较三种不一样性质的分布

(1)总体分布指总体中各元素的观测值所形成的相对频数的分布。分布一般是未

知的，能够假定它服从某种分布

(2)样本分布是指从总体中抽取一个容量为n的样本，由这n个观测值形成的相

对频数分布。也称经验分布。当样本容量，逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分

布

(3)从一般意义上说，抽样分布是指样本统计量的概率分布，样本统计量的蹴率

分布。随机变量是样本统计量，如样本均值,样本百分比，样本方差等。成果来自容

量相同的所有也许样本；提供了样本统计量久远我们稳定的信息，是进行推断的理论

基础，也是抽样推断科学性的重要依据

三、中心极限定理

伴随样本容量n的增大(n>=30)，无论本来的总体是否服从正态分布，样本值的

抽样分布都趋于正态分布，其分布的数学期望为总体均值口，方差为总体方差的1/n,

这就是中心极限定理，表述为：设从均值为〃，方差为o2的一个任意总体中抽取容量

为〃的样本,当〃充足大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为4方差为〃"的

正态分布

四、重复抽样和不重复抽样相比，抽样均值分布的标准差有何

不一样

样本均值的方差与抽木寿昔施有关，在重复抽样条件下,样本均值的方差为总体方

蟾=­

X林

差的1/n,即

在不重复抽样条件下，样本均值的方差则需要用修正系数去修正重复抽样时样本

均值的方差，即T分)

不重复抽样的样本均值的方差小于重复抽样时的样本均值的方差

对于无限总体进行不重复抽样时，能够按照重复抽样来处理，对于有限总体，当

N很大，而抽样比n/N很小时，其修正系数趋于1,这时样本均值的方差也能够按照

重复抽样的样本均值的方差公式来计算

五、又2分布的性质和特点

(1)分布的变量值一直为正

(2)分布的形状取决于其自由度〃的大小，一般为不对称的正偏分布，但伴随自

由度的增大逐渐趋于对称

(3)期望为：E(/)=/7,方差为:口(下)=24/7为自由度)

(4)可加性：若〃和/为两个独立的*分布随机变量，出原由)，如木㈤，则

U+，这一随机变量服从目由度为/71+Q的Z2分布

第七章参数估量

一、评价估量量的标准

实际上，用于估量的夕的估量量有诸多，如我们能够用样本均值作为总体均值

的估量量，也能够用样本中位数作为总体均值的估量量，什么样的估量量才算是一个

好的估量量呢?这需要一定的评价标准：

L无偏性：估量量抽样分布的数学期望等干被估量的总体参数c设总体参

数为0,被选择的估量量为°，假如E(°)=夕，称。为夕的无偏估

量量。

2、有效性：对同一总体参数的两个无偏估量量，方差较小的是更有效的估

日日

里里。

3、一致性：伴随样本容量的增大，点估量量的值越来越接近被估的总体的

参数。换言之，一个大样本给出的估量量要比一个小样本给出的估量量更接近

总体的参数

二、怎样了解置信区间

置信区间：由样本统计量所结构的总体参数的估量区间，其中区间的最小值

称为置信下限，区间最大值称为置信上限。是一个随机区间，」一a的置信区

间意味着，置信区间包括未知参数的概率为।r“，这个区间会伴随样本观测值的

不一样而不一样。但100次利用这个区间，约有100(।r£/)个区间能包括参

数，也就是说大约尚有100a个区间不包括总体参数

判断置信区间优势的标准(好的置信区间的特性).•置信度越高越好；置信区间宽度

越小越好。

三、影响区间宽度的原因

L总体数据的离散程度，用s来测度

2.样本容量：当置信水平固定期,置信区间的宽度伴随样本容量的增大而减小,

换言之，较大的样本所提供的有关总体的信息要比小样本多。

3.置信水平(1・d),影响Z的大小：置信水平越大,z越大

四、简述样本容量与置信水平、总体方差、估量误差的关系

(1)样本量与置信水平呈正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所

需的样本容量也就越大

(2)样本量与总体方差呈正比，总体的差异越大，所需的样本容量就越大

(3)样本量与边际误差的平方成反比，即能够接收的估量误差的平方越大,所

需的样本量就越小

乙&乙飞

，是标准正态分布上侧面积为2时的Z值。5是估量总体均值时的边际误

差，也称为估量误差或误差范围

六、对两个总体均值之差的小样本估量中，对两个总体和样本

都有哪些假定

(1)两个总体都服从正态分布

(2)两个随机样本独立地分别抽自两个总体

七、解释95%的置信区间

抽取100个样本,依照每个样本结构一个置信区间，这么由100个样本结构的总体

参数的100个置信区间中,95%的区间包括了总体参数的真值，而5%没包括

八、对于总体百分比的估量，确定样本容量是否"足够大"的一般经验规则是：区

间p=F2jP(1-P)/2中不包括o或L或要求np25和n(l-p)>5

八、独立样本和匹配样本

假如两个样本是从两个总体中独立抽取的，即一个样本中的元素与另一个样本中的

元素相互独立，则称为犯立样本。匹配样本是指一个洋本中的数据与另一个样本中的

数据相对应

九、估量量和估量值

(1)估量量：用于估量总体参数的随机变量

■如样本均值，样本百分比、样本方差等

■例如：样本均值就是总体均值m的一个估量量

参数用。表示，估量量用°表示

(2)估量值：估量参数时计算出来的统计量的详细值

■假如样本均值，=80,则80就是m的估量值

第八章假设检直

一、参数估量和假设检查的区分和联系

(1)重要联系：

a.都是依照样本信息推断总体参数；

b.都以抽样分布为理论依据，建立在概率论基础之上的推断，推断成果都

有风险；

c.对同一问题的参数进行推断，使用同同样本，同一统计量，同一分布，

二者可相互转换

(2)重要区分：

a.参数估量是以样本信息估量总体参数的也许范围，假设检查是先对总体

参数提出一个假设值，然后利用样本信息判断这T股设是否成立；

b.区间估量求得的是求以样本估量值为中心的双侧置信区间，假设检查既

有双侧检查，也有单侧检查；

c.区间估量立足于大约率，一般以较大的可信度(l・a)去估量总体参数

的置信区间。假设检查立足于小概率。一般是给定很小的明显性水平a去检查

总体参数的先验假设是否正确

二、什么是假设检查中的明显性水平？统计明显是什么意思?

(1)明显性水平是当原假设正确时却被拒绝的概率或风险，即假设检查中

犯弃真错误的概率，一般用。表示，它是人们依照经验的要求确定的，一般取

«=°.05或0.01。明显性水平是人们事先指定的犯第I类错误概率Q的最大允许

值，确定了明显性水平。，就等于控制了第I类错误的概率。但犯第11类错•吴

的概率［却是不确定的

(2)统计明显值在原假设为真的条件下，用于检查的样本统计量的值落在

了拒绝域内，作出了拒绝原假设的决定

三、什么是假设检查的两类错误及其数理关系怎样

(1)假设检查中所犯的错误有两种：一类错误是原假设为真却别拒绝了，

犯此类错误的概率用a表示,也称第I类错误。另一类错误是原假设为假却没有

拒绝，犯这种错误的概率用6表示，也称第11类错误

(2)当a增加时。减小,当B增大时a减小,要使a和B同时减小的唯一措施

是增加样本容量

四、假设检查的步骤

(1)陈述原假设H(和备择假设立。

(2)从所研究的总体中抽出一个随机样本

(3)确定一个适当的检查统计量，并利用样本数据算出其详细数值

(4)确定一个适当的明显性水平，并计算出其临界值,指定拒绝域

(5)将统计量的值与临界值进行比较，作出决议。统计量的值落在拒绝域，

拒绝H。，否则不拒绝飞,或者也能够直接利用P值作出决议

五、建立原假设和备择假设的标准(建立假设的几点认识)

(1)原假设和备择假设是一个完备事件组，且相互独立

(2)在建立假设时，一般是先确定备择假设，然后再确定原假设

(3)在假设检查中‘等号"="总是放在原假设上。这是因为我们想涵盖备

择假设H1不出现的所专情况

(4)这么的假设本质上带有一定的主观色彩，在面对某一实际问题，因为不

一样研究者有不一样的研究目标，虽然对同一问题也也许提出截然相反的原假

设和备择假设，这并不违背假设的最初定义，只要符合研究的最后目标就是合

理的

六、单双侧检查的区分

备择假设具备特定的方向性，并含有或">〃的假设检查，称为单侧检

查或单尾检查。

备挣假设没有特定的方向性，并含有符号"。"的假设检查，称为双侧检查

或双尾检查

在单侧检查中，因为研究者感兴趣的方向不一样，又可分为左侧检查和右侧

检查

七、检查统计量的特性和用途

检查统计量是指依照样本观测成果计算得到的，并据以对原假谢口备择假设

做出决议的某个样本统计量。

检查统计量实际上是总体参数的点估量量，只有将其标准化后，才能用以度

量它与原假设的参数值之间的差异程度。而对点估量量标准化的依据则是：a、

原假设H。为真；b、点估量量的抽样分布。实际上，假设检查中所用的检查统

计量都是标准化检查统计量，它反应了点估量量与假设的总体参数相比相差多

少个标准差。

八、拒绝域面积与。大小的关系

当样本容量固定期，拒绝域的面积伴随。的减小而减小。越小，拒绝原假设

所需要的检查统计量的临界值与原假设的参数值就越远。拒绝域的位置取决于

检查是单侧检查还是双侧检查，双侧检查的拒绝域在抽样分布的两侧，而单侧

检查中，假如备择假设具备符号〃<〃，拒绝域位于抽样分布的左侧，故称为左

侧检查。假如备择假设具备符号,拒绝域位于抽样分布的右侧，故称为

右侧检查。

九、明显性水平a的不足

明显性水平Q实在检查之前确定的，这也就意味这我们事先确定了拒绝域。

这么，无论检查统计量的值是大还是小，只要他的值落入拒绝域就拒绝原假

设，否则不拒绝原假。这种固定的明显性水平。对检查成果的可靠性起一个度量

作用。但不足的是，。是犯第I类错误的上限控制值，它只能提供检查结论可靠

性的一个大体范围，而对于一个特定的假设检查问题，却无法给出观测数据与

原假设之间不一致程度的精准度量，也就是说，仅从明显性水平比较，若选择

的a值相同，所有的检查成果的可靠性都同样。

十、P值较小时为何要拒绝原假设

P值是指在原假设为真的条件下，检查统计量的观测值不小于或等于其计

算值的概率。

P值是反应实际观测到的数据与原假设％)之间不一致程度的一个概率值。P

值越小，阐明实际观测到的数据与H。之间不一致的程度就越大，检查的成果也

就越明显

十一、明显性水平。与P值得区分

(1)a的含义是当原假设正确时却被拒绝的概率或风险，即假设检查中犯

弃真错误的概率，是有人们依照检查的要求确定的，一般a=0.05或0.01

而P值是原假设为真时所得到的样本观测成果或更极端成果出现的概率,

它是通过计算得到的，P值得大小取决于三个原因：样本数据与原假设之间的

差异、样本量、被假设数据的总体分布

(2)，只能提供检查结论的可靠性地一个大体范围,而对于一个特定的假

设检查为题，却无法给出观测数据与原假设之间不一致程度的精准度量。即仅

从明显性水平来比较，假如选择的唯相同，所有检查成果的可靠性都同样.

而P值能够测量出样本观测数据与原假设中假设的值的偏离程度。

十二、总体均值的检查

在对总体均值进行假设检查时，采取什么检查步骤和检查统计量取决于我们

所抽取的样本是大样本(nN30)还是小样本(n430),另外还需要辨别总体

7

是否服从正态分布、总体方差。是否已知等几个情况。

(1)大样本的检查措施：样本均值通过标准化后服从正态分布，设假设的

总体也值即*当对秘差。已知时，总体均值检查的统计量为：

当总体方差未知时，能够用样本方差S2来近似替代总体方差，此时总体均值检

~N(QJ)

(2)小样本的检查措施:

2

总体方差。已知时，虽然在小样本下，检查统计量仍然服从正太分布,

~N(QJ)

因此仍然按照来计算。

?7?

总体方差。未知时，需要用样本方差S替代总统方差。，此时检查统计

量服从自由度为n-1的t分布。因此需要采取t分布来检查总体均值，一般祢为

"t检查〃。检查的统计量为：

X_No

S/Jir

第九章方差分析与献设计

一、方差分析的概念及了解

方差分析是指检查多个总体均值是否相等的统计措施。所采取的措施就是通过检

查各总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有明显影响。

它研究的是多哥总统均值是否相等的统计措施，但本质是研究分类型自变量对数

值型因变量的影响。

二、方差分析和回归分析的区分和联系

区分：

(1)方差分析中沿水平轴的自变量是分类变量；而回归分析沿水平轴的自变量是

数值型变量。

(2)方差分析中，既然自变量是分类变量,就能够把它放在水平轴的任意位置

上;而回归分析的自变量是数值型变量，它在水平轴上的位置是从按小到大的数翩E

列的，因此只有一个方式来放这些数值，并且能够画出一条穿过这些点的直线。

(3)方差分析是通过检查各总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因

变量是否有明显影响；而回归分析是依照一组样本数据确定出变量之间的数学关系

式，然后对关系式的可信程度进行各种统计检查，并找出哪些变量的影响是明显的，

哪些不明显等

三、方差分析中的基本原理

(1)方差分析是通过对数据误差起源的分析来判断不一样总体的均值是否相等,

进而分析自变量对因变量是否有影响

(2)数据的误差是用平方差来表示的，包括组内误差和组间误差

(3)组内误差只包括随机误差，而组间误差既包括随机误差，又包括系统误差

(4)假如组间误差只包括随机误差，而没有系统误差，这时，组间误差与组内误

差通过平均后的数值就应当很接近，他们的比值就会接近1；

(5)反之，假如组间误差既包括随机误差又包括系统误差，这时，组间误差与组

内误差通过平均后的数值，他们的比值就会不小于1；

(6)当这个比值大到某种程度时，我们就能够说原因的不一样水平之间存在着明

显的差异，也就是自变量对因变量有影响。

四、方差分析中的基本假定

(1)每个总体都应服从正态分布。也就是说，对于原因的每一个水平，其观测值

是来自服从正态分布总体的简单随机样本

(2)各个总体的方差必须相同。也就是说，各组观测数据是从具备相同方差的总

体中抽取的

(3)观测值是独立的

在上述假定成立的前提下，要分析自变量对因变量是否有影响，实际上也就是

要检查自变量的各个水平(总体)的均值是否相等。

五、方差分析和总体均值的t检查或Z检查有何不一样？优势

是什么

(1)不一样：总体均值的t检直或Z检查，只能研究两个样本，若要检查多个总

体均值是否相等。那么作这么的两两比较将十分繁琐，共需进行3次不一样的检查，

假如。=0.05,那么每次检查犯第I类错误的概率都是0.05,做数次检查会使第

I类错误的概率对应增加。而方差分析措施则同时考虑所有的样本，因此除了

错误累计的概率，从而防止了拒绝一个真是的原假设。

(2)优势：方差分析不但能够提升检查的概率，同时因为他是将所有的样本信息

结合在一起，也增加了分析的可靠性。

六、要检查多个总体均值是否相等时，为何不做两两比较，而

用方差分析措施？

方差分析不但能够提升检查的概率，同时因为他是将所有的样本信息结合在一

起，也增加了分析的可靠性。

检查多个总体均值是否相等时，假如做两两比较，需要进行数次的t检查。伴随

增加个体明显性检查的次数，偶然原因导致的差异的也许性会增加(并非均值真的存

在差异)，而方差分析则是同时考虑所有的样本，因此排除了错误累积的概率，从而

防止拒绝一个真实的原假设。

七、方差分析的步骤

(1)提出假设，按要求检查的k个水平的均值是否相等，提出原假设和备择假

设。

(2)结构检查的统计量，计算各样本均值Xi,样本总均值文,误差平方和SST、

SSA乐-1_MSA

SSA、SSEF=SSE/n-k=麻

(3)统计决议，比较统计量F和%k-l,n-k)的值।若F>t,则拒绝原假设，反之不

拒绝原假设

八、解释水平项误差平方和与误差平方和

(1)水平项误差平方和，简称SSA,是各组平均强与总平均值的误差平方和，反

应各总体螂同堂号舞仁因驻称为组间平方和，其计算公式为

M户1Ml

(2)误差项平方和，简称为SSE,它是每个水平或组的各样本数据与其组平均值

误差的平方和7印了每个样本个观测值的离散情况，因此又称为组内平方和或残差

平方和，该平易贷际上反应的是随机误差的大小，其计算公式为

九、解释组内方差和组间方差的含义

SSA

A幡SA三昔

SSA的均方(组间均方)记为MSA,也称组间方差,其计算公式为H

MSE的均方(组内均方)记为MSE,也称组内方差，其计算公式为

2k

十、方差分析中效应的意义

SSA是对随机误差和系统误差的大小的度量，它反应了自变量对因变量的影响，

同

也称自变量效应或因子效应。--zEX—E

SSE是对随机误差的大小的度量,它反应了除自变量对因变量的影响之外，其他

原因对嬲⑥^眄嫌此SSE也称为残差变量,它所引起的误差也称为残差效

应。

SST是所有数据总误差程度的度量，它反应了自变量和残差变量的共同影响,因

尔=次之（与-郎

此他等于自变量效应加残差效应。㈣以

SST=SSA+SSE

十一、多重比较措施的作用：

它是通过对总体均值之间的配对匕瞰来深入检查到底哪些均值之间存在差异。

十二、交互作用：

是一原因对另一原因的不一样水平有不一样的效果，如对于双原因方差分析，有

交互作用就是两个原因搭配在一起，对应变量产生的一个新的效应。

十三、解释无交互作用和有交互作用的双原因方差分析

在双原因方差分析中，因为有两个影响原因，若这两个原因是相互独立的，我们

分别判断这两个原因对因变量的影响，这时的双原因方差分析称为无交互作用的双原

因方差分析，或称为无重复原因分析。假如出了两个原因的单独影响外，两原因的搭

配还会对因变量产生一个新的效应，这时的双原因方差分析就是有交互作用的双原因

方差分析。

十四、R2的含义和作用

(1)单原因方差分析中，出表示自变量平方和(的I)及残差平方和(交?占总平方和

(SS7)的用也就能够用来测量两个变量之间的关系强度

WMTW)

(2)无交互作用的双原因方差分析中，行自变量平方(SSR)和和列自变量的平方

和(SSC)加在一起则度量了两个自变量对因变量的联合效应，联合效应与总平方和的

2二联合麴应二SSK+SSC

比值定遵在，睇汾隈R友应碘两个自变量合起来与因变量之间的关系强度

SSR+SSC+SSRC

(3)有交互作用的方差分析：住=一

十四、为何双原因方差分析中，误差平方和与P值明显小于单

原因方差分析中的任何一个平方和？

是因为在双原因方差分析中，误差平方和不包括两个自变量中的任何一个，因而

减少了残差效应。而在分别作单原因方差分析时，?竽亍原因作为自变量时，列变量被

包括在残差中，同样，将列原因作为自变量是，行变量被包括在残差中。因此，对于

两个自变量而言，进行双原因方差分析要优于分别对两个原因进行单原因方差分析

十五、完全随机化设计、随机化区组设计、因子设计

(1)完全随机化设计指''处理"被随机地指派给试验单元的一个设计、对完全随

机化设计的数据采取单原园方数淅

(2)随机化区组设计是指先按一定规则将试验单元划分为若干同质组，称为“区

组。分组后再将每个品种(处理)随机地指派给每一个区组的设计就是随机化区组设

计。试验数据采取段懿原园力室分析

(3)因子设计指考虑两个原因(可推广到多个原因)的搭配试验设计称为因子设

计。该设计重要用于分析两个原因及其交互作用对试脸成果的影响。试验数据采取可

重复双原因方差分析

第十章一元线性回归

一、简述有关系数的性质

有关系数是指依照数据计算的对两个变量之间线生关系强度的度量值。若有关系

数是依照总体所有数据L算的，称为总体有关系数，记为2;若是依照样本数据计算

二种—十

的，则称为样本有关系猛、期1侬群褪帝算寥y

性质：

(1)，的取值范围是［-1,1］；|4=1,为完全有关，r=1,表白X与y之间为完全

正线性有关关系，r=-1,表白x与y之间为完全负线性有关关系；r=0,表白x与

y之间不存在线性有关关系有关，,表白x与y之间为负线性有关，0<,

<1,表白x与y之间为正线性有关，越趋于1表示关系越亲密；团越趋于0表示关

系越不亲密

(2)r具备对称性，x与y之间的有关系数［X厢y和x之间的有关系数「yx相等，即

1rxy=1ryx

(3)r的大小与x和y的原点及尺度无关。变化x和y的数据原点和计量尺度，并

不变化r的大小

(4)r仅仅是x和y之间的线性关系的度量，不用于描述非线性关系，这意味着，

「二0指标是两个变量之间不存在线性有关关系，但并阐明变量之间没有任何关系，如

也许存在非线性有关关系。变量之间的非线性有关程度较大时，就也许会导致r=0.因

此当r=0或很小时，不能轻易得出两个变量之间不存在有关关系的结论，而应结合散

点图作出合理的解释。

(5)I•虽是两变量之间境性关系的度量，却并不意味着x和y之间一定有因果关

系。

二、利用有关关系怎样判断变量之间有关的方向和有关的亲密

程度？

(1)「的取值范围是［-1,1］；加=1,为完全有关表白x与y之间为完全

正线性有关关系，，="，表白x与y之间为完全负线性有关关系；,=0,表白x与

y之间不存在线性有关关系有关，-l<r<0,表白x与y之间为负线性有关，0<r

<1，表白x与y之间为正线性有关。

(2)依照实际数据计算出的r,仍越趋于1表示关系越亲密；I”越趋于0表示关

系越不亲密。有关程度分为如下几个情况：当mN0.8时，可视为高度有关；

0.54/1<0.8时，可视为中度有关；当0.3刍/1<0.5时，视为低度有关；加<0.3时，阐

明两变量之间的有关程度极弱，可视为不线性有关。但这种解释必须建立在对有关系

数的明显性进行检查的基础之上

三、为何对有关系数进行明显性检查？

一般情况下，总体有关系数p是未知的，我们一般是依照样本有关系数「作为P的近

似估量值。但因为r是依照样本数据计算出来的，他受到抽样波动的影响。因为抽取

的样本不一样，「的取值也不一样，因此r是一个随机变量。能否依照样本有关系数阐

明总体的有关程度？这就需要考查样本有关系数的可靠性，即进行明显性检直。

四、样本容量对r的影响及r与p的关系

当样本数据来自正态总体时，伴随n的增大，「的抽样分布趋于正态分布，尤其是

在总体有关系数P更小或接近0时，趋于正态分布的趋势就非常明显，而当P远离0

时，除非n非常大，否则r的抽样分布展现一定的偏态。因为当r是围绕p的周围分布

的，当p的数值接近1或T时，如p=0.96时,两个方向变化的全距不等，因此「的抽

样分布也不也许对称。但当p=0时，两个方向的变化的全距接近相等，因此r的抽样

分布就接近对称了。总之，当p为较大的正值时，「展现左偏分布；当p为较小的负值

时，「展现右偏分布。只有当p接近0,而样本容量n很大时，才能以为「是接近于正

态分布的随机变量。

五、r的明显性检查的步骤

1.提出假设：%:p=0；H\:

2.计算检查的统计量

3、进行决议。确定明显性水平a,并作出决议。若14＞心，拒绝任,表白总体的

两个变量之间存在明显的线性关系；若僭＜心2,不拒绝《

六、概述有关分析和回归分析的区分和联系

(1)联系:二者都是研究非确定性变量间的统计依赖关系，并能测度线性依赖程

度的大小。他们有共同的研究对象，都是对变量间的有关关系的分析，二者能够相互

补充，有关分析能够表白变量间的有关关系的性质和程度，只有当变量间存在相称程

度的有关分析时，进行回归分析，谋求变量间有关的详细数学形式才故意义。