《等边三角形性质和判定》课件

第十三章

轴对称13.3.2

等边三角形

第1课时

等边三角形性质和判定1.掌握等边三角形定义，弄清出等边三角形和等腰三角形的关系，培养抽象概括能力。2.经历类比过程，探索等边三角形的性质和判定，培养推理能力和模型观念;3.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明，培养推理和运算能力及应用意识.学习重点：等边三角形的概念、性质和判定.学习难点：等边三角形判定定理的探究与证明,并灵活地运用等边三角形的性质与判定方法解决相关问题.名称图形性质

判定等腰三角形等边对等角三线合一等角对等边两边相等两腰相等轴对称图形ABC

1．等腰三角形的性质和判定

2．三角形按边的相等关系分类三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形．小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条，长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？等边三角形的性质知识点110cm6cm10cm10cm10cm10cm等腰三角形等边三角形一般三角形在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.ABCABC等边三角形的三个角之间有什么关系？等腰三角形AB=AC∠B=∠C等边三角形AB=AC=BCAB=AC∠B=∠CAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C内角和为180°=60°问题1：学生活动一

【一起探究】结论：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.已知：AB=AC=BC，

求证：∠A=∠B=∠C=60°.

证明：

∵AB=AC，∴∠B=∠C.(等边对等角)

同理

∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.

∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.ABCABC等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？结论:等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.顶角的平分线、底边的高底边的中线三线合一一条对称轴三条对称轴问题2：图形等腰三角形

性质

每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线互相重合三个角都相等，对称轴（3条）等边三角形对称轴（1条）两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合且都是60º两条边相等三条边都相等归纳总结例1如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．等边三角形的性质应用素养考点解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°–40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°.解决与等边三角形有关的计算问题，关键是注意“每个角都是60°”这一隐含条件，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答.方法点拨如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）．例2△ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.方法点拨此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般先利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度数．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS）．（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．图形等腰三角形判定

三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形等边三角形的判定知识点2小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？等边三角形的判定方法：

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.（1）（2）（6）（5）不是是是是是（4）（3）不一定是例1

如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形.ACBDE等边三角形的判定的应用素养考点ACBDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.本题还有其他证法吗？

若点D,E在边AB,AC的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？ADEBC变式训练证明：∵

△ABC是等边三角形，

∴

∠A=∠ABC=∠ACB=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠ABC=∠ADE，

∠ACB=∠AED.∴

∠A=∠ADE=∠AED.∴

△ADE是等边三角形.ADEBC若点D,E在边AB,AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？ADEBC变式训练证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠D，∠C=∠E．∴∠EAD=∠D=∠E．∴△ADE是等边三角形．ADEBC上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE,△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACBDE变式训练ACBDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵AD=AE,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.例2等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．解：△APQ为等边三角形．证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．方法点拨判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个角等于60°.证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等边三角形．如图，等边△ABC中，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（）A.4个

B.5个C.6个

D.7个DACBDEO1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A．105°B．120°C．135°D．150°B3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（）A．10°

B．15°C．20°D．25°B等边三角形定义底=腰特殊性性质特殊性边三边相等角三个角都等于60°轴对称性轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质判定特殊性三边都相等三角都相等有一个角是60°的等腰三角形一般到特殊，类比方法学前温故新课早知1.等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是:

.

2.等腰三角形的

,

,

相互重合.

顶角平分线所在的直线(答案不唯一)顶角平分线

底边上的中线

底边上的高

学前温故新课早知1.三条边都

的三角形叫做等边三角形.

2.等边三角形的

,并且每一个角都等于60°.

3.三个角

的三角形是等边三角形.

的等腰三角形是等边三角形.

4.等边三角形是轴对称图形,它的对称轴有(

)条.A.1条

B.2条

C.3条

D.4条5.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于

.

相等

三个角都相等

都相等

有一个角是60°C斜边的一半

学前温故新课早知6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB,AB=4,则BC的长是

,∠BCD的长是

,BD的长是

.

230°11.等边三角形的判定【例1】

如图,在△ABC中,∠ACB=120°,CD平分∠ACB,AE∥DC,交BC的延长线于点E,证明△ACE是等边三角形.分析:利用平行线的性质以及平角的定义求出△ACE的每一个角都是60°.

1234561.若一个等腰三角形的腰与底边相等,给出以下结论:①该三角形的底角与顶角相等;②该三角形的顶角为60°;③该三角形的底角为60°;④该三角形的三个角均为60°.则其中正确的结论的个数为(

).A.1 B.2 C.3 D.4答案答案关闭D1234562.如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形,则∠B=

.

答案解析解析关闭∵EF垂直平分BC,∴BF=CF,∴∠B=∠BCF.∵△AFC是等边三角形,∴∠AFC