《线段的垂直平分线的性质和判定》课件

第十三章

轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质

第1课时

线段的垂直平分线的性质和判定1.理解线段垂直平分线的性质和判定，掌握文字语言、图形语言和符号语言的转化，培养学生表达能力和推理意识。2.掌握证明线段垂直平分线的性质和判定的方法，培养学生类比能力和归纳能力。3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。4.在数学活动中体会获得成功的体验，锻炼客服困难的意志，建立学习的自信心，培养应用意识。学习重点：线段垂直平分线性质和判定定理的探究和应用.学习难点：线段垂直平分线性质和判定定理的证明和应用.线段的垂直平分线的定义：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l上的点，请猜想点P1，P2，P3

……到点A与点B的距离之间的数量关系.相等．

ABlP1P2P3线段的垂直平分线的性质定理知识点1学生活动一

【一起探究】

你能用不同的方法验证这一结论吗？猜想：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”

已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．

求证：PA=PB．ABPCl猜想与证明用符号语言表示为：∵CA=CB，l⊥AB，∴PA=PB．证明：∵

l⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB．

又AC=CB，PC=PC，

∴△PCA≌△PCB（SAS）．

∴PA=PB．ABPCl线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．归纳总结如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于___．ABCDE8如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ABCDE解：∵AD⊥BC，BD=DC，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴AB=AC．

∵点C在AE的垂直平分线上，

∴AC=CE．ABCDE

∴AB=AC=CE．

∵AB=CE，BD=DC，

∴AB+BD=CD+CE．即AB+BD=DE．反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？点P在线段AB的垂直平分线上．PABC线段的垂直平分线的判定定理知识点2学生活动二

【一起探究】已知：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．PABC证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又

PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．PABC用数学符号表示为：∵

PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．PABC这些点能组成什么几何图形？

你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？

在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合．PABCl试一试：例

如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC.线段垂直平分线的判定定理的应用素养考点证明：∵OB＝OC，

∴点O在BC的垂直平分线上.又AB＝AC，

∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O均在BC的垂直平分线上，

∴AO⊥BC.如图，已知在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，并且OA=OC．求证：点O在BC的垂直平分线上.ABCON∴点O在BC的垂直平分线上.（到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）ABCON证明：连接OB.∵ON是AB的垂直平分线,（已知）∴OA=OB.（线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）∵OA=OC,（已知）∴OB=OC.（等量代换）如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？CB过直线外一点作已知直线的垂线知识点3A学生活动三

【一起探究】CABDKFE作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点

D和E.（3）分别以点D和点E为圆心，大于

的长

为半径作弧，两弧相交于点F.（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.（1）为什么任意取一点K，使点K与点C在直线两旁？（2）为什么要以大于

的长为半径作弧？（3）为什么直线CF就是所求作的垂线？想一想如图，求作点P，使PA＝PB，且点P到∠MON两边的距离相等．解：(1)作∠MON的角平分线；(2)作线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交于点P，那么，点P即为所求作的点.C1．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6cm，BD＝2.3cm，则四边形ACBD的周长为

cm.7.82.如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD＋AD，则点D在线段__________的垂直平分线上．AC解析：∵BC=BD+AD，又∵BC=BD+DC，∴AD=DC.∴点D在线段AC的垂直平分线上.3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(

)A．5cm

B．10cm

C．15cm

D．17.5cmC线段的垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上集合定义线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合关系PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等学前温故新课早知1.经过线段

并且

于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.

2.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的

.

3.轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的

.

中点

垂直

垂直平分线

垂直平分线

学前温故新课早知1.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离

.2.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的

.3.如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点.已知线段PA=5,则线段PB的长度为(

)A.6 B.5 C.4 D.3相等垂直平分线上

B1.线段垂直平分线的性质【例1】

如图,在△ABC中,边BC上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E,连接CE.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为

.

解析:首先根据线段垂直平分线的性质,找出与△EDC,△ABC以及四边形AEDC中与周长有关的相等线段,然后列出方程,解方程即可.因为DE是BC的垂直平分线,所以EB=EC,BD=DC.根据题意,得DE+EC+CD=24,即DE+(BE+BD)=24,①(AB+BC+AC)-(AE+DE+DC+AC)=12,即(BE+BD)-DE=12,②①-②,得2DE=12,所以DE=6.答案:62.应用线段垂直平分线的性质解决实际问题【例2】

如图,A,B,C三点表示三个村庄,为了解决村民子女就近入学问题,计划新建一所小学,要使学校到三个村庄的距离相等,请你作图确定学校的位置.作法:如图.(1)连接AB,BC,AC;(2)分别作AB,AC的垂直平分线,且交于点P.则点P就是所要确定的学校的位置.12341.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为(

)

A.8 B.11C.16 D.17答案解析解析关闭∵DE垂直平分AB,∴AE=BE.∴AE+CE+AC=BE+CE+AC=BC+AC=11,即△ACE的周长为11.答案解析关闭B12342.如图,已知△ABC(AC<BC),用尺规在BC上确定一点P,使PA+PC=BC,则符合要求的作图痕迹是(

)答案答案关闭D12343.如图,如果AA',BB'都被MN垂直平分,那么AB和A'B'关于直线MN

.

答案答案关闭对称12344.如图,在△ABC中,∠A=60°,边BC的垂直平分线