上海市六校2026届高二上数学期末达标检测试题含解析

上海市六校2026届高二上数学期末达标检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为()A. B.C. D.2．直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（）A.平行 B.重合C.相交但不垂直 D.垂直3．已知为抛物线上一点，点P到抛物线C的焦点的距离与它到y轴的距离之比为，则（）A.1 B.C.2 D.34．已知抛物线的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若，则当最大时，（）A. B.1C. D.25．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为，若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（）A.或 B.或C.或 D.或6．若等差数列的前项和为，首项，，，则满足成立的最大正整数是（）A. B.C. D.7．已知双曲线的两个焦点为，，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（）A. B.C. D.8．圆心在直线上，且过点，并与直线相切的圆的方程为（）A. B.C. D.9．已知三维数组，，且，则实数（）A.-2 B.-9C. D.210．已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.11．函数的导函数为，若已知图象如图，则下列说法正确的是（）A.存在极大值点 B.在单调递增C.一定有最小值 D.不等式一定有解12．已知平面的一个法向量为，则x轴与平面所成角的大小为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．双曲线的渐近线方程是____________14．已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.15．某足球俱乐部选拔青少年队员，每人要进行3项测试．甲队员每项测试通过的概率均为，且不同测试之间相互独立，设他通过的测试项目数为X，则_________16．在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识，组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按年龄将这120名群众分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求图中m的值；（2）估算这120名群众的年龄的中位数（结果精确到0.1）；（3）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成维权志愿者服务队，求恰有一名女性的概率.18．（12分）已知函数（Ⅰ）若的图象在点处的切线与轴负半轴有公共点，求的取值范围；（Ⅱ）当时，求的最值19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面于点M连接.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值.20．（12分）如图，在正方体中，分别是，的中点.求证：（1）平面；（2）平面平面.21．（12分）已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点.（1）求点的轨迹方程；（2）直线过点且与点的轨迹交于A，两点，若，求直线的方程.22．（10分）已知点在椭圆：上，椭圆E的离心率为.（1）求椭圆E的方程；（2）若不平行于坐标轴且不过原点O的直线l与椭圆E交于B，C两点，判断是否可能为等边三角形，并说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由题得c=1,再根据△MF2N的周长＝4a＝8得a＝2，进而求出b的值得解.【详解】∵F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c＝1，又根据椭圆的定义，△MF2N的周长＝4a＝8，得a＝2，进而得b＝，所以椭圆方程为.故答案为A【点睛】本题主要考查椭圆的定义和椭圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2、C【解析】由韦达定理可得方程的两根之积为，从而可知直线、的斜率之积为，进而可判断两直线的位置关系【详解】设方程的两根为、，则直线、的斜率，故与相交但不垂直故选：C3、B【解析】先求出点的坐标，然后根据抛物线的定义和已知条件列方程求解即可【详解】因为为抛物线上一点，所以，得，所以，抛物线的焦点为，因为点P到抛物线C的焦点的距离与它到y轴的距离之比为，所以，化简得，因为，所以，故选：B4、B【解析】根据抛物线的定义，结合换元法、配方法进行求解即可.【详解】因为点P为该抛物线上的动点，所以点P的坐标设为，抛物线的焦点为F，所以，抛物线的准线方程为：，因此，令，，当时，即当时，有最大值，最大值为1，此时.故选：B5、B【解析】根据题意列出的关系式，即可求得，再分焦点在轴与轴两种情况写出标准方程.【详解】根据题意，可得，所以椭圆的标准方程为或.故选：B6、B【解析】由等差数列的，及得数列是递减的数列，因此可确定，然后利用等差数列的性质求前项和，确定和的正负【详解】∵，∴和异号，又数列是等差数列，首项，∴是递减的数列，，由，所以，，∴满足的最大自然数为4040故选：B【点睛】关键点睛：本题求满足的最大正整数的值，关键就是求出，时成立的的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.7、A【解析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求【详解】，即，则．即，则该双曲线的方程是：故选：A【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的方程，常用待定系数法，先定式（根据已知确定焦点所在的坐标轴，设出曲线的方程），再定式（根据已知建立方程组解方程组得解）.8、A【解析】设圆的圆心，表示出半径，再由圆心到切线距离等于半径即可列出方程求得参数及圆的方程.【详解】∵圆的圆心在直线上，∴设圆心为(a，－a)，∵圆过，∴半径r＝，又∵圆与相切，∴半径r＝，则，解得a＝2，故圆心为(2，－2)，半径为，故方程为.故选：A.9、D【解析】由空间向量的数量积运算即可求解【详解】∵，，，，，，且，∴，解得故选：D10、D【解析】利用最值的含义转化为不等式恒成立问题解决即可【详解】解：由题意可得，整理得，当时，不等式化简为恒成立，所以，当时，不等式化简为恒成立，所以，综上，，所以实数的取值范围是，故选：D11、C【解析】根据图象可得的符号，从而可得的单调区间，再对选项进行逐一分析判断正误得出答案.【详解】由所给的图象，可得当时，，当时，，当时，，当时，，可得在递减，递增；在递减，在递增，B错误，且知，所以存在极小值和，无极大值，A错误，同时无论是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定为负数，故C正确，D错误.故选：C.12、C【解析】依题意可得轴的方向向量可以为，再利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可得解；【详解】解：依题意轴的方向向量可以为，设x轴与平面所成角为，则，因为，所以，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由双曲线的方程可知，，即可直接写出其渐近线的方程.【详解】由双曲线的方程为，可知，；则双曲线的渐近线方程为.故答案：.14、（1）；（2）.【解析】（1）根据，且，，成等比数列，利用等比中项由，求得公差即可.（2）由（1）得到，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列的公差为d，因为，且，，成等比数列，所以，即，解得或（舍去），所以数列的通项公式；（2）由（1）知：，所以.【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解15、【解析】根据二项分布的方差公式即可求出【详解】因为，所以故答案为：16、【解析】直线与椭圆相交，求交点，利用列式求解即可.【详解】联立方程得，因为，所以,即，所以，.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）【解析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1求出；（2）求出概率对应的值即为中位数；（3）求出第一组中总人数，得女性人数，然后求得恰有一名女性的方法数和总的方法数后可得概率【小问1详解】解：因为频率分布直方图的小矩形面积和为1，所以，解得，【小问2详解】解：前2组频率和为，前3组频率和为，所以中位数在第3组，设中位数为，则，；【小问3详解】解：第一组总人数为，男性人2人，则女性有4人，不妨记两名男性为，四名女性为，则随机抽取2名群众的可能为，，，共15种方案，其中恰有一名女性的方法数，共8种，所以第1组中随机抽取2名群众组成维权志愿者服务队，求恰有一名女性的概率为18、（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.【解析】（Ⅰ）求导数．求得切线方程，由切线与轴的交点在负半轴可得的范围；（Ⅱ）求导数，由的正负确定单调性，极值得最值【详解】命题意图本题主要考查导数在函数问题中的应用解析（Ⅰ）由题可知，，故可得的图象在点处的切线方程为令，可得由题意可得，即，解得，即的取值范围为（Ⅱ）当时，，易知在上单调递增又，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，无最大值【点睛】关键点点睛：本题考查用导数的几何意义，考查用导数求函数的的最值．解题关键是求出导函数，由的正负确定单调性，得函数的极值，从而可得最值19、（1）证明见详解（2）【解析】（1）连接，交于点，则为中点，再由等腰三角形三线合一可知为中点，连接，利用中位线可知，根据直线与平面平行的判定定理即可证明；（2）根据题意建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法即可求出两平面所成角的余弦值.【小问1详解】连接，交于点，则为中点，因为，于，则为中点，连接，则，又因为平面，平面,所以平面；【小问2详解】如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，由可得，令，得，即，易知平面的一个法向量为，设平面与平面所成角为，，则平面与平面所成角的余弦值为.20、证明见解析【解析】（1）连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）连接，，先由线面平行的判定定理，得到平面，再由（1）的结果，结合面面平行的判定定理，即可证明结论成立.【详解】（1）如图，连接.∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.又∵是的中点，∴.∵平面，平面，∴平面.（2）连接，，∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.又∵是中点，∴.∵平面平面，∴平面.由（1）知平面，且，∴平面平面.【点睛】本题主要考查证明线面平行与面面平行，熟记线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理即可，属于常考题型.21、（1）；（2）x＝1或y＝1.【解析】(1)设线段中点为，点，用x，y表示，代入方程即可；(2)分l斜率存在和不存在进行讨论，根据弦长求出l方程.【小问1详解】设线段中点为，点，，，，，，即点C的轨迹方程为.【小问2详解】直线l的斜率不存在时，l为x＝1，代入得，则弦长