《实际问题与一元二次方程（第三课时）》课件

第二十一章

一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程（第3课时）

【思考】通过上节课的学习，请谈谈列方程解应用题的一般步骤是怎样的？关键是什么？步骤：①审题；②设元；③列式；④解答；⑤验根；⑥答案.【思考】现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm²，问剪去的小正方形的边长应是多少?解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则纸盒的长为（19-2x），宽为（15-2x）cm，依题意得（19-2x）（15-2x）=77.整理得：x²-17x+52=0.解方程，得：（x-13）（x-4）=0.解得：x1=4，x2=13（舍去）.因此剪去的小正方形的边长应为3cm.1.能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程.2.进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．学习重点：学会找作为列方程依据的等量关系.学习难点：建立方程模型来解决实际问题.

如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？27cm21cm

几何图形的面积问题知识点1解法一：依据题意知，中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定:上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意得：中央矩形的长为

cm，宽为

cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的______,则中央矩形的面积是封面面积的____．(27-18x)

(21-14x)

解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，列方程得：

解得x2.6.上、下的边衬的宽为（27-92.6）0.5=1.8cm.左、右的边衬的宽为（21-72.6）0.5=1.4cm.

例1

有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）利用一元二次方程解答一般面积问题素养考点1解：设四周垂下的宽度为x尺时，则台布的长为（2x+6）尺，宽为（2x+3）尺，依题意得：（6+2x）（3+2x）=2×6×3.整理方程得：2x²+9x-9=0.

解得：x1≈0.84，x2≈-5.3（不合题意，舍去）.因此：台布的长为：2×0.84+6≈7.7（尺）.

台布的宽为：2×0.84+3≈4.7（尺）.

即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位）？解：设镜框的宽为xcm，根据题意，得

整理得8x2+204x-319=0,解得

.

∴x1=,x2=(不合题意，舍去).

∴x=≈1.5.

答：镜框的宽度约为1.5cm.例2

如右图是长方形鸡场的平面示意图.一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.（1）若所围的面积为150m²，试求此长方形鸡场的长和宽；靠墙问题的解答素养考点2ABCDABCD

（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？解：当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽值能是15m和10m.点拨：在寻找关系式时，切记三边之和等于总长，而不是四边之和等于总长.（3）能围成面积为160m²的长方形鸡场吗？说说你的理由.

如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？住房墙1m住房墙1m解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm，由题意得

x(25-2x+1)=80.整理，得x2-13x+40=0.解方程，得（x-5）（x-8）=0.

即：x1=5,x2=8.当x=5时，26-2x=16>12(舍去）;当x=8时，26-2x=10<12故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.2032xx解：设道路的宽为x米，依题意得例3

如图，在一块宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求道路的宽为多少？还有其他方法吗？20×32-32x-20x+x2=540.修路问题的图形面积素养考点3解：设道路的宽为x米.2032xx20-x32-x(32-x)(20-x)=540.整理，得x2-52x+100=0.解方程，得（x-50)(x-2）=0.即x1=2,x2=50.当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.∴取x=2.答：道路的宽为2米.方法二:在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米.(32-x)(20-x)=540.可列方程为变式一2032xxx20-x如图，在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米.(32-2x)(20-x)=540.可列方程为变式二32-2x2032xxxx20322x2x32-2x20-2x如图，在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米(32-2x)(20-2x)=540.可列方程为变式三在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少？变式四小路所占面积是矩形面积的四分之一

剩余面积是矩形面积的四分之三解:设横、竖小路的宽度分别为3x、2x，于是可列方程(30-4x)(20-6x)=×20×30.20㎝30㎝3x2x30-4x20-6x3x2x6x4x30-4x20-6x

我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出结果，至于实际施工，仍可按原图的位置进行）.方法点拨如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?解:设道路宽为x米，依题意得整理得，x2-36x+35=0.其中的

x=35超出了原矩形的宽，应舍去.答:道路的宽为1米.（32-2x）（20-x）=570.解方程，得（x-35）（x-1）=0.即：x1=35，x2=1.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18B．x2﹣3x+16=0C．（x﹣1）（x﹣2）=18D．x2+3x+16=0C1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x-1400=0B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0D．x2-65x-350=0B基础巩固题2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000cm3，求铁板的长和宽．解：设铁板的宽为xcm,则有长为2xcm，依题意得：5(2x-10)(x-10)=3000.整理得x2-15x-250=0.解方程，得（x-25）（x+10）=0.即

x1=25x2=-10(舍去）,所以2x=50.答：铁板的长50cm,宽为25cm.如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？能力提升题DCBA25米解：设AB长是xm，依题意得：

(100-4x)x=400.

整理得x2-25x+100=0.

解方程得（x-20）（x-5）=0.

即

x1=5，x2=20.

x=20,100-4x=20<25,

x=5,100-4x=80>25x=5(舍去).

答：羊圈的边长AB和BC的长各是20m,20m.DCBA25米如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3

，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？拓广探索题解：设横向彩条的宽度2xcm,竖彩条的宽度3xcm，依题意得：(20-6x)(30-4x)=20×30×.整理得6x2-65x+50=0.解方程得答：每个横竖彩条的宽度分别是cm,cm.则利用一元二次方程解决面积问题时，我们在建模时注意哪些细节？几何图形与一元二次方程问题几何图形常见几何图形面积是等量关系类型课本封面问题彩条/小路宽度问题常采用图形平移能聚零为整关系一同了解，从而列方程1.同一元一次方程、二元一次方程(组)等一样,

也可以作为反映某些实际问题中数量关系的

.

2.《九章算术》“勾股”章有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”大意是说:已知矩形门的高比宽多6尺8寸,如果门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少?(注:尺、寸、丈不是法定计量单位,1米=3尺,1丈=10尺,1尺=10寸)一元二次方程

数学模型

解:

设门高x尺,则宽为(x-6.8)尺,根据题意,得102=x2+(x-6.8)2,解得x=9.6.x-6.8=2.8(尺).故门的高和宽各是9尺6寸、2尺8寸.正方形的面积【例】

将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每段铁丝的长度为周长做成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,则这条铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.解:(1)设剪成两段后其中一段为x

cm,则另一段为(20-x)cm,整理,得x2-20x+64=0,解得x1=16,x2=4,当x=16时,20-x=4;当x=4时,20-x=16.答:要使这两个正方形面积的和为17

cm2,那么这条铁丝剪成两段后的长度分别是4

cm和16

cm.(2)不能.整理,得x2-20x+104=0,由b2-4ac=(-20)2-4×1×104=-16<0,知此方程无解,即不能剪成两段,使其围成的两个正方形的面积和为12

cm2.点拨:列方程解应用题,先要将实际问题转化成数学问题,解决数学问题,才能解决实际问题.123451.某学校准备修建一个面积为200m2的矩形花圃,它的长比宽多10m,设花圃的宽为xm,则可列方程为(

)A.x(x-10)=200 B.2x+2(x-10)=200C.x(x+10)=200 D.2x+2(x+10)=200答案答案关闭C123452.如图,六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成,其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和.若丙的腰长为2,且丁的面积比丙的面积小,则丁的腰长为(

)答案解析解析关闭答案解析关闭123453.某小区在规划设计时,在小区中央设置