《直接开方法》课件

第二十一章

一元二次方程21.2配方法第1课时直接开方法

1.应用直接开方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程.2.经历探索利用直接开方法解一元二次方程的过程，使学生体会转化思想.3.启发学生学会观察、分析、寻找解题的途径，提高他们分析问题、解决问题的能力.学习重点：应用直接开方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程.学习难点：会把一元二次方程通过降次转化成两个一元一次方程.1.如果x2=a，则x叫做a的

.2.如果x2=a（a≥0），则x＝

.3.如果x2=64，则x＝

.平方根如果方程转化为x2=p,该如何解呢？【思考】

一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？直接开平方法知识点解：设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程:10×6x2=1500，由此可得x2=25.开平方得x=±5，即x1=5，x2=－5.因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．【试一试】解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)

x2=4(2)

x2=0(3)

x2+1=0解:根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.(2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根x1=

x2

=0；

(3)当p<0时,因为任何实数x，都有x2≥0，所以方程(I)无实数根.一般地，对于可化为方程

x2=p,

(I)

(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根，；利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.

例1

利用直接开平方法解下列方程:(1)

x2=6；(2)

x2－900=0.解：（1）x2=6，直接开平方，得（2）移项，得x2=900.直接开平方，得x=±30，∴x1=30,x2=－30.

利用直接开平方解形如x2=p方程素养考点1解下列方程（分析:把方程化为x2=p

的形式）

(1)

(2)

解：移项，得系数化为1，得即解：移项，得系数化为1，得解：把x+3看做一个整体，两边开平方得

②对照前面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5①？于是，方程（x+3）2=5的两个根为由方程①得到②，实质是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了.例2

解下列方程：（1）（x＋1）2=2；

解析：本题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.

利用直接开平方法解形如(mx+n)2=p方程素养考点2即x1=-1+，x2=-1-解：（1）∵x+1是2的平方根，∴x+1=解析：本题先将-4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.（2）（x－1）2－4=0；即x1=3，x2=-1.解：（2）移项，得（x-1）2=4.∵x-1是4的平方根，∴x-1=±2.(3)

12（3－2x）2－3=0.解析：本题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.∴x1=

，

x2

=

解：（3）移项，得12（3-2x）2=3，两边都除以12，得（3-2x）²=0.25.∵3-2x是0.25的平方根，∴3-2x=±0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5解：移项x＋6=3，x＋6=－3,方程的两根为x1=－3,x1=－9.解：方程的两根为解方程.（1）（2）解：方程的两根为例3

解下列方程：解需要利用完全平方公式转化的一元二次方程素养考点3（1）解：方程的两根为（2）解：方程的左边是完全平方形式，这个方程可以化为：（x+3）2=2.进行降次得：解方程x2+6x+9=2.x1=,x2=.方程的两根为

一元二次方程x2﹣9=0的解是

．解析:

∵x2﹣9=0，∴x2=9，

解得：x1=3，x2=﹣3．

故答案为：x1=3，x2=﹣3．x1=3，x2=﹣3

C.4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=±3,

x1=;

x2=D.(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1;x2=-4

1.下列解方程的过程中，正确的是（）A.x2=-2,解方程，得x=±B.(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4

D基础巩固题(1)方程x2=0.25的根是

.(2)方程2x2=18的根是

.(3)方程(2x-1)2=9的根是

.x1=0.5,x2=-0.5x1＝3,x2＝-3x1＝2,x2＝－12.

填空:3.

下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.①②③④解：解：不对，从②开始错，应改为解方程.解：方程的两根为能力提升题直接开平方法概念步骤基本思路利用平方根的定义求方程的根的方法关键要把方程化成x2=p(p≥0)或(x+n)2=p(p≥0).一元二次方程两个一元一次方程降次直接开平方法1.本节课我们学的解方程方法是什么？2.用直接开方法解方程是时，我们要把方程化成哪些形式？x2=p或（x＋n）2=p（p≥0）1.通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做

.配方是为了

,把一个一元二次方程转化成两个____________来解.配方法

降次

一元一次方程

2.下列各式是完全平方式的是(

)A.a2+7a+7 B.m2-4m-43.已知x2-8x+15=0,将左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是(

)A.x2-8x+(-4)2=31B.x2-8x+(-4)2=1C.x2+8x+42=1D.x2-4x+4=-11CBC【例】

用配方法解方程2x2-x-1=0.解:移项,得2x2-x=1.点拨:利用配方法解方程的一般步骤:(1)二次项系数化为1,并将含未知数的项放在等号左边,常数项放在等号右边;(2)配方,方程两边同时加一次项系数一半的平方,使左边配成一个完全平方形式,并写成(x+m)2=n的形式;(3)若n≥0,则直接开平方求出方程的根;若n<0,则方程无实数根.67123451.一元二次方程x2-8x-2=0,配方后可变形为(

)A.(x-4)2=18 B.(x-4)2=14C.(x-8)2=64 D.(x-4)2=1答案答案关闭A67123452.若关于x的一元二次方程(x-3)2=m有实数解,则实数m的取值范围是(

)A.m≤0 B.m>0C.m≥0 D.无法确定答案答案关闭C67123453.填上适当的数,使下列等式成立.(1)x2-6x+

=(x-3)2;

(2)y2+5y+

=(y+

)2.

答案答案关闭67123454.方程(x+1)2-9=0的解是

.

答案答案关闭x1=2,x2=-467123455.已知方程2(x-3)2=72,则这个一元二次方程的两根是

.

答案答案