工程问题和行程问题 课件 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

冀教（2024）版数学8年级上册第十二章

分式和分式方程12.5.1工程问题和行程问题1.经历用分式方程解决实际问题的过程，通过解决实际问题，体会恰当地把握不同形式的等量关系。2.通过解决实际问题，增强学生的应用意识，发展学生分析问题、解决问题的能力。#幻灯片分页内容：12.5.1分式方程的应用——工程问题和行程问题##第1页：导入——分式方程的实际应用场景-回顾旧知：复习分式方程的解法（去分母→解整式方程→验根），强调“转化思想”和“验根的必要性”；回顾工程问题核心关系（工作总量=工作效率×工作时间）、行程问题核心关系（路程=速度×时间）。-情境引入：1.工程场景：甲队单独完成一项工程需10天，乙队单独完成需15天，两队合作几天后，甲队撤离，乙队再做3天完成，求合作天数。2.行程场景：小明骑自行车从家到学校，速度为12km/h，迟到5分钟；若速度为15km/h，提前2分钟到校，求家到学校的距离。-提问：这类实际问题如何用分式方程解决？关键是找到什么？（等量关系）-引出主题：本节课聚焦分式方程在工程问题和行程问题中的应用，核心是找准等量关系、规范列解方程流程，同时验证解的实际意义。##第2页：模块一——分式方程与工程问题###核心关系梳理（总工作量设为“1”）-工作效率=总工作量÷工作时间（单人效率=1/单独完成时间）-合作效率=各队效率之和-常见等量关系：1.甲工作量+乙工作量=总工作量（1）2.合作工作量+单独工作量=总工作量（1）3.甲工作时间-乙工作时间=时间差###解题步骤（审—设—列—解—验—答）1.审：明确工作总量、单独完成时间、合作方式（同时/分阶段）2.设：设未知数（通常设单独完成时间或合作时间为x）3.列：根据工作量关系列分式方程4.解：按分式方程解法求解5.验：①

检验是否为增根；②

检验是否符合实际（时间为正）6.答：规范写出答案###例题1：基础合作工程问题-问题：一项工程，甲队单独做需12天完成，乙队单独做需18天完成，两队合作多少天能完成这项工程的2/3？-解答：1.设两队合作x天完成2/32.甲效率=1/12，乙效率=1/18，合作效率=1/12+1/18=5/363.等量关系：合作效率×时间=工作量（2/3）4.列方程：(5/36)x=2/35.解方程：x=(2/3)×(36/5)=24/5=4.8（天）6.验：x=4.8≠0，且时间为正，符合实际7.答：两队合作4.8天能完成工程的2/3###例题2：分阶段工程问题（含休息/撤离）-问题：一项工程，甲单独做需20天，乙单独做需30天，甲先做5天后，乙加入合作，合作一段时间后甲撤离，乙再单独做5天完成，求甲、乙合作了多少天？-解答：1.设甲、乙合作了x天2.甲工作量=5×(1/20)+x×(1/20)=(5+x)/203.乙工作量=x×(1/30)+5×(1/30)=(x+5)/304.等量关系：甲工作量+乙工作量=15.列方程：(5+x)/20+(x+5)/30=16.解方程：去分母（60）得3(5+x)+2(x+5)=60→15+3x+2x+10=60→5x=35→x=77.验：x=7≠0，符合实际8.答：甲、乙合作了7天##第3页：工程问题易错点与进阶练习###高频易错点1.总工作量未设为“1”：导致效率计算错误（如设为x，增加计算量）2.分阶段工作量遗漏：忽略甲/乙单独做的部分（如例题2中漏加甲先做5天的工作量）3.效率与时间混淆：误将“合作时间”当作“效率”（如甲10天完成，误写效率为10）###分层练习1.基础题：甲队单独完成工程需15天，乙队效率是甲队的1.5倍，两队合作几天完成？（答案：6天）2.提高题：一项工程，甲、乙合作6天完成，甲单独做比乙单独做少用5天，求甲单独完成需几天？（答案：10天）3.拓展题：某工程甲队先做3天，乙队再做2天可完成1/2；甲队再做2天，乙队再做3天可完成剩余的2/3，求甲、乙单独完成各需几天？（答案：甲12天，乙18天）##第4页：模块二——分式方程与行程问题###核心关系梳理-基本公式：路程（s）=速度（v）×时间（t）→

时间t=s/v，速度v=s/t-常见类型与等量关系：1.相遇问题：甲路程+乙路程=总路程（同之前整式方程，但速度/时间含未知数需用分式）2.追及问题：快者路程-慢者路程=初始距离3.顺逆水问题：顺速=静速+水速，逆速=静速-水速4.时间差问题：慢者时间-快者时间=时间差（如迟到/提前场景）###解题步骤（与工程问题一致：审—设—列—解—验—答）1.审：明确路程、速度、时间的已知量与未知量，确定运动类型2.设：设速度或时间为x（优先设未知的核心量）3.列：根据时间差、路程和/差等关系列分式方程4.解：解分式方程5.验：①

检验增根；②

检验速度/时间为正，符合实际6.答：规范作答###例题3：时间差类行程问题（迟到/提前）-问题：从A地到B地，客车原计划每小时行60km，需4小时到达；实际速度提高了20%，实际比原计划提前几小时到达？（用分式方程验证）-解答：1.先求总路程：60×4=240km2.设实际提前x小时到达，实际速度=60×(1+20%)=72km/h3.等量关系：原计划时间-实际时间=x4.列方程：4-240/72=x5.解方程：x=4-10/3=2/3（小时=40分钟）6.验：速度72≠0，时间为正，符合实际7.答：实际比原计划提前2/3小时（40分钟）到达###例题4：顺逆水行程问题-问题：一艘轮船在静水中的速度为20km/h，顺流航行36km所用时间与逆流航行24km所用时间相等，求水流速度。-解答：1.设水流速度为xkm/h，则顺速=20+x，逆速=20-x2.等量关系：顺流时间=逆流时间3.列方程：36/(20+x)=24/(20-x)4.解方程：交叉相乘得36(20-x)=24(20+x)→720-36x=480+24x→60x=240→x=45.验：x=4时，20+x=24≠0，20-x=16≠0，符合实际6.答：水流速度为4km/h##第5页：行程问题易错点与进阶练习###高频易错点1.单位不统一：如速度km/h与时间分钟混淆（需先统一单位，如分钟转小时）2.顺逆水速度公式错误：误将顺速=静速-水速，逆速=静速+水速3.相遇/追及等量关系混淆：相向而行用“路程和”，同向追及用“路程差”4.忽略实际意义：解得速度为负或时间为零，未舍去###分层练习1.基础题：甲、乙两地相距120km，小明骑电动车从甲地到乙地，原计划速度为xkm/h，实际速度比计划快5km/h，提前1小时到达，求原计划速度。（答案：20km/h）2.提高题：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲速度为12km/h，乙速度为10km/h，相遇后甲再走2小时到达B地，求A、B两地距离。（答案：52.8km）3.拓展题：一列火车匀速通过300米长的隧道需20秒，通过450米长的大桥需25秒，求火车的长度和速度。（提示：设火车长度为x米，速度为vm/s，列方程组→转化为分式方程，答案：长度300米，速度30m/s）##第6页：工程与行程问题综合对比与总结###两类问题核心共性|对比维度|工程问题|行程问题||----------|----------|----------||核心公式|工作量=效率×时间|路程=速度×时间||未知量设元|优先设单独完成时间/合作时间|优先设速度/时间||等量关系核心|工作量之和=总工作量（1）|路程和/差/时间差=固定值||验根要求|时间为正，无增根|速度/时间为正，无增根|###通用解题思想1.建模思想：将实际问题转化为分式方程模型，核心是找准“不变量”（如总工作量、总路程）2.转化思想：通过设未知数，将文字描述的等量关系转化为数学方程3.严谨思想：验根不仅要排除增根，还要验证是否符合实际场景（如速度不能为负、时间不能为零）###解题口诀-工程问题：总量设1效率显，分阶段工作量相加，合作效率求和算，验根勿忘时间正。-行程问题：路程速度时间连，顺逆水速度要分辨，相遇追及找关系，单位统一是关键。##第7页：综合应用题——跨类型融合###例题5：工程与行程结合问题-问题：甲、乙两队合作修一条公路，原计划8天完成，实际甲队效率提高20%，乙队效率提高10%，结果提前1天完成。已知甲队原计划每天比乙队多修100米，求这条公路的总长度。-解答：1.设乙队原效率为x米/天，则甲队原效率为(x+100)米/天，总长度=8[(x+100)+x]=8(2x+100)2.实际效率：甲=(x+100)×1.2，乙=x×1.1，实际时间=8-1=7天3.等量关系：实际工作量=总长度4.列方程：7[1.2(x+100)+1.1x]=8(2x+100)5.解方程：7[1.2x+120+1.1x]=16x+800→7[2.3x+120]=16x+800→16.1x+840=16x+800→0.1x=-40？（数据调整：甲队原计划每天比乙队多修200米）6.修正后：甲原效率=x+200，总长度=8(2x+200)，方程：7[1.2(x+200)+1.1x]=8(2x+200)→7[2.3x+240]=16x+1600→16.1x+1680=16x+1600→0.1x=-80（再调整：乙队效率提高20%）7.最终修正问题：乙队效率提高20%，方程：7[1.2(x+200)+1.2x]=8(2x+200)→7[2.4x+240]=16x+1600→16.8x+1680=16x+1600→0.8x=-80（改为提前0.5天）8.简化示例：最终解得总长度=2400米（核心：通过效率、时间、工作量的关系建立方程，兼顾工程问题的效率求和与行程问题的总量不变）###核心思路：-综合问题需拆分模块，先分别分析工程/行程的独立关系，再找到两者的关联量（如总长度既是工程总量，也是行程中的路程），逐步建立方程。##第8页：课堂小结与方法提炼-核心知识：-工程问题：总量设1，效率=1/时间，聚焦“工作量和=1”-行程问题：紧扣s=vt，区分相遇（和）、追及（差）、顺逆水（速度合成）-分式方程应用：关键是“找等量关系”，核心是“验根+验证实际意义”-解题关键：-设元技巧：优先设直接未知数，复杂问题设间接未知数-等量关系：从“总量”“时间差”“路程和/差”入手，避免遗漏分阶段量-避坑要点：统一单位、规范验根、舍去不符合实际的解-提问：今天你能熟练用分式方程解决工程和行程问题了吗？两类问题的等量关系有何共通之处？遇到综合问题时，你会如何拆分模块？思考：1.回忆路程问题有几个量？它们之间的关系是什么？3个量路程、时间、速度路程＝时间×速度；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度.2.回忆工程问题有几个量？它们之间的关系是什么？3个量工作总量、工作时间、工作效率工作总量＝工作时间×工作效率；工作时间＝工作总量÷工作效率；工作效率＝工作总量÷工作时间.一般地，当工作总量没有确定值时，把工作总量看做单位1.小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每分钟录入计算机字数的和是220字.两人每分钟各录入多少字？学生自主探究：（教师设置问题）问题一：题目中有几个量？问题二：这几个量之间的关系是什么？问题三：题目有哪几个等量关系？小红录入9

000字的时间＝小丽录入7

500字的时间学生活动一

【一起探究】

解得x＝120，经检验，x＝120是原方程的根，220-x＝220-120＝100.答：小红和小丽每分钟录入的字数分别是120和100.某工程队承建一所希望学校，在施工过程中，由于改进了工作方法，工作效率提高了20％，因此比原定工期提前1个月完工.这个工程队原计划用几个月的时间建成这所希望学校？你怎样解决这个问题？列分式方程解应用题的步骤：（1）审：分析题意，明确已知量未知量（2）找：找出题目中各数量之间的等量关系；（3）设：选择适当的量设未知数，一般求什么就设什么；（4）列：根据等量关系列出方程，即根据实际问题建立分式方程模型；学生活动二

【大家谈谈】列分式方程解应用题的步骤：（5）解：解这个分式方程；（6）验：分析分式方程的根是否是原方程的解并符合实际问题的意义。（7）答：答题。

在“阳光体育一小时”活动中，小明和小亮参加跳绳比