数学小课题申报书

数学小课题申报书一、封面内容

项目名称：基于图论与拓扑数据分析的高维生物医学图像特征提取研究

申请人姓名及联系方式：张明，zhangming@

所属单位：国家生物信息与计算研究所

申报日期：2023年10月26日

项目类别：应用研究

二．项目摘要

本项目旨在探索图论与拓扑数据分析在高维生物医学图像特征提取中的应用，以解决传统方法在高维数据中特征表示不充分、信息丢失严重的问题。研究核心内容聚焦于构建适用于脑部MRI、癌症细胞组学等多模态高维数据的拓扑特征提取框架，通过将图像数据转化为图结构，利用谱嵌入、持久同调等拓扑工具进行特征量化。具体方法包括：1）设计自适应图邻域构建算法，以保留高维数据的局部拓扑结构；2）开发基于持久同调的图像特征降维技术，实现数据降维与关键拓扑特征保留的平衡；3）构建多尺度拓扑特征融合模型，结合局部与全局拓扑信息进行联合分析。预期成果包括：提出一套完整的基于拓扑数据的高维生物医学图像特征提取流程，开发开源算法工具包，并通过实验验证其在脑肿瘤早期诊断、免疫细胞亚群分类等场景下的性能优势。该研究不仅为高维生物医学图像分析提供新的技术路径，其拓扑特征提取方法还可推广至材料科学、天体物理等领域，具有显著的应用价值与跨学科贡献。

三.项目背景与研究意义

当前，生物医学图像分析正经历从二维、三维向高维数据的深刻转型。随着组学技术（如基因组学、转录组学、蛋白质组学）的飞速发展，以及高性能计算与成像设备的普及，单一模态或多模态融合的高维生物医学数据已成为疾病诊断、预后预测和药物研发的关键资源。然而，高维数据的复杂性和高维度特性给特征提取与分析带来了严峻挑战。传统基于统计学的方法在处理高维稀疏数据时，往往面临维度灾难问题，即特征空间急剧膨胀导致计算成本高昂且模型性能下降。此外，高维生物医学图像数据通常蕴含着复杂的非线性结构和微妙的拓扑结构信息，例如肿瘤边界的不规则性、细胞群落的空间排列模式、基因调控网络中的相互作用关系等，这些信息对于理解疾病机制和发现生物标志物至关重要，但传统方法难以有效捕捉和量化。

现有研究在应对高维生物医学图像分析挑战方面已取得一定进展。例如，深度学习方法能够自动学习数据中的复杂模式，但在可解释性和对数据稀疏性的鲁棒性方面存在局限。主成分分析（PCA）等降维技术被广泛应用于高维数据预处理，但其线性假设难以拟合高维生物医学数据的非线性关系。此外，图论方法，如图卷积网络（GCN），已被用于分析分子图或蛋白质相互作用网络，但在直接处理高维图像数据的空间拓扑结构方面仍显不足。拓扑数据分析（TopologicalDataAnalysis,TDA）作为一门新兴的数学领域，提供了一套基于拓扑学的工具来量化数据中的连通性、紧致性和其他拓扑不变量，近年来在数据科学领域受到广泛关注。然而，将TDA应用于高维生物医学图像并实现其潜力，仍面临诸多瓶颈，包括如何有效构建反映图像内在结构的图、如何选择合适的拓扑不变量进行量化、以及如何将拓扑特征与生物医学知识相结合等问题。因此，开发一种能够有效融合图论与TDA优势，专门针对高维生物医学图像进行特征提取的新方法，显得尤为迫切和必要。

本项目的意义主要体现在以下几个方面。首先，在学术价值上，本项目致力于推动图论、拓扑数据分析和生物医学图像分析三个领域的交叉融合，探索拓扑结构在高维生物医学数据中的量化方法。通过构建基于图和TDA的特征提取框架，可以为高维生物医学图像分析提供新的数学工具和理论视角，深化对数据内在结构及其生物学意义的理解。研究成果将丰富拓扑数据分析的应用场景，并为相关数学理论在生物领域的应用提供实证支持。其次，在应用价值上，本项目的研究成果有望显著提升高维生物医学图像的分析精度和效率，具有广泛的社会和经济效益。在脑部疾病诊断方面，通过提取肿瘤边界、灰质结构等关键区域的拓扑特征，可以辅助医生进行更准确的肿瘤分期和预后评估，改善患者的治疗效果和生活质量。在癌症研究中，本项目开发的方法能够帮助研究人员从复杂的组学数据中发现潜在的癌症亚型及其生物学标志物，为精准医疗提供重要依据。此外，在药物研发领域，通过分析药物作用靶点的拓扑结构变化，可以加速新药的设计和筛选过程。经济层面上，本项目成果的转化有望带动相关医疗影像设备、生物信息软件和精准医疗服务产业的发展，创造新的经济增长点。最后，在方法论层面，本项目提出的基于图论与拓扑数据分析的方法不仅适用于生物医学图像，还可以推广应用于材料科学（如材料微观结构分析）、天体物理（如宇宙网络拓扑研究）等其他高维数据分析领域，具有较强的跨学科应用潜力，有助于促进科学研究方法的通用化和创新。

四.国内外研究现状

在高维生物医学图像分析领域，国内外研究呈现出蓬勃发展的态势，涵盖了数据采集技术、预处理方法、特征提取、机器学习建模等多个层面。从数据采集端，国际大型医学研究计划如TheCancerGenomeAtlas(TCGA)、TheUKBiobank以及国际脑影像大数据联盟（IBSI）等，已经积累了海量的多模态高维生物医学数据，为后续分析提供了丰富的资源。这些数据通常包括高分辨率的MRI图像、基因表达谱、蛋白质组数据、临床随访信息等，其复杂性和高维度特性对分析方法提出了极高的要求。在预处理方面，国内外学者普遍关注图像去噪、伪影去除、registrations（配准）和标准化等步骤，以确保数据质量。例如，基于深度学习的图像重建和降噪技术已成为研究热点，如使用卷积神经网络（CNN）进行MRI图像的压缩感知重建和超分辨率增强，有效提升了图像质量和后续分析的信噪比。

在特征提取方法上，国内外研究呈现出多元化的趋势。传统统计学方法如PCA、线性判别分析（LDA）等仍被广泛使用，特别是在数据降维和可视化方面。然而，随着数据维度的不断升高，这些线性方法的有效性逐渐受限。深度学习方法，特别是深度卷积神经网络（CNN），近年来在生物医学图像分析中取得了显著成功，尤其是在计算机视觉任务如病灶检测、分割和分类方面。例如，基于CNN的算法已经在眼底图像的糖尿病视网膜病变检测、脑部MRI图像的肿瘤分割等方面展现出优越的性能。然而，深度学习模型的可解释性较差，难以揭示数据背后的生物学机制，且对于训练数据的依赖性强，容易产生过拟合问题。图论方法也被引入到生物医学图像分析中，如图卷积网络（GCN）被用于分析分子图或蛋白质相互作用网络，以及构建图像邻域图进行特征传播和聚合。这些方法在一定程度上捕捉了数据间的关联性，但在处理高维图像数据的复杂拓扑结构方面仍显不足。

拓扑数据分析（TDA）作为一门新兴的数学工具，近年来在高维数据分析领域受到越来越多的关注，包括生物医学图像分析。国际上，一些研究团队开始探索TDA在基因组学、蛋白质组学数据分析中的应用，例如使用持久同调（PersistentHomology,PH）来分析基因表达数据的拓扑特征，以揭示基因调控网络中的模块结构和关键通路。在图像分析方面，TDA被用于分析医学图像中的拓扑结构，如使用PH来量化脑部MRI图像中的脑脊液区域、白质纤维束的连通性以及肿瘤边界的不规则性。此外，一些研究者尝试将TDA与机器学习方法相结合，例如将TDA计算的拓扑特征作为深度学习模型的输入，或者使用TDA来指导深度学习网络的结构设计。然而，目前将TDA广泛应用于高维生物医学图像分析的研究还相对较少，且存在一些亟待解决的问题。

国内在高维生物医学图像分析领域也取得了显著的研究成果。许多研究机构和企业投入大量资源进行相关研究，特别是在脑部影像分析、肿瘤精准诊断、遗传病研究等方面。国内学者在深度学习应用于医学图像分析方面表现出较强的实力，提出了一系列具有创新性的算法和模型，并在多个国际权威医学图像竞赛中取得了优异的成绩。同时，国内研究也注重结合中国人群的疾病谱特点，开展针对性的生物医学图像分析研究。在TDA应用于生物医学图像分析方面，国内也有一些研究团队开始进行探索，例如分析脑部MRI图像中的拓扑特征以辅助阿尔茨海默病的诊断，以及利用TDA方法分析肿瘤样本的组学数据以发现潜在的生物标志物。然而，与国外相比，国内在TDA与图论方法在高维生物医学图像分析中的系统性研究和应用方面仍存在一定差距。

尽管国内外在高维生物医学图像分析领域已经取得了诸多进展，但仍存在一些尚未解决的问题和研究空白。首先，现有方法在处理超高维数据时，往往面临计算复杂度高、内存消耗大等问题，尤其是在实时分析场景下难以满足需求。其次，如何有效融合多模态高维数据（如结合影像、组学、临床信息）并提取具有判别力的特征，仍然是一个挑战。深度学习方法虽然性能优越，但其“黑箱”特性导致可解释性较差，难以与临床医生的经验和知识相结合。此外，现有特征提取方法大多依赖于手工设计或深度学习自动学习，缺乏对数据内在拓扑结构的系统性挖掘和量化。具体到图论和TDA方法，如何自动构建能够准确反映高维图像数据拓扑结构的图，以及如何选择和量化对生物医学问题最有意义的拓扑不变量，仍需深入研究。此外，如何将拓扑特征与生物学知识相结合，以揭示数据背后的生物学机制，也是当前研究的一个薄弱环节。最后，缺乏大规模、标准化的高维生物医学图像数据集和公共化的分析平台，也制约了该领域研究的深入发展和成果的推广应用。因此，开发一种能够有效融合图论与拓扑数据分析优势，专门针对高维生物医学图像进行特征提取的新方法，具有重要的理论意义和应用价值。

五.研究目标与内容

本项目旨在攻克高维生物医学图像分析中的关键挑战，通过融合图论与拓扑数据分析（TDA）的理论与方法，构建一套高效、鲁棒且具有良好可解释性的特征提取框架，以提升复杂生物医学问题的诊断、预测和机制研究能力。为实现此总体目标，项目设定以下具体研究目标：

1.**目标一：构建自适应图邻域构建算法，实现高维生物医学图像数据的拓扑结构有效表征。**针对高维数据中局部结构信息丢失的问题，研究并开发能够根据图像特征（如梯度、纹理、强度）自适应确定邻域关系的方法，用于构建能够反映图像内在空间依赖性和拓扑特性的图结构。该算法需具备对数据分布鲁棒性，并能处理不同类型的高维生物医学图像数据（如MRI、CT、组学数据）。

2.**目标二：开发基于持久同调的高维生物医学图像拓扑特征量化方法。**针对高维数据中拓扑特征难以量化的问题，研究适用于高维生物医学图像的持久同构计算方法，包括高效的算法实现和参数优化。目标是提取能够捕捉图像中关键拓扑结构（如连通分量、环路、紧致区域）的特征向量或图表示，并确保这些特征的稳定性和判别力。

3.**目标三：设计多尺度拓扑特征融合模型，实现局部与全局拓扑信息的联合分析。**针对单一拓扑尺度难以全面刻画图像复杂结构的问题，研究将不同尺度（局部、区域、全局）的拓扑特征进行有效融合的方法。这可能涉及多分辨率图构建、多尺度持久同调计算或特征级联等技术，以获得更全面、更丰富的图像表示。

4.**目标四：构建基于图论与TDA的高维生物医学图像特征提取应用原型，并验证其有效性。**将上述方法整合，构建一个完整的分析流程和开源算法工具包，并在具体的生物医学应用场景（如脑肿瘤诊断、癌症分类、遗传病关联分析）中进行实证验证。通过与现有主流方法（如深度学习、传统统计方法）进行对比，评估所提出方法在准确率、鲁棒性、可解释性等方面的性能优势。

为实现上述研究目标，本项目将开展以下详细研究内容：

1.**研究内容一：高维生物医学图像自适应图构建方法研究。**

***具体问题：**如何在高维特征空间中，根据图像本身的纹理、强度、梯度等特征信息，动态地确定样本间的邻接关系，以构建能够准确反映图像内在结构（如解剖区域边界、组织边界、细胞集群）的图？

***假设：**通过结合局部统计特征（如方差、熵）和全局距离度量（如k-近邻），可以构建出比传统欧氏距离或固定阈值方法更鲁棒、更能捕捉图像拓扑特性的图结构。

***研究任务：**探索基于密度峰值聚类、图卷积网络初始化、或基于信息理论的距离度量等思路，设计自适应图邻域构建算法。研究如何将图像的二维/三维空间信息或先验知识融入图构建过程。开发算法的性能评估指标，如图的结构相似性、连通性保持等。

2.**研究内容二：高维生物医学图像的持久同构计算与特征提取。**

***具体问题：**如何将计算复杂度高的持久同调应用于大规模高维生物医学数据，并从中提取具有生物学意义的拓扑特征？

***假设：**针对高维数据的特性，可以通过降维预处理、采样策略优化、或利用图神经网络加速持久同调计算，提取出能够区分不同疾病状态或生物标记物模式的拓扑不变量特征。

***研究任务：**研究适用于点云、网格或图数据的持久同构算法优化策略，如基于Alpha复杂的算法、并行计算方法等。探索如何将持久同调计算的输出（如持久对、Betti数演化曲线）转化为可用于机器学习或统计建模的特征向量。研究如何根据具体的生物医学问题选择最相关的拓扑特征。

3.**研究内容三：多尺度拓扑特征融合与分析模型构建。**

***具体问题：**如何有效地融合来自不同拓扑尺度和不同模态（如图像本身、组学数据）的拓扑特征，以获得更全面的图像表示？

***假设：**通过设计有效的特征融合机制（如注意力机制、门控机制、多尺度图神经网络），可以将局部细节信息、区域连通性信息以及全局拓扑骨架信息结合起来，显著提升模型的判别能力和泛化能力。

***研究任务：**研究多尺度图构建方法，如利用不同滤波器或采样率生成图像的多尺度表示，并相应地构建多尺度图。设计多尺度拓扑特征的融合策略，包括特征级联、加权求和、注意力引导等。探索将拓扑特征与图像纹理、强度等传统特征，以及组学数据进行融合的模型。

4.**研究内容四：应用原型开发与实证验证。**

***具体问题：**基于所提出的方法，在具体的生物医学应用中，其性能如何？与现有方法相比有何优势和局限？

***假设：**所提出的基于图论与TDA的方法在高维生物医学图像分析任务中，能够在保持较高诊断/预测准确率的同时，提供比深度学习等方法更直观的解释，尤其是在揭示疾病相关的拓扑结构变化方面具有独特优势。

***研究任务：**选取至少两个具有代表性的高维生物医学图像数据集（如脑部MRI数据集用于阿尔茨海默病或脑肿瘤诊断，癌症组学数据集用于肿瘤亚型分类），开发分析原型系统。进行全面的实验评估，包括与基准方法的性能比较（准确率、AUC、F1分数等）、鲁棒性测试（不同噪声水平、数据缺失）、可解释性分析（可视化关键拓扑特征对应的图像区域）。撰写研究报告，并考虑将算法工具包开源。

六.研究方法与技术路线

本项目将采用理论分析、算法设计、实验验证相结合的研究方法，结合图论、拓扑数据分析与机器学习技术，系统地解决高维生物医学图像特征提取的难题。研究方法将涵盖数据预处理、图构建、拓扑特征计算、特征融合、模型训练与评估等多个环节。实验设计将围绕特定的高维生物医学图像数据集展开，并采用严谨的对比分析方法。技术路线将明确研究步骤和关键节点，确保项目按计划推进。

1.**研究方法**

***理论分析方法：**深入研究图论（图嵌入、图神经网络）、拓扑数据分析（持久同调、Alpha复杂度、Vietoris-Rips复杂度）以及它们的交叉理论。分析现有方法的优缺点，特别是其在高维、稀疏、复杂数据集上的表现。基于理论分析，为算法设计提供数学基础和理论指导。

***自适应图邻域构建算法设计：**结合图像梯度信息、纹理特征（如LBP、HOG）或强度统计特征（如均值、方差），采用基于密度的方法（如DBSCAN的变种）或基于距离度量的方法（如结合信息熵的距离度量），设计自适应的邻域选择策略。研究如何将局部特征与全局结构信息相结合，以构建能够反映图像内在拓扑特性的图。利用图论中的谱分析工具初步评估所构建图的性质。

***高维数据持久同构计算：**针对高维生物医学图像（如图像点云、图结构数据），研究并实现高效的持久同构算法。探索基于采样（如远thest-point采样、随机采样）或基于降维（如结合PCA或UMAP进行预处理）的方法来降低计算复杂度。研究并行化计算策略以提高处理大规模数据的效率。开发计算拓扑特征的软件工具或接口。

***多尺度拓扑特征融合模型设计：**设计能够处理多尺度拓扑特征的融合框架。这可能包括：构建图像的多尺度图表示（如使用不同分辨率参数的图卷积）；计算多尺度下的持久同构，并融合不同尺度的拓扑特征；或者设计能够显式融合多尺度/多模态信息的图神经网络模型，使其能够学习并利用不同层次的拓扑结构信息。

***机器学习方法集成与优化：**将提取的拓扑特征作为传统机器学习模型（如支持向量机SVM、随机森林RF）或深度学习模型（如全连接网络、图神经网络）的输入。研究如何优化模型架构以适应拓扑特征的结构。探索特征选择方法，以识别对生物医学问题最关键的拓扑不变量。

***数据收集与准备：**收集公开或合作的、具有挑战性的高维生物医学图像数据集，如包含多模态数据（影像+组学）和丰富标注的临床数据。进行数据清洗、标准化、归一化等预处理步骤。对图像数据进行必要的分割或特征提取，为图构建和拓扑分析提供基础。

***实验设计与分析方法：**采用严谨的实验设计，包括使用独立的测试集进行模型性能评估，以避免过拟合。采用多种性能指标（如分类准确率、AUC、F1分数、ROC曲线下面积、混淆矩阵）来全面评估所提出方法的有效性。进行统计显著性检验（如t检验、ANOVA）以比较不同方法间的差异。进行消融实验以分析模型中不同组件（如图构建方法、拓扑特征、融合策略）的贡献。进行可视化分析，以直观展示拓扑特征与图像结构的关系。

2.**技术路线**

项目研究将遵循以下技术路线，分阶段实施：

***第一阶段：理论准备与基础算法开发（预计6个月）**

*深入文献调研，明确图论、TDA在高维数据分析中的适用性及挑战。

*研究并选择合适的自适应图邻域构建策略，完成算法初步设计。

*研究并选择合适的TDA算法（如PH、Alpha复杂度），并设计适用于高维数据的计算流程。

*完成基础算法的伪代码设计和关键模块的框架搭建。

***第二阶段：核心算法实现与初步测试（预计9个月）**

*实现自适应图邻域构建算法，并在模拟数据和高维生物医学图像数据上进行测试与优化。

*实现高效的持久同构计算模块，并进行性能评估。

*开发多尺度拓扑特征融合的初步框架，进行概念验证实验。

*在小规模数据集上进行初步的集成测试，验证方法流程的可行性。

***第三阶段：模型构建与融合策略优化（预计12个月）**

*将拓扑特征与机器学习/深度学习模型相结合，构建分析原型。

*优化多尺度融合策略，提升特征表示能力。

*进行模型超参数调优和训练策略研究。

*在选定的生物医学图像数据集上进行全面的性能评估和对比分析。

***第四阶段：应用验证与成果总结（预计9个月）**

*在至少两个不同的高维生物医学图像数据集上（如脑部疾病、癌症）进行深入的应用验证。

*进行消融实验和可视化分析，深入理解方法的有效性和可解释性。

*与现有主流方法进行详细的性能比较和讨论。

*整理研究过程，撰写研究报告、论文和专利（如适用）。

*考虑开发开源算法工具包，并形成项目总结报告。

七．创新点

本项目拟将图论与拓扑数据分析（TDA）深度融合，应用于高维生物医学图像特征提取，旨在克服现有方法的局限性，推动该领域的发展。其创新性主要体现在以下几个方面：

1.**自适应图构建方法的理论与方法创新：**现有研究在构建高维数据的图结构时，往往采用固定邻域大小或简单距离阈值，这在复杂多变的生物医学图像数据中效果有限。本项目提出的自适应图邻域构建方法，核心创新在于将图像的内在特征（如局部纹理、梯度变化、强度统计特性）与图构建过程进行动态耦合。通过分析图像局部区域的统计信息或纹理特征，自适应地确定样本间的邻接关系，能够更精确地捕捉图像中不同组织、不同病变区域的空间依赖性和拓扑结构。例如，在脑部MRI图像中，肿瘤边界通常是不规则的，其邻域范围可能远大于正常脑组织的邻域。自适应方法能够根据边界区域的特性（如梯度模量、纹理复杂度）动态调整邻域大小，从而构建出更能反映真实解剖结构和病理特征的图结构。这不仅在理论上丰富了图论在处理高维复杂数据时的设计思路，也为后续拓扑特征的稳定提取奠定了基础。与固定阈值方法相比，该方法在噪声容忍度、不同尺度结构保留等方面具有潜在的理论优势。

2.**面向高维生物医学图像的TDA计算策略创新：**持久同构作为TDA的核心工具，在理论上提供了一套强大的拓扑不变量量化框架。然而，直接将现有TDA算法应用于大规模、高维的生物医学图像数据（如包含成千上万个基因或蛋白质的组学数据，或高分辨率的医学影像点云）面临巨大的计算挑战。本项目提出的创新点在于，针对性地研究适用于高维生物医学图像的TDA计算策略。这包括但不限于：探索基于采样或降维的快速计算方法，以降低持久同构的计算复杂度，使其能够在合理时间内处理实际规模的数据；研究适用于图结构数据的TDA算法变种，如图上的持久同构；开发多尺度TDA分析策略，以捕捉从局部细微结构到全局连通性的多层次拓扑信息。这些策略旨在克服TDA在高维场景下的计算瓶颈，使其能够真正应用于生物医学研究前沿。

3.**多尺度拓扑特征融合模型的架构创新：**生物医学图像通常蕴含着从微观结构（如细胞内器）到宏观结构（如器官轮廓、脑区连接）的多层次信息。单一尺度的拓扑特征往往无法全面刻画这些复杂的结构关系。本项目提出的多尺度拓扑特征融合模型，其创新性在于系统地整合了来自不同拓扑尺度和可能不同模态（如图像本身、组学数据）的信息。这不仅仅是简单地将多个拓扑特征向量拼接或求和，而是设计了更精细的融合机制，如基于注意力机制的动态权重分配，或利用图神经网络显式地学习不同尺度拓扑特征之间的交互关系。通过融合多尺度信息，模型能够获得更丰富、更鲁棒的特征表示，从而提升在高维生物医学图像分析任务中的性能。这种融合思想不仅适用于拓扑特征，也可以扩展到融合其他类型的特征（如纹理、强度），形成多模态、多尺度融合的分析范式。

4.**理论联系实际的应用价值与创新：**本项目的创新性还体现在其紧密的理论研究与实际应用需求的结合。不同于纯粹的理论研究或远离实际问题的算法开发，本项目聚焦于解决当前生物医学图像分析中的关键难题——如何从高维复杂数据中提取具有判别力且可解释性较好的特征。通过将图论和TDA这些相对“新颖”的数学工具引入这一领域，并针对生物医学图像的特性进行专门的算法设计和优化，有望为疾病的早期诊断、精准分类、预后预测以及潜在生物标志物的发现提供新的技术手段。特别是在脑肿瘤诊断、癌症分类等应用中，本项目旨在通过揭示数据内在的拓扑结构信息，提供比现有方法更深入的理解和更准确的预测。此外，研究成果的潜在应用价值也体现在其跨学科的通用性，所提出的方法有望为材料科学、天体物理等其他领域处理高维复杂数据提供借鉴。这种面向实际挑战、推动理论应用、创造潜在社会经济效益的研究方向，构成了本项目的重要创新点。

综上所述，本项目在图构建的自适应性、TDA计算的效率性、多尺度融合的深度性以及理论联系实际的实践性方面均具有显著的创新性，有望在高维生物医学图像分析领域取得突破，并产生重要的科学价值和应用前景。

八．预期成果

本项目通过系统研究图论与拓扑数据分析在高维生物医学图像特征提取中的应用，预期在理论、方法、技术及应用等多个层面取得系列成果。

1.**理论成果**

***自适应图构建理论的深化：**预期建立一套基于图像内在特征的图邻域自适应构建的理论框架。明确不同图像特征（梯度、纹理、强度等）与图结构保持（如连通性、聚类性）之间的定量关系，为在不同类型的生物医学图像数据中选择合适的图构建策略提供理论指导。发展新的图度量或图不变量，以量化所构建图结构对图像拓扑特性的反映程度。

***高维数据TDA计算理论的拓展：**预期提出适用于高维生物医学图像的TDA计算理论和方法论。包括发展高效的算法理论，降低持久同构等核心TDA计算任务的复杂度，使其可扩展到大规模数据。探索适用于图数据的TDA理论框架，为分析网络结构或图像邻域图的拓扑特性提供新的数学工具。研究多尺度TDA的理论基础，阐明不同尺度拓扑不变量所蕴含的生物学信息的差异。

***拓扑特征融合理论的创新：**预期发展多尺度拓扑特征融合的理论模型和分析框架。研究不同拓扑不变量之间的互补性与冗余性，为特征选择和融合提供理论依据。探索基于图神经网络或其他机器学习理论的拓扑特征融合机制的理论性质，理解模型如何从多尺度拓扑信息中学习有用的模式。

2.**方法与技术创新**

***自适应图邻域构建算法：**预期开发一套高效、鲁棒的自适应图邻域构建算法库或软件模块。该算法能够自动根据输入高维生物医学图像的局部和全局特征，动态确定图的结构，并具备良好的泛化能力，适用于不同类型的数据集。

***高效的TDA计算工具：**预期实现一套面向高维生物医学图像的、计算效率较高的TDA分析工具。包括针对持久同构计算进行优化的算法实现，以及适用于图数据的TDA工具。该工具将提供友好的接口，便于研究人员调用和分析拓扑特征。

***多尺度拓扑特征融合模型：**预期设计并实现几种有效的多尺度拓扑特征融合模型，包括基于注意力机制、基于图神经网络的融合模型等。这些模型能够有效整合局部、区域和全局的拓扑信息，形成更具判别力的特征表示。

***集成分析框架：**预期构建一个基于图论与TDA的高维生物医学图像分析集成框架或原型系统。该框架将整合数据预处理、图构建、拓扑特征提取、特征融合、模型训练与评估等模块，为实际研究提供便捷的工具链。

3.**实践应用价值**

***提升高维生物医学图像分析性能：**预期在选定的生物医学图像数据集（如脑肿瘤诊断、癌症分类）上，所提出的方法能够显著提升诊断或分类的准确率、鲁棒性和泛化能力，特别是在数据维度高、样本量有限或数据存在噪声的情况下，展现出相比现有主流方法（如深度学习、传统统计方法）的优势。

***增强可解释性，促进生物学理解：**预期通过拓扑特征的引入和分析，为高维生物医学图像数据提供更直观、更深入的生物学解释。例如，能够识别与疾病状态强相关的拓扑结构模式（如特定连通性的缺失或形成），有助于揭示疾病的发病机制和病理过程，为精准医疗提供理论依据。

***开发新的生物标志物：**预期基于提取的拓扑特征，发现新的、与疾病状态相关的生物标志物。这些标志物可能来源于图像的空间拓扑结构信息，或图像与组学数据的耦合拓扑信息，为疾病的早期筛查、预后评估和药物研发提供新的线索。

***促进跨学科研究与应用：**预期本项目的研究成果能够推动图论、拓扑数据分析和生物医学图像分析领域的交叉融合，为相关领域的研究人员提供新的分析工具和方法。同时，所提出的方法具有一定的通用性，可推广应用于其他涉及高维复杂数据的科学领域，如材料科学、环境科学等。

***形成知识产权与人才培养：**预期在项目执行过程中，申请相关发明专利或软件著作权，发表高水平学术论文，培养一批掌握图论、TDA和生物医学图像分析交叉领域知识的复合型研究人才。

九.项目实施计划

本项目计划分四个阶段实施，总周期为36个月。每个阶段均有明确的任务目标和时间节点，确保项目按计划有序推进。

1.**第一阶段：理论准备与基础算法开发（第1-6个月）**

***任务分配与内容：**

***任务1.1（1个月）：**深入文献调研，梳理图论、TDA在高维数据分析中的应用现状与挑战，确定本项目的研究重点和创新方向。

***任务1.2（2个月）：**理论分析自适应图邻域构建方法，研究基于图像特征的邻域动态确定策略，完成算法设计初稿。

***任务1.3（2个月）：**研究适用于高维生物医学图像的TDA算法，特别是持久同构计算，设计高效的算法实现框架。

***任务1.4（1个月）：**完成第一阶段所需的基础理论学习和算法设计文档。

***进度安排：**第1个月完成文献综述报告；第2-3个月完成自适应图构建算法设计文档；第4-5个月完成TDA算法设计文档；第6个月完成第一阶段总结报告和下一阶段计划。

2.**第二阶段：核心算法实现与初步测试（第7-15个月）**

***任务分配与内容：**

***任务2.1（3个月）：**实现自适应图邻域构建算法，并在模拟数据上进行测试与参数优化。

***任务2.2（3个月）：**实现高效的TDA计算模块（如基于采样或降维的持久同构），并进行性能评估。

***任务2.3（3个月）：**开发多尺度拓扑特征融合的初步框架，进行概念验证实验，验证核心算法的可行性和有效性。

***任务2.4（2个月）：**在小规模数据集上进行初步的集成测试，调试代码，优化性能。

***进度安排：**第7-9个月完成自适应图构建算法实现与测试；第10-12个月完成TDA计算模块实现与评估；第13-15个月完成初步融合框架开发与验证；第15个月底完成第二阶段总结报告和下一阶段计划。

3.**第三阶段：模型构建与融合策略优化（第16-27个月）**

***任务分配与内容：**

***任务3.1（3个月）：**将拓扑特征与机器学习/深度学习模型相结合，构建分析原型。

***任务3.2（3个月）：**优化多尺度融合策略，提升特征表示能力，进行模型架构设计。

***任务3.3（3个月）：**在选定的生物医学图像数据集上进行模型训练、超参数调优和初步的性能评估。

***任务3.4（3个月）：**进行消融实验，分析不同模块（如图构建、TDA、融合）对最终性能的贡献，并进行可视化分析。

***进度安排：**第16-18个月完成模型构建与初步训练；第19-21个月完成融合策略优化与模型架构调整；第22-24个月完成模型训练与初步评估；第25-27个月完成消融实验与可视化分析；第27个月底完成第三阶段总结报告和下一阶段计划。

4.**第四阶段：应用验证与成果总结（第28-36个月）**

***任务分配与内容：**

***任务4.1（3个月）：**在至少两个不同的高维生物医学图像数据集上进行深入的应用验证。

***任务4.2（3个月）：**进行详细的性能评估，与现有主流方法进行比较分析，进行统计显著性检验。

***任务4.3（3个月）：**撰写研究报告、高质量学术论文和专利（如适用），整理项目成果。

***任务4.4（3个月）：**考虑开发开源算法工具包，进行项目总结汇报，形成最终项目总结报告。

***进度安排：**第28-30个月完成应用验证与详细性能评估；第31-33个月完成论文撰写与专利申请（如有）；第34-36个月完成成果整理、工具包开发（如计划）、项目总结与结题报告。

5.**风险管理策略**

***风险识别：**

***技术风险：**自适应图构建算法效果不理想；高效的TDA计算方法开发困难；多尺度融合模型训练不稳定或性能提升不明显。

***数据风险：**难以获取足够数量或质量的高维生物医学图像数据集；数据隐私保护问题。

***进度风险：**某个关键算法实现延迟；实验结果不达预期，需要调整方向。

***应对策略：**

***技术风险：**设定阶段性技术里程碑，对关键算法进行预研和小规模测试。采用多种算法方案并行探索，选择最优方案。加强理论分析，指导算法设计。寻求领域专家咨询。预留一定的缓冲时间。

***数据风险：**尽早与数据提供方沟通，明确数据获取途径和使用规范。探索使用公开数据集或脱敏数据。严格遵守数据安全和隐私保护规定。

***进度风险：**制定详细的任务分解和时间计划。定期召开项目会议，跟踪进度，及时发现并解决问题。建立灵活的调整机制，根据实际情况调整研究重点或方法。加强团队内部协作和沟通。

***监控与评估：**建立项目风险日志，记录风险识别、应对措施和处置情况。定期对项目风险进行评估，根据研究进展和环境变化调整应对策略。通过中期检查和结题评审等方式，对项目风险管理的有效性进行评估。

十.项目团队

本项目由一支经验丰富、专业互补的研究团队组成，核心成员均具备在数学、计算机科学和生物医学领域的深厚背景与研究经验，能够有效支撑项目的各项研究任务。团队成员涵盖图论与拓扑数据分析、机器学习、高维数据挖掘以及生物医学图像领域的专家，确保研究工作的理论深度与实践应用的紧密结合。

1.**团队成员介绍**

***项目负责人（张教授）：**拥有15年以上的数学与数据科学研究经验，主要专长于图论、拓扑数据分析及其在复杂网络分析中的应用。在顶级国际期刊上发表过多篇关于TDA理论及其应用的论文，并主持过多项国家级数学与交叉学科研究项目。熟悉生物医学领域的数据特点与研究需求，具备优秀的项目组织与管理能力。

***核心成员A（李研究员）：**具备10年机器学习与深度学习研究经验，特别是在图神经网络和高维数据降维方面有深入积累。曾成功将深度学习方法应用于医学图像分割与分类任务，取得了显著效果。熟悉多种机器学习框架与优化算法，能够负责模型构建、训练与评估工作。

***核心成员B（王博士）：**拥有8年生物医学图像分析研究经验，专注于脑部影像学和高通量组学数据处理。熟悉多种生物医学图像采集技术（如fMRI、MRI、PET）及其信号处理方法。在基因组学与蛋白质组学数据的拓扑分析方面有初步探索，能够为项目提供生物医学领域的专业知识，并负责数据集的整理、预处理与生物学解释。

***青年骨干C（赵工程师）：**具备5年以上的计算机编程与算法实现经验，熟悉C++、Python等编程语言以及常用数值计算与机器学习库。在并行计算和算法优化方面有较强能力，主要负责项目所需算法的编程实现、调试与性能优化，以及分析工具的开发与集成。

2.**团队成员角色分配与合作模式**

***角色分配：**

*项目负责人（张教授）全面负责项目的总体规划、协调管理、经费预算与进度控制。主导理论研究方向，参与关键算法设计与实验评估，负责对外合作与交流，以及最终成果的总结与汇报。

*核心成员A（李研究员）主要负责机器学习与深度学习模型的设计与实现，包括图神经网络架构设计、模型训练策略制定、特征工程优化等。同时，负责将TDA计算的拓扑特征与机器学习模型进行有效融合。

*核心成员B（王博士）主要负责生物医学图像数据的获取、预处理、质量控制与标注信息解读。结合生物学背景，参与指导拓扑特征的生物学意义分析，并负责项目成果在生物医学应用场景的验证与解释。

*青年骨干C（赵工程师）主要负责项目算法的理论实现与工程化开发，包括自适应图构建算法、TDA计算模块、特征融合算法以及模型训练平台的搭建。同时，负责项目相关代码的维护、文档编写与工具包的初步开发。

***合作模式：**

*项目采用“核心团队负责制”与“跨学科协作”的模式。定期召开项目组例会，讨论研究进展、遇到的问题和下一步计划。建立共享的代码仓库与数据平台，促进团队成员间的知识共享与协同工作。

*在具体研究内容上，实行分工协作与交叉融合。例如，在自适应图构建环节，由项目负责人牵头，结合王博士提供的图像特性建议和赵工程师的算法实现能力共同完成；在TDA计算方面，由项目负责人负责理论指导，赵工程师负责实现，并邀请李研究员探讨如何将计算结果有效输入机器学习模型。

*鼓励团队成员积极参与对方的领域知识学习，定期组织专题研讨会，分享图论、TDA、机器学习和生物医学图像分析的最新进展。这种跨学科的深度合作有助于打破学科壁垒，激发创新思维，