广东省广州市六校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市六校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（）A.1 B. C.或 D.2或1【答案】A【解析】对于直线，当时，不符合题意，故．当时，；当时，，所以直线在x轴和y轴上的截距分别为，根据题意得，所以．故选：A．2.在平面直角坐标系中，以点(0，1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（）A B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得圆心为点(0，1)，半径为，要求的圆的标准方程为，故选：A．3.已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】因为，，所以，所以或．故选：D．4.如图，平行六面体中，分别为的中点.若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为平行六面体中，分别为的中点，可得，又因为，可得，即.故选：A.5.如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设正方体的棱长为1，，，，则，，∵，，∴，∴向量在向量上的投影向量是.故选：D．6.已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（）A.外离 B.相交 C.内含 D.内切【答案】C【解析】圆即圆的圆心半径分别为，圆的圆心半径分别为，因为，解得或（舍去），从而，所以，因为，所以圆M与圆的位置关系是内含.故选：C.7.过圆x2+y2＝5上一点M（1，﹣2）作圆的切线l，则l的方程是（）A.x+2y﹣3＝0 B.x﹣2y﹣5＝0 C.2x﹣y﹣5＝0 D.2x+y﹣5＝0【答案】B【解析】由题意：点M（1，﹣2）为切点，则，，解得：，∴l的方程：，整理得：，故选：B.8.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】圆可化为，圆心，半径为.圆可化为，圆心，半径为.设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示：由题意得，三点共线，三点共线，，，∴，∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，，∴，∴点的轨迹方程为.故选：C.二、多选题（本大题共3小题，每题6分，多选错选不得分，部分选对得部分分，共18分）9.以下说法正确的是（）A.若两条不同直线，的方向向量分别是，，则.B.直线的方向向量，平面的法向量是，若且，则C.若直线的方向向量，平面的法向量是，则D.若两个不同平面，法向量分别是，，则【答案】ABD【解析】对A，两条不同直线，的方向向量分别是，，当时，可得出方向向量也平行，即，当时，也可推出两条直线平行，故A正确；对B，直线的方向向量，平面的法向量是，若且，由线面平行的定义可以推出，故B正确；对C，直线的方向向量，平面的法向量是，则，即，所以直线与平面平行或者，故C错误；对D，两个不同平面，的法向量分别是，，则，所以，故D正确.故选：ABD.10.对于直线.以下说法正确的有（）A.的充要条件是B.当时，C.直线一定经过点D.点到直线的距离的最大值为5【答案】BD【解析】当时，解得或，当时，两直线为，符合题意；当时，两直线为，符合题意，故A错误；当时，两直线为，，所以，故B正确；直线即直线，故直线过定点，C错误；因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为，故D正确，故选：BD.11.若椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论中正确的是（）A.m＝2 B.椭圆C的长轴长为C.椭圆C的短轴长为2 D.椭圆C的离心率为【答案】ACD【解析】对于A项，由题意，椭圆的焦点在轴上，且，，由已知可得，解得m＝2或m＝－1（舍去），故A项正确；对于B项，C项，把的值代入椭圆方程即得：.则，即椭圆C的长轴长为，短轴长为，故B项错误；C项正确；对于D项，即a＝，b＝，则，则离心率为,故D项正确.故选:ACD.三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分）12.焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数k的值为___________.【答案】1【解析】因椭圆的焦点在x轴上，其长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，离心率为e，于是得，，因此有：，解得，所以实数k的值为1.故答案为：1.13.由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为______.【答案】或【解析】圆的圆心坐标为，半径为，所以圆心到直线的距离为，因为，所以当取得最小值时，取得最小值，而的最小值为，所以.故答案为：.14.如图，正方体的棱长为2，E为线段的中点，F为线段的中点，则直线到平面的距离为______.【答案】【解析】，平面，平面，，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立坐标系，则，，，，，，设平面的法向量则另，则，设点到平面的距离为，则，故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知两直线和的交点为.求：（1）过点与点的直线方程；（2）过点且与直线垂直的直线方程.解：（1）由，解得，则交点，又所求直线的斜率，则所求直线的方程为，即.（2）直线的斜率为，则所求直线的斜率为，又所求直线过点，则所求直线的方程为，即.16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点.（1）若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程；（2）若，且的面积为，求的值.解：（1）已知，所以得：，即，由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得：，即，又因为，即.联立，整理得：，解得：或（舍）所以，故椭圆的标准方程为.（2）因为，所以的面积，则，根据椭圆定义可得：.根据余弦定理可得：，整理得：，代入得：，即，即得：.17.如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点.（1）证明：平面；（2）求直线BC与平面所成角的余弦值.（1）证明：在直三棱柱中，由于，所以可以如图以为坐标原点建立空间直角坐标系：又由于是的中点，是的中点，则，所以，由于所以，所以，又因为平面，所以平面.（2）解：由（1）得：，设平面的法向量为，则，令，得，即，设直线BC与平面所成角为，则，所以.即直线BC与平面所成角的余弦值为.18.已知点，圆的圆心在直线上且与轴切于点，（1）求圆的方程；（2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（3）设点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．解：（1）圆的圆心在直线上且与轴切于点，设圆心坐标为，则，解得，，圆心，半径，故圆的方程为.（2）点，直线过点，设直线的斜率为存在）则方程为，又圆的圆心为，半径，弦长为，故弦心距，故，解得，所以直线方程为，即，当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件，故的方程为或.（3）设点的坐标为，点的坐标为，．由于，且为的中点，，于是有①，在圆上运动，，将①代入上式得，即点的轨迹方程为．19.如图，四棱锥S­-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．（1）证明：连接BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O­xyz如图．设底面边长为a，则高SO＝a．于是S，D，C＝，＝，∵·＝0，故OC⊥SD，从而AC⊥SD．（2）解