广东省上进联考2025-2026学年高二上学期期中调研测试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省上进联考2025-2026学年高二上学期期中调研测试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由直线方程，可得.所以直线的斜率.故选：A.2.在空间直角坐标系中，点的中点到坐标原点的距离为（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】由中点坐标公式可知：点，故.故选：C.3.若直线与直线之间的距离为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由题意知，又，解得，故选：B.4.过点的圆的半径为（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】易知以为端点构成的线段的中垂线方程为，以为端点构成的线段的中垂线方程为，如图：设圆心坐标为，显然点为直线与直线的交点，即.所以圆心坐标为，故圆的半径.故选：B.5.已知空间向量，若，则（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】C【解析】由已知得，则，即，可得，因此.故选：C.6.在正三棱柱中，为的中点，则（）A.-1 B. C. D.1【答案】D【解析】因为为的中点，故，因为正三棱柱，所以，故，于是..故选：D.7.已知圆与圆交于两点，且直线经过线段上靠近的三等分点，则（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.圆心距为，由于两圆相交，所以，将两圆方程相减，得公共弦的方程：，化简为，即.线段的长度为，靠近的三等分点的坐标为.因为直线经过，将其代入公共弦方程得，解得.故选：C.8.已知半径为2的球与平面相切，球面上两点满足，且点到平面的距离为3，则点到平面距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】过点得平面的垂线为，在平面内作两条互相垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则球的方程为，因为点到的距离为3，所以设的坐标为，所以，设的坐标为，则，，因为，所以，所以，所以，所以，又由平面向量知识可得，所以，又因为，所以，所以，两边平方得，所以，所以，解得，所以，所以点到平面距离的最大值为.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是空间向量的一个基底，，则下列选项中不能作为空间向量的一个基底的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，假设，则，因不共面.故，该方程无解，故不共面，可作为空间向量的一个基底，故A不符合题意；对于B，因，故不能作为空间向量的一个基底，故B符合题意；对于C，因，故不能作为空间向量的一个基底，故C符合题意；对于D，因，故不能作为空间向量的一个基底，故D符合题意.故选：BCD.10.记，直线，则下列结论正确的是（）A.当时，点到的距离为B.当在上时，的截距式方程为C.当时，D.当时，【答案】AC【解析】对于A，当时，，点到的距离，故A正确；对于B，当在上时，，此时，与x轴无交点，故无截距式方程，故B错误；对于C，由可得，解得，故C正确；对于D，由可得，可得，故D错误.故选：AC.11.已知高为2的斜三棱柱中，在底面上的射影为点，且四边形是边长为2的正方形．设分别为的中点，则（）A.B.平面C.三棱锥的体积为D.直线与直线所成角的余弦值为【答案】BCD【解析】正方形的边长为2，则是以为直角顶点的等腰直角三角形.以点为原点，以的方向分别为轴，轴正方向，过点且垂直于底面的直线为轴，向上为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则，由四边形是正方形，得，因为顶点在底面上的射影是点，且棱柱的高为2，所以.故，则，则，则，，故直线与不垂直，A错误.由.设平面的法向量为.由，得，由，得，取，得.由于，因此向量与共线，也即直线垂直于平面，B正确.三棱锥的体积等价于三棱锥的体积，，三棱锥的高即到平面的距离，等于1.故，C正确.，设直线与的夹角为，则，故D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.记点，点在圆上，则的取值范围是__________.【答案】【解析】因为，故点在圆外，因为圆的半径，设圆心，圆心与点的连线长，故，即.故答案为：.13.已知曲线，过直线上一点作的两条切线，若两切点之间的距离为，则的坐标为__________.【答案】【解析】设切点为，易知曲线为圆在轴上方的部分，且，记坐标原点为与交于点，则，则,且Q为的中点，，，故，故，所以，易知直线上到原点距离为4的点有两个，且与y轴的交点到原点距离为4，由于曲线为圆在轴上方的部分，故符合题意的只有一个，易知其坐标即为.故答案为：.14.在平面直角坐标系中，直线过定点，点在直线上，则的最大值为__________.【答案】【解析】直线可表示为，可知其过定点.设，设，注意到，则，而，故，于是，当且仅当时，等号成立，故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，.（1）求的平分线所在直线的斜截式方程；（2）求边上的高所在直线的一般式方程.解：（1）由，易得直线的斜率为0，故其方程为，直线的斜率不存在，故其方程为，可得，易知的平分线所在直线的倾斜角为，又经过点，则其方程为，故的平分线所在直线的斜截式方程为.（2）由可得直线的斜率，故边上的高所在直线的斜率，又所求直线经过点，故其方程为，故边上的高所在直线的一般式方程为.16.已知为直线的方向向量，为平面的法向量，为平面的法向量，且不在内.（1）证明：；（2）求与所成角的正弦值；（3）求与的夹角的正弦值.（1）证明：由，可知l∥β或l⊂β，又l⊄β，所以l∥β.（2）解：记l与α所成的角为θ1，则sinθ1===.（3）解：记α与β的夹角为θ2，则cosθ2===，由θ2∈知sinθ2==.17.在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，．（1）若，求的斜率；（2）若的斜率为，求的面积．解：（1）若的斜率为0，则，不合题意．故设的方程为，点到直线的距离，又，即，解得，故的斜率．（2）由题知．此时点到直线的距离，解得．而点到的距离，又，故的面积．18.已知圆过点，且与圆内切，记的轨迹为.（1）求的方程；（2）圆与交于两点.过点作圆的两条切线，切点分别为.（i）求的取值范围；（ii）若，求点到直线的距离.解：（1）设，则设圆，因为两圆内切，所以，而圆过点，可得，两边同时平方可得，解得，故，于是T的方程为.（2）（i）由题意得圆与交于两点，则其圆心之间的距离为，则，解得，故的取值范围是.（ii）如图，作出符合题意图形，设，连接，与交于，由公共弦性质得，由切点弦性质得，而，可得三点共线，由两点间距离公式得，因为，所以，解得，联立方程组，可得，即直线的方程为，由点到直线的距离公式得G到AB的距离，则P到的距离，设点P到的距离为s，即，由题意得，，则，则，即，由勾股定理得，得到，由题意得，故点到的距离即与间的距离，该距离为.19.如图，四边形是边长为2、中心为的正方形，为平面外一动点，满足平面平面，且四棱锥的体积为.设线段的中点为为线段上一动点（不包含端点）.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的最大值；（3）求点到平面与平面的距离的平方之和的最大值，并指出此时点与点的位置.（1）证明：由题意，得O为的中点，且点M是线段的中点，故是的中位线，故.又平面，而平面，故平面.（2）解：如图，以点A为坐标原点，，的方向分别为x，y轴正方向，垂直于平面ABCD向上的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意可知，.设四棱锥的高为h，由体积公式易有,解得h=2.又平面⊥平面，且平面⋂平面，故点P在平面内的投影落在直线上.设点，则M，=.由题，Q为线段上一点，因此点P，Q，B三点共线，即等价于求直线与平面所成角的最大值，设平面的法向量为.又，.则即令a=2，可得平面的一个法向量=（2，2，2-t）.设直线BM与平面所成角为θ.则sinθ====.故当t=2时，取得最小值8，此时取得最大值，又θ∈，由正弦函数单调性可知，此时θ取得最大值，即直线与平面所成角的最大值为.（3）解：不妨设=+λ，其中，则.设为Q到平面的距离，为Q到平面的距离，设平面的法向量为，又，.则即令，可得平面的一个法向量为，则，即.设平面的法向量为，又，则即令，可得平面的一个法向量为，又则，即=.故所求距离的平方和.对于固定t，S是关于λ的