数学新导学选修2-2人教A版课时作业16反证法

课时作业16反证法|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不小于60°”时，反设正确的是()A．假设三个内角都小于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个”的反设词是“一个也没有”．故选A.答案：A2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中或都是奇数或至少有两个偶数解析：恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数，故选D.答案：D3．下列四个命题中错误的是()A．在△ABC中，若∠A＝90°，则∠B一定是锐角B.eq\r(17)，eq\r(13)，eq\r(11)不可能成等差数列C．在△ABC中，若a>b>c，则∠C>60°D．若n为整数且n2为偶数，则n是偶数解析：显然A、B、D命题均真，C项中若a>b>c，则A>B>C，若∠C>60°，则A>60°，B>60°，∴A＋B＋C>180°与A＋B＋C＝180°矛盾．故选C.答案：C4．设x>0，则方程x＋eq\f(1,x)＝2sinx的根的情况是()A．有实根B．无实根C．恰有一实根D．无法确定解析：x>0时，x＋eq\f(1,x)≥2，而2sinx≤2，但此二式中“＝”不可能同时取得，∴x＋eq\f(1,x)＝2sinx无实根．答案：B5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2解析：若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6①，而a＋b＋c＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)＋z＋eq\f(1,z)≥6②，显然①，②矛盾，所以C正确．答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为________________________________________________________________________．解析：“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0因此它的反设为“a≠0或b≠0”答案：a，b不全为07．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是________________________________________________________________________．解析：方程解的情况有：①无解；②唯一解；③两个或两个以上的解．答案：无解或至少两解8．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立．②所以一个三角形中不能有两个直角．③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的排列为________．解析：反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的．答案：③①②三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．证明：假设eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差数列，则eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，而b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，∴a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac)，∴(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0.即eq\r(a)＝eq\r(c)，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．10．求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直．解析：已知：平面α和一点P.求证：过点P与α垂直的直线只有一条．证明如下：如图所示，不论点P在α内还是在α外，设PA⊥α，垂足为A(或P)．假设过点P还有另一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，∴假设不成立，原命题成立．|能力提升|(20分钟，40分)11．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证题时一定要将对立面找全．在①中应假设p＋q>2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的，故选D.答案：D12．完成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则________均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________________＝________________＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．解析：由假设p为奇数可知a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾．答案：a1－1，a2－2，…，a7－7(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)13．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明：假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数．14．若a，b，c均为实数且a＝x2－2y＋eq\f(π,2)，b＝y2－2z＋eq\f(π,3)，c＝z2－2x＋eq\f(π,6).求证：a，b，c中至少有一个大于0.证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则有a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝x2－2y＋eq\f(