第1章反比例函数课件-湘教版九年级数学上册

2025-2026学年湘教版数学九年级上册第1章

反比例函数章末复习1.反比例函数的概念定义：形如_______(k

为常数，k

≠

0)的函数称为反比例函数，其中

x

是自变量，y

是

x

的函数，k

是比例系数.三种表达式：或xy＝k或

y＝kx－1(k

≠

0)．防错提醒：(1)

k

≠

0；(2)

自变量

x

≠

0；(3)

函数值

y

≠

0.#人教版九年级数学《第1章

反比例函数》章末复习教学资源包（含复习流程、知识梳理、典型例题、分层习题，无教学目标/作业）##一、复习流程（45分钟）###（一）知识回顾与体系构建（10分钟）1.提问引导（师生互动）：-什么是反比例函数？其三种表达式是什么？（$y=\frac{k}{x}$，$xy=k$，$y=kx^{-1}$，$k≠0$）-反比例函数的图象是什么形状？它有哪些性质？（双曲线，分布象限、增减性、对称性）-如何根据实际问题列反比例函数解析式并解决问题？2.体系构建：板书“反比例函数”知识框架图（核心概念→图象性质→实际应用），串联本章核心知识点，帮助学生形成知识网络。###（二）核心知识点精讲（15分钟）####1.反比例函数的定义与解析式-强调：①$k≠0$；②

自变量$x≠0$，函数值$y≠0$；③

三种表达式的灵活转换（如由$xy=6$得$y=\frac{6}{x}$）。-快速辨析：下列函数中哪些是反比例函数？并指出$k$值：-$y=\frac{3}{x}$（是，$k=3$）；$y=\frac{x}{2}$（否，正比例函数）；$y=-\frac{5}{x}$（是，$k=-5$）；$y=2x+1$（否，一次函数）。####2.反比例函数的图象与性质（结合图象板书）|核心性质|具体内容||----------------|--------------------------------------------------------------------------||图象形状|双曲线（关于原点对称，关于直线$y=x$和$y=-x$对称）||分布象限|$k>0$→第一、三象限；$k<0$→第二、四象限||增减性|$k>0$→每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；$k<0$→每个象限内，$y$随$x$的增大而增大（强调“每个象限内”）||过定点|若$k=mn$，则函数过点$(m,n)$、$(-m,-n)$（如$y=\frac{6}{x}$过$(1,6)$、$(2,3)$等）|####3.反比例函数的实际应用-核心步骤：①

设反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$；②

代入已知点坐标求$k$；③

利用解析式解决实际问题（注意自变量取值范围）。###（三）典型例题精练（12分钟）####例1：反比例函数的定义与解析式（基础型）-题目：已知函数$y=(m+2)x^{m^2-5}$是反比例函数，求$m$的值及函数解析式。-解答：1.由反比例函数定义得：$\begin{cases}m^2-5=-1\\m+2≠0\end{cases}$；2.解得：$m^2=4$→$m=2$或$m=-2$，又$m≠-2$，故$m=2$；3.函数解析式：$y=\frac{4}{x}$。-小结：紧扣反比例函数定义，注意$k≠0$的隐含条件。####例2：反比例函数的图象与性质（提升型）-题目：已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的图象经过点$A(2,3)$。

（1）求$k$的值及图象分布的象限；

（2）判断点$B(-3,-2)$、$C(1,6)$是否在该图象上；

（3）若点$P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$在该图象上，且$x_1<0<x_2$，比较$y_1$与$y_2$的大小。-解答：1.代入$A(2,3)$得$k=2×3=6>0$，图象分布在第一、三象限；2.验证：$B(-3)×(-2)=6=k$（在），$C(1×6=6=k)$（在）；3.$x_1<0$→$y_1<0$，$x_2>0$→$y_2>0$，故$y_1<y_2$。-小结：利用“$xy=k$”判断点是否在图象上，结合象限性质比较函数值大小。####例3：反比例函数与实际问题（综合型）-题目：某工厂加工一批零件，若每天加工的零件数为$x$（个），完成任务所需的时间为$y$（天），且$y$与$x$成反比例关系，已知当$x=50$时，$y=20$。

（1）求$y$与$x$的函数解析式；

（2）若要在10天内完成任务，每天至少需要加工多少个零件？-解答：1.设$y=\frac{k}{x}$，代入$x=50$，$y=20$得$k=50×20=1000$，故$y=\frac{1000}{x}$（$x>0$）；2.当$y=10$时，$10=\frac{1000}{x}$→$x=100$，故每天至少加工100个。-小结：实际问题中注意自变量的取值范围（正数），结合题意分析“至少”“最多”等关键词。###（四）分层练习与反馈（5分钟）1.基础题（全员必做）：-反比例函数$y=-\frac{4}{x}$的图象分布在第____象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而____（答案：二、四；增大）；-已知点$(3,-2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，则$k=$____（答案：-6）。2.提升题（选做）：-若反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k<0$）的图象上有两点$P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$，且$x_1<x_2<0$，则$y_1$与$y_2$的大小关系是（

）（答案：$y_1<y_2$）A.$y_1>y_2$B.$y_1<y_2$C.$y_1=y_2$D.无法确定3.反馈：快速批改基础题，针对共性错误（如增减性忽略“每个象限”）重点讲解。###（五）课堂小结与拓展（3分钟）1.小结：本章核心知识点（定义、图象、性质、应用）及易错点（$k≠0$、增减性条件、实际问题取值范围）；2.拓展：反比例函数与一次函数的交点问题预告（如求$y=\frac{6}{x}$与$y=2x+1$的交点坐标），为后续综合复习铺垫。##二、PPT分页内容（共10页，简洁直观，突出重点）|页面序号|页面标题|核心内容||----------|----------------|--------------------------------------------------------------------------||1|章末复习导入|课题“第1章

反比例函数

章末复习”+知识框架图（核心概念→图象性质→实际应用）||2|核心概念回顾|反比例函数三种表达式+注意事项（$k≠0$、$x≠0$、$y≠0$）+辨析题||3|图象与性质（1）|图象形状（双曲线）+分布象限（$k>0$、$k<0$对比图）||4|图象与性质（2）|增减性（分$k>0$、$k<0$说明，强调“每个象限”）+对称性（原点、直线$y=±x$）||5|例题1（定义与解析式）|题目+分步解答+小结（紧扣定义，注意$k≠0$）||6|例题2（图象与性质）|题目+图象辅助分析+分步解答+小结（利用$xy=k$和象限性质）||7|例题3（实际应用）|题目+解题步骤（设→求→解）+小结（注意自变量取值范围）||8|分层练习题|基础题2道+提升题1道（留白供书写，标注“必做”“选做”）||9|易错点总结|1.忽略$k≠0$；2.增减性漏说“每个象限”；3.实际问题未考虑自变量正数范围（配反例）||10|课堂小结与拓展|核心知识点清单+拓展预告（反比例函数与一次函数交点问题）|##三、典型例题补充（拓展型）1.**反比例函数与几何图形面积问题**：-题目：如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k>0$）的图象经过矩形$OABC$的顶点$A$，矩形$OABC$的边$OA$在$x$轴上，边$OC$在$y$轴上，若矩形$OABC$的面积为6，求$k$的值。-解答：设$A(a,0)$，$C(0,b)$，则$B(a,b)$，矩形面积$ab=6$；又$A(a,b)$在$y=\frac{k}{x}$上，故$b=\frac{k}{a}$→$k=ab=6$。-小结：反比例函数图象上一点与坐标轴围成的矩形面积为$|k|$，三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。2.**反比例函数与一次函数综合问题**：-题目：已知一次函数$y=2x+1$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于点$P(1,m)$。

（1）求$k$和$m$的值；

（2）求两函数图象的另一个交点坐标。-解答：

（1）代入$P(1,m)$到一次函数得$m=3$，故$P(1,3)$，代入反比例函数得$k=3$；

（2）联立$\begin{cases}y=2x+1\\y=\frac{3}{x}\end{cases}$，解得$2x+1=\frac{3}{x}$→$2x²+x-3=0$→$x=1$或$x=-\frac{3}{2}$，故另一个交点为$(-\frac{3}{2},-2)$。##四、教学使用建议1.PPT使用：图象部分采用动态展示（如$k$值变化时双曲线的移动），例题解答分步呈现，易错点页面用“正确表述vs错误表述”对比，强化记忆。2.课堂互动：知识回顾环节采用“提问抢答”形式，练习环节让学生上台讲解解题思路，重点点评易错点和解题技巧。3.分层教学：基础薄弱学生重点掌握定义、基本性质和基础题，能力较强学生可尝试补充的拓展型例题（几何面积、一次函数综合），教师针对性点拨解题方法。4.工具准备：提前让学生准备本章错题本，复习时结合错题本进行针对性巩固，提高复习效率。2.反比例函数的图象和性质(1)反比例函数的图象：反比例函数(k≠0)

的图象是

，它是轴对称图形，两条对称轴

为直线

和

.双曲线y=xy=-x(2)反比例函数的性质

图象所在象限性质(k≠0)k＞0一、三象限(x，y同号)在每个象限内，y

随x的增大而减小k＜0二、四象限(x，y异号)在每个象限内，y随x的增大而增大xyoxyo(3)反比例函数中比例系数k的几何意义

反比例函数图象上的点(x，y)具有两坐标之积(xy＝k)为常数这一特点，即过反比例函数图象上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|.推论：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数.3.反比例函数的应用◑利用待定系数法确定反比例函数：①根据两变量之间的反比例关系，设；②代入图象上一个点的坐标，即x、y的一对对应值，求出k的值；③写出表达式.◑反比例函数与一次函数的图象的交点的求法求直线y＝k1x＋b(k1

≠

0)和双曲线(k2≠0)的交点坐标就是解这两个函数表达式组成的方程组.◑利用反比例函数相关知识解决实际问题过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.考点一反比例函数的概念针对训练1.下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数?

①y=3x－1②y=2x2⑤y=3x③④⑥⑦⑧2.已知点P(1，－3)在反比例函数的图象上，则

k的值是(

)A.3

B.－3

C.D.B3.若是反比例函数，则a的值为(

)A.1

B.－1

C.±1D.任意实数A解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出

y1，y2，y3

的值，再比较出其大小即可；方法②：根据反比例函数的图象和性质比较．考点二反比例函数的图象和性质例1

已知点A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)都在反比例函数的图象上，则

y1，y2，y3

的大小关系是(

)

A.y3＜y1＜y2B.y1＜y2＜y3

C.y2＜y1＜y3D.y3＜y2＜y1D

方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内可根据反比例函数的性质比较，在不同的象限内不能按其性质比较，可根据其正负来确定大小．

已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜0＜x2)都在反比例函数(k＜0)的图象上，则y1与y2的大小关系(从大到小)为

.y1＞y2针对训练考点三与反比例系数k有关的问题例2

如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA

⊥x轴于点

A，交

C2

于点

B，则

△POB

的面积为

.1针对训练

如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数(x＞0)

和(x＞0)的图象交于

P，Q

两点，若S△POQ

=

14，则k的值为

.-20考点四

反比例函数的应用例3

如图，已知A

(－4，)，B(－1，2)是一次函数y=

kx

+

b与反比例函数(m＜0)

图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；OBAxyCD解：当

－4＜x＜－1

时，一次函数的值大于反比例函数的值.(2)求一次函数表达式及m的值；解：把

A(－4，)，B(－1，2)代入y=kx+b中，得－4k+b=，－k+b=2，解得k=，b=.所以一次函数的表达式为y=x+.把

B(－1，2)代入中，得m=－1×2=－2.

(3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA

和

△PDB面积相等，求点P的坐标.解：设点P的坐标为(t，t

+)，则

P

点到直线AC的距离为t－(－4)，P点到直线BD的距离为

2－(t

+)．∵△PCA

面积和

△PDB

面积相等，∴AC·[t－(－4)]=BD·[2－(

t

+)]，解得

t=.∴点P的坐标为(，)．OBAxyCDP方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合题，关键是理清解题思路.在平面直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度.针对训练如图，设反比例函数的表达式为(k＞0)．(1)若该反比例函数与正比例函数y=

2x的图象有一个交点P的纵坐标为2，求k的值；Oyx解：由题意知点P

在正比例函数y=

2x上，把P

的纵坐标2代入该表达式，得

P

(1，2)，把P

(1，2)代入，得到P2(2)若该反比例函数的图象与过点M(-2，0)的直线l：y

=

kx

+

b交于A，B两点，如图所示，当△ABO

的面积为时，求直线l的表达式；解：把M(-2，0)代入y=kx+b，得b

=2k，∴

y=kx

+

2k.OAyBxMlN解得x1

=

-3，x2

=1.y=kx

+

2k，

∴∴B(-3，-k)，A(1，3k).∵△ABO

的面积为∴

×2×3k

+

×2k

=解得∴直线l的表达式为y=x+．OyxMlNA(1，3k)B(-3，-k)(3)在第(2)题的条件下，当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？OyxMlNA(1，3k)B(－3，－k)解：当x＜－3或0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例函数的值.例4

病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为4毫克.已知服药后，2小时前每毫升血液中的含药量y(单位：毫克)与时间x(单位：小时)成正比例；2小时后y与x成反比例(如图).根据以上信息解答下列问题：(1)求当0≤x≤2时，y与x的函数表达式；解：当0≤x≤2时，y与x成正比例函数关系．设y＝kx，由于点(2，4)在线段上，所以4＝2k，k＝2，即y＝2x.Oy/毫克x/小时24(2)求当x

＞

2时，y与x的函数表达式；解：当x＞2

时，y与x成反比例函数关系，设解得k＝8.由于点(2，4)在反比例函数的图象上，所以即Oy/毫克x/小时24(3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？解：当0≤x≤2时，含药量不低于2毫克，即2x≥2，解得

x≥1，∴1≤x≤2；当x＞2时，含药量不低于2毫克，即≥2，解得x≤4.∴

2＜x≤4.所以服药一次，治疗疾病的有效时间是1＋2＝3(小时)．Oy/毫克x/小时24

如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为