16.2.2 线段垂直平分线的性质定理的逆定理 教案

第十六章轴对称和中心对称16.2.2线段垂直平分线的性质定理的逆定理教学目标1.理解并掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理并学会运用；2.能够运用线段垂直平分线的性质定理和逆定理解决实际问题；3.通过经历线段垂直平分线性质定理的逆定理的证明过程，体验逻辑推理的数学方法.教学重难点重点：理解并掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理并学会运用；难点：能够运用线段垂直平分线的性质定理和逆定理解决实际问题.教学过程旧知回顾回忆线段垂直平分线的性质定理以及主要注意的问题：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.注意：(1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的特征，即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离相等.(2)由性质定理的证明可知，要证明一个图形上每一个点都具有某种性质，只需要在图形上任取一点作代表即可，应注意理解和掌握这种由特殊到一般的思想方法.(3)这个定理向我们提供了一个证明两条线段相等的方法.探究新知一、线段垂直平分线性质定理的逆定理1.线段垂直平分线的性质定理的逆定理是什么？回答：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.结合右图，写出这个逆命题的条件和结论；回答：条件：如图，PA=PB；结论：点P在AB的垂直平分线上.3.猜想这个逆命题的真假，并试着证明你的猜想.猜想：这个逆命题为真命题探究：如果PA=PB，那么点P在线段AB的垂直平分线上.请同学们写出已知，求证.已知：点P为线段AB外的一点，且PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.证明：设线段AB的中点C，连接PC并延长在△PAC和△PBC中，∵PA=PB（已知）PC=PC（公共边）AC=BA（中点的意义）∴△PAC≌△PBC(SSS)∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)∵∠PCA+∠PCB=180°（平角的意义）∴2∠PCA=180°，即∠PCA=90°∴直线PC是线段AB的垂直平分线（垂直平分线的意义）∴点P在线段AB的垂直平分线上.思考：还能做什么样的辅助线证明？证法2：如图所示，作∠APB的平分线PC，则∠APC＝∠BPC.又∵AP＝BP，PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS).∴∠PCA＝∠PCB，AC＝BC.又∵∠PCA+∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上.线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.几何语言：∵PA=PB，∴P在AB的垂直平分线上.用途：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.练习：如右图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，AC与BD相交于点O，求证：AO=OC，BO=OD.二、判断线段垂直平分线的方法思考：(1)若PA＝PB，过点P作直线l，则直线l是线段AB的垂直平分线吗？答：不一定是.理由：经过一点的直线有无数条.(2)若PA＝PB，同时MA＝MB，则直线PM是线段AB的垂直平分线吗？答：是.理由：两点确定一条直线.用线段垂直平分线性质定理的逆定理判定线段垂直平分线的步骤：∵AB＝AC，MB＝MC，∴点A，M均在线段BC的垂直平分线上（两点确定一条直线），∴AM垂直平分BC.总结：判定线段垂直平分线的方法1.用线段垂直平分线的定义.2.用线段垂直平分线性质定理的逆定理，推出两个点都在线段的垂直平分线上，则过这两个点的直线就是这条线段的垂直平分线.练习：1.已知，MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（）A.与AB距离相等的点在MN上B.与点A和点B距离相等的点在MN上C.与MN距离相等的点在AB上D.AB垂直平分MN2.点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD+DA，则点D在线段（）的垂直平分线上.A.ABB.ACC.BCD.不能确定答案：1.B2.B新知应用例1已知：如图所示，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线DP与EP相交于点P.求证：点P在BC的垂直平分线上.引导学生分析，要让点P在BC的垂直平分线上，就是要证明BP＝CP.学生证明，写出证明过程，教师巡视指导后全班讲评.证明：如图所示，连接PA，PB，PC.∵DP，EP分别是AB，AC的垂直平分线，∴PA＝PB＝PC，∴点P在BC的垂直平分线上.通过此题你发现了什么结论？【拓展延伸】三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.例2已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，垂足为O.求证：AO＝OC，BO＝OD.让学生独立思考后完成.证明：因为AB＝BC，CD＝AD，所以点B，D均在线段AC的垂直平分线上，直线BD是线段AC的垂直平分线，所以AO＝OC，同理，BO＝DO.课堂练习1.已知：点C，D为线段AB外两点，下列说法正确的是（）A.若AC＝BC，则经过点C的直线垂直于ABB.若AC＝BC，AD＝BD，则直线CD垂直于ABC.若AD＝BD，则经过点D的直线垂直于ABD.若CD⊥AB，则AC＝BC，AD＝BD2.如图1，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（）A.AC，BC两边高线的交点处B.AC，BC两边中线的交点处C.AC，BC两边垂直平分线的交点处D.∠A，∠B两内角平分线的交点处3.如图2，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O，求证：AD垂直平分EF.图1图2图34.如图3，四边形ABCD是一个“风筝”骨架，其中AB＝AD，CB＝CD.设对角线AC＝a，BD＝b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积.参考答案1.B2.C3.证明：∵AD为△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.又AD＝AD，∴△AED≌△AFD（AAS)，∴AE＝AF，DE＝DF，∴AD垂直平分EF.课堂小结内容：内容：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上线段的垂直平分线的性质定理的逆定理线段的垂直平分线的性质定理的逆定