湖北省云学联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学(解析版)

湖北省云学联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，虚部为.故选：D.2.射击运动员甲在一次射击测试中射靶10次，每次命中的环数如下：4、4、5、7、7、8、8、9、9、10，则甲在测试中命中环数的中位数是（）A.7 B.7.5 C.8 D.9【答案】B【解析】该数据一共有10个数据，所以其中位数是第5与第6个数的平均数.第5个数为7，第6个数为8，所以该组数据的中位数为.故选：B3.椭圆的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得椭圆的焦点在轴上，且，，所以，又，所以.所以椭圆的焦点坐标.故选：A.4.掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之和为6的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，记向上的点数之和为6为事件．...故选：B.5.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则或，故充分性不成立，若，则，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.6.与直线关于轴对称的直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设与直线关于轴对称的直线的上一点为，则在直线上，即得，即，故与直线关于轴对称的直线的方程为，故选：A.7.已知圆，．若圆上存在点，使得，则的值可能为（）A.2 B. C. D.5【答案】D【解析】圆的圆心为，半径，设，因为，即，整理可得，可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，由题意可知：圆与圆有公共点，则，可得，解得或，所以实数的取值范围为，结合选项可知ABC错误，D正确.故选：D．8.设点为圆上的动点，，则的最小值为（）A. B.5 C. D.4【答案】C【解析】，可在轴上找一点，此时，，，所以，同理因为，可在轴上找一点，使得，，所以，由此知.故选：C.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分．9.已知为两个随机事件，表示的对立事件，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若互斥，则C.若相互独立，则D.若相互独立，则【答案】BCD【解析】A，由，则，错误，B，由互斥，则，正确，C，由相互独立，则，正确，D，，由相互独立，则，正确.故选：BCD10.下列关于直线和圆的叙述中，正确的是（）A.当变化时，方程表示的直线过定点B.等腰三角形中，，则点的轨迹方程为C.过点作直线与轴正半轴，轴正半轴分别交于为坐标原点，则的最小值为6D.过点作直线与轴，轴分别交于为坐标原点，若的面积为4，则这样的直线有3条【答案】AD【解析】对于A，由，得.方程表示的直线过定点故A正确．对于B，设，由得：，点的轨迹方程为且去掉两点，故B错误.对于C，由题可设直线，则所以，当且仅当，即，也即时取等号，所以的最小值为，故C错误；对于D，设，则有．当时，，，由，有，当时，，有且，解得：，当时，，同理可得，共3条直线，故D正确.故选：AD.11.椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为上一点，则下列说法正确的是（）A.的最大值为2B.椭圆上存在点，使得C.过圆上一点向椭圆作切线，切点为、，则D.过圆上一点作圆的切线，交椭圆于两点，则面积的取值范围是【答案】ACD【解析】A选项，由椭圆，可知，则，，则，可得，当且仅当时取等号，即当点位于短轴端点时，取最大值，故A正确；B选项，设椭圆上任一点，又，，则，可得，则，故不存在点，使得，故B错误；C选项，设，则，①当时，则，可知椭圆的两条切线恰好垂直，即；②当时，则椭圆的两条切线都存在斜率，可设过点的椭圆切线方程为，联立，消得，由直线与椭圆相切，，化简得，则此关于的方程有两根，设为，则，由即为两切线的斜率，所以，综合①②可知，，故C正确；D选项，当切线的斜率不存在时，切线方程为，联立，解得，故此时；当切线的斜率存在时，设直线的方程为，由圆的圆心，半径，则由直线与圆相切可得，圆心到直线的距离，即，联立，消得，由，化简得，由韦达定理得，.则，由得，代入上式可得，设，，则，由，可得，当，即时，最大，最大值为；当，即时，最小，最小值为；综上所述，的范围为.又由，故面积的取值范围为，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在点使得，且，则椭圆的离心率为___________【答案】【解析】设，，则，且，所以.故答案为：.13.圆：与圆：的公共弦长为______.【答案】【解析】联立，两圆方程相减得公共弦方程：，化为标准方程：，圆心为，半径为.圆心到公共弦的距离为：，公共弦长为：.综上所述：公共弦长为：，故答案为：.14.如图，已知在四棱锥中，与相交于点，且，为的中点，．若平面与棱交于点，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则___________.【答案】【解析】因为，且，，所以，又，所以，又为的中点，，所以，，则，因为四点共面，所以，解得．.所以.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，所对的边为，已知（1）求角的大小．（2）若的面积为且，求的周长．解：（1）由题设及正弦边角关系知，则，由，所以.（2）由题意，则，由余弦定理，则，所以，则，周长为.16.已知的三个顶点分别是，（1）求的外接圆的标准方程．（2）过点作圆的切线，求的方程．解：（1）设外接圆方程，将代入得则圆的一般方程为整理得.故圆的标准方程为.（2）因为，所以点在圆外.当的斜率存在时，设，即圆心，半径.圆心到切线的距离解得：，此时切线.当切线的斜率不存在时，切线方程为，与圆相切.综合得，的方程为：或.17.在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．（1）求打完两局比赛结束的概率．（2）求比赛打满6局结束的概率．（3）若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率．解：（1）打完两局比赛结束说明甲连胜两局或乙连胜两局，记甲第局胜为事件，乙第局胜为事件，所以，打完两局比赛结束的概率为：（2）打满局结束，当且仅当比赛在前局和前局均未结束，即前局比分为且前局比分为，所以，所求概率为：.（3）甲获胜包括：前两局甲获胜，或前4局中甲胜3局乙胜1局，或前4局甲乙各胜两局且第5、6局甲获胜.所以，甲获胜的概率：.18.在如图所示的三棱锥中，为等腰直角三角形，为等边三角形．（1）求三棱锥体积的最大值；（2）在（1）的条件下，求三棱锥的外接球半径；（3）求平面与平面夹角余弦值的最小值．解：（1）因为，所以：，取中点，则，，所以，即平面时取等号，三棱锥体积最大值为.（2）由（1）平面，为外心故球心在上，即，解得：.（3）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，过点作平面的垂线，垂足为，设为翻折过程中所旋转的角度，则，故，则，设平面的法向量为，则，取，则，设平面的法向量，，取，则，设平面与平面的夹角为，故，令，，当且仅当，即时取等号，故平面与平面夹角余弦值的最小值为.19.已知椭圆过点，且离心率为．（1）求的方程；（2）设为的右顶点，为上一点，求面积的最大值；（3）若过点，斜率为（为定值且）的直线与交于点，直线上是否存在不同于点的点，使得平分？若存在，求出点的坐标（用含的式子表示）．若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得：，即，又因，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由题意可知：，则，直线的斜率，则直线的方程为，设平行于直线的直线的方程为，则当直线与椭圆相切时，直线与直线之间的距离有最大值，此时的面积最大，联立方程，消去y得，则，解得：，当时，直线