（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练专题02 平面向量范围与最值问题（解析版）

专题02平面向量范围与最值问题【考点预测】平面向量范围与最值问题常用方法：1、定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论2、坐标法第一步:根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步:将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解3、基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论3、几何意义法第一步:先确定向量所表达的点的轨迹第二步:根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果【典型例题】例1．（2023春·陕西商洛·高一统考期末）已知向量，，满足，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可设，，，则，，则，，其中，，则，故选：D.例2．如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴正半轴、y轴正半轴上移动．若，则a的最大值是（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【解析】设，所以点，，所以，即，当且仅当时取等号，所以a的最大值是1.故选：A.例3．已知平面向量与的夹角为，则的最大值为（

）A． B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】以向量与为两边作△，，，则则在△中，即，则，当且仅当即时等号成立.故选：C例4．如图，在等腰直角中，斜边，且，点是线段上任一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，,,设，则，，所以，因为，所以当时，取最小值，当时，取最大值4，所以的取值范围是，故选：B例5．已知点在直线上，点在直线外，若，且，，则的最小值为______.【答案】【解析】根据题意，当时，最小；由，，∴，即，∴，∴当时，由面积法得，，所以的最小值为.故答案为：例6．已知，，则的取值范围是________．【答案】【解析】由向量模长的三角不等式可得，当且仅当、的方向相同时，等号成立；，当且仅当、的方向相反时，等号成立.因此，的取值范围是.故答案为：.例7．已知向量，且，则的取值范围是___________．【答案】【解析】因为，所以，又因为，所以，所以，设，则，则，化简得：，方程有解，则，化简得：，当，，所以，所以不等式的解集为：.故答案为：.例8．如图，已知是边长为的正六边形的一条边，点在正六边形内(含边界)，则的取值范围是___________.【答案】【解析】如图，取的中点，由已知得：，则，，.以为圆心，(为边的对边的中点)为半径作圆，由正六边形的性质可知，该圆与边相切于点，且点为或点时，最大，此时.；当与重合时，最小；，即的取值范围为.故答案为：.【过关测试】一、单选题1．如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，.则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，，，，，，在中，由正弦定理得：，，，，当，即时，取得最大值.故选：B.2．已知，，，；若P是△ABC所在平面内一点，，则的最大值为是（

）A．17 B．13 C．12 D．15【答案】B【解析】由题意建立如图所示的坐标系，可得，，，，，，，，当且仅当时，等号成立，故选：B.3．已知向量，且与方向相同，则的取值范围是（

）A．（1，+∞） B．（-1，1）C．（-1，+∞） D．（-∞，1）【答案】C【解析】因为与同向，所以可设则有，又因为，，所以所以的取值范围是(-1，+∞)，故选：C.4．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D

二、多选题5．在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（

）A．若点P在BD上时，则B．的取值范围为C．若点P在BD上时，D．若P，Q在线段BD上，且，则的最小值为1【答案】ACD【解析】当点P在BD上时，因为，所以，故A正确；因为P在边长为2的正方形ABCD（含边）内，且，所以，则，故B错误；当点P在BD上时，，所以，故C正确；若P，Q在线段BD上，且，如图建立平面直角坐标系，设，则，，∴∴当时，有最小值为1，故D正确.故选：ACD.三、填空题6．在梯形中，，，，，、分别为线段和线段上的动点，且，，则的取值范围为______．【答案】【解析】以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于直线的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、、，则，由题意可得，解得，，所以，，由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，当时，.因此，的取值范围是.故答案为：.7．已知点，其中，则的取值范围为___________.【答案】【解析】由，得，则，所以，因为，所以，所以，即的取值范围为.故答案为：.8．在矩形ABCD中，边AB､AD的长分别为2､1，若M､N分别是边BC､CD上的点，且满足，则的取值范围是___________.【答案】[1，4]【解析】如图建系，所以，设，则，因为，所以，即，又，所以，故答案为：[1，4]四、解答题9．平面内给定三个向量，且．(1)求实数k关于n的表达式；(2)如图，在中，G为中线OM上一点，且，过点G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q（不与重合）.设向量，求的最小值．【解析】（1）因为，所以，即.（2）由（1）可知，，，由题意可知因为，所以又，，所以.因为三点共线，所以.当且仅当时，取等号，即时，取最小值.10．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．(1)求的取值范围；(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）在直角三角形中，．∴，，，∵，∴．（2）令，得或（舍）.∴存在实数，使得．11．如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上一动点，于点E，于点F．(1)求；(2)设，点Q满足．①证明：；②当点P运动时，求的取值范围．【解析】（1）如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则，，，，设，则，，所以，，所以，所以．（2）①证明：因为，所以，所以．②因为，所以，即．设M是线段DQ的中点，则，因此，从而，因此P、M、C三点共线．结合，及线段QD的中点M在AC上，得Q、D关于直线AC轴对称，因此Q与B重合，所以，结合P与C不重合，有t≠1，所以，，所以的取值范围是12．在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且时，（如图1），小明同学提出了如下两个问题，请同学们帮助小明解答．(1)当或时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由；(2)如图2，射线，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求实数x的取值范围，并求当时，实数y的取值范围．【解析】（1）若，则，在直线AB异侧；若，则，在直线AB同侧．理由如下：设，则由，得：，则在直线上有一点，使得，如下图所示：则，即，当时，则与同向，且，由平面共线定理可得，，在直线AB异侧；当时，与反向，如下图所示，且，由平面共线定理可得，，在直线AB同侧．（2）射线，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动如图所示，阴影部分为点P的运动区域（不含边界），由（1）可知，，在直线同侧，由于，则．过点作交射线于，过点作交射线的延长线于,由平行四边形法则可得，又与方向相同，则，且，与方向相反，则，且，则，故，即实数的取值范围是，当时，此时为中点，过作直线平行与交于，交射线于，则点运动轨迹为线段（不含端点），如下图：当点运动到时，，此时；当点运动到时，，此时；且由平面向量加法的平行四边形法则得.13．已知的面积为S，，若，求与的夹角的取值范围．【解析】因为，，所以，又，所以，又，所以．14．如图，在中，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，，，，且，与交于点.(1)求；(2)若点为线段上的任意一点，连接，求的取值范围.【解析】（1），，又，所以，所以，由得，所以.所以；（2）以点C为坐标原点，CB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如下图所示，则，，，，，，又点为线段上的任意一点，设点，且，则，，所以，所以当时，取得最大值：，当或时，取得最小值：，所以的取值范围为.15．如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.(1)求证：；(2)设，，，，求的值；(3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围.【解析】（1）证明：因，所以，又因为的中点，所以，所以.（2）因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三点共线，所以，即.（3）设，，，，由（1）（2）可知，，即.因，，所以，又因是边长为的等边三角形，所以，令，因，即，当且仅当时，等号成立，所以.因此，又因，所以，所以.16．已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，，.（1）求证：.（2）求的取值范围.【解析】设，又