2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷

荆州中学2025—2026学年高二上学期12月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为”，你认为下列解释正确的是

A.本地区有的地方下雨

B.本地区有的时间下雨

C.明天出行不带雨具，一定被雨淋

D.明天出行不带雨具，有的可能被雨淋2.下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是

A. B. C. D.3.在数列中，，，则

A. B.1 C. D.24.已知，，，若P，A，B，C四点共面，则(

)A.3 B. C.7 D.5.已知向量在向量上的投影向量是，且，则

A. B. C. D.6.已知O是坐标原点，若圆上有2个点到O的距离为2，则实数a的取值范围为

A. B. C. D.7.已知，，直线上存在点P，满足，则l的倾斜角的取值范围是(

)A. B. C. D.

8.如图，正方体的棱长为1，点M在棱AB上，且，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是

A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知事件A、B、C满足，，，则下列说法正确的是(

)A.若，则

B.若，则

C.若，则

D.若，则A，B不独立10.已知P是双曲线C：上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为，若恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是

A.双曲线的方程为

B.双曲线的离心率为

C.函数的图象恒过双曲线C的一个焦点

D.直线与双曲线C有两个交点11.已知棱长为12的正四面体ABCD中，M为CD中点，分别为四面体ABCD的内切球和外接球上的动点，则

A.的最大值为

B.

C.

D.若，则的最大值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知抛物线，则焦点坐标为

_.13.设数列都是等差数列，若，，则

14.如图，已知是圆锥SO的轴截面，分别为的中点，过点C且与直线SA垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若P在上，则的最大值为________.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题13分已知数列，满足，证明：数列为等差数列；求数列的通项公式．16.本小题15分如图，某海面上有三个小岛面积大小忽略不计，A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过三点.求圆C的一般方程;在圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？

17.本小题15分如图，PO是三棱锥的高，，，E是PB的中点.

证明：平面

若，，，求二面角正弦值.18.本小题17分为了激发学生的阅读兴趣，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券，其它情况均不能获得书券.游戏规则如下表：箱子中球的颜色和数量大小质地完全相同的红球3个，白球2个红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”项目游戏一游戏二游戏三取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个白球获胜编号之和为m获胜分别求出游戏一，游戏二的获胜概率;当时，求游戏三的获胜概率;一名同学首先玩游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大?19.本小题17分已知O为坐标原点，椭圆C：的两个顶点坐标为，，短轴长为2，直线PQ交椭圆C于P，Q两点，直线PQ与x轴不平行，记