牛顿第二定律的矢量性理解试题

牛顿第二定律的矢量性理解试题一、基础概念辨析题例1：质量为5kg的物体静止在光滑水平面上，受到水平向东的力F₁=6N和水平向北的力F₂=8N的共同作用。求物体的加速度大小及方向。解析：物体所受合外力为F₁与F₂的矢量和。根据勾股定理，合外力大小为[F_{\text{合}}=\sqrt{F₁²+F₂²}=\sqrt{6²+8²}=10\\text{N}]由牛顿第二定律(F_{\text{合}}=ma)，得加速度[a=\frac{F_{\text{合}}}{m}=\frac{10}{5}=2\\text{m/s}^2]方向与合外力方向一致，即东偏北θ角，其中[\tanθ=\frac{F₂}{F₁}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\quad\Rightarrow\quadθ=53°]例2：如图所示，电梯与水平面夹角为30°，当电梯以2m/s²的加速度斜向上加速运动时，质量为60kg的人对电梯地板的压力和摩擦力大小分别为多少？（g=10m/s²）解析：对人进行受力分析，建立直角坐标系（x轴沿电梯运动方向，y轴垂直电梯向上）。x方向：摩擦力(f=ma_x=ma\cos30°=60×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=60\sqrt{3}\\text{N})y方向：支持力(N-mg=ma_y\RightarrowN=m(g+a\sin30°)=60×(10+2×0.5)=660\\text{N})由牛顿第三定律，人对地板的压力为660N，摩擦力为(60\sqrt{3}\\text{N})。二、瞬时性与矢量性综合题例3：如图所示，小球A用轻绳悬挂，小球B用轻弹簧连接，两球静止于同一竖直平面内。若突然剪断悬挂A的绳子，求剪断瞬间A、B的加速度大小及方向。（已知mA=m，mB=2m）解析：剪断前：A受重力mg、绳拉力T和弹簧弹力F（F=2mg，因B静止）；B受重力2mg和弹簧弹力F（平衡）。剪断瞬间：A球：绳拉力T突变为0，合外力(F_{\text{合}A}=mg+F=3mg)，加速度(a_A=\frac{3mg}{m}=3g)（竖直向下）。B球：弹簧弹力F不变（弹性形变不可突变），合外力为0，加速度(a_B=0)。例4：质量为m的小球用两根轻绳悬挂于天花板，绳1水平，绳2与竖直方向成θ角。若突然剪断绳1，求剪断瞬间小球的加速度。解析：剪断前绳2的拉力(T=\frac{mg}{\cosθ})。剪断瞬间绳2拉力突变为(T'=mg\cosθ)（沿绳方向），合外力沿垂直绳2方向：[F_{\text{合}}=mg\sinθ\Rightarrowa=g\sinθ]（方向垂直绳2向下）三、曲线运动中的矢量分解题例5：在倾角37°的光滑斜面上，质量为2kg的物体受沿斜面向上的力F=10N作用，从静止开始运动。求物体5s内的位移。（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）解析：沿斜面方向建立坐标系，合外力[F_{\text{合}}=mg\sin37°-F=2×10×0.6-10=2\\text{N}]（方向沿斜面向下）加速度(a=\frac{F_{\text{合}}}{m}=1\\text{m/s}^2)，位移[x=\frac{1}{2}at²=\frac{1}{2}×1×5²=12.5\\text{m}]例6：质量为1kg的小球在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时速度v=2m/s，绳长L=0.5m。求此时绳的拉力及小球的向心加速度。（g=10m/s²）解析：向心力由重力和拉力提供，方向竖直向下：[F_{\text{合}}=T+mg=m\frac{v²}{L}]代入数据得(T+10=1×\frac{4}{0.5}\RightarrowT=-2\\text{N})（负号表示绳中为支持力）。向心加速度(a=\frac{v²}{L}=8\\text{m/s}^2)（竖直向下）。四、连接体问题中的矢量叠加例7：如图所示，质量M=4kg的木板静止于光滑水平面，质量m=1kg的滑块置于木板上，动摩擦因数μ=0.2。用水平力F=10N拉木板，求滑块与木板的加速度。（g=10m/s²）解析：整体法：若不相对滑动，共同加速度(a=\frac{F}{M+m}=2\\text{m/s}^2)。隔离滑块：最大静摩擦力(f_{\text{max}}=μmg=2\\text{N})，滑块最大加速度(a_{\text{max}}=\frac{f_{\text{max}}}{m}=2\\text{m/s}^2)。因(a=a_{\text{max}})，两者相对静止，加速度均为2m/s²。例8：质量分别为m₁=2kg、m₂=3kg的A、B两物体用轻绳连接，置于倾角30°的光滑斜面。用沿斜面向上的力F拉A，使系统加速度a=4m/s²。求绳的拉力T。解析：整体法：(F-(m₁+m₂)g\sin30°=(m₁+m₂)a\RightarrowF=5×(10×0.5+4)=45\\text{N})。隔离B：(T-m₂g\sin30°=m₂a\RightarrowT=3×(5+4)=27\\text{N})。五、临界状态与多方向矢量题例9：质量为m的小球用轻杆固定在小车上，当小车以加速度a水平向右运动时，杆与竖直方向夹角为θ。求杆对小球的弹力大小及方向。解析：弹力F的水平分量提供加速度，竖直分量平衡重力：[F\sinθ=ma\quadF\cosθ=mg]联立得(F=m\sqrt{g²+a²})，方向与竖直方向夹角(θ=\arctan\left(\frac{a}{g}\right))。例10：在水平向右匀加速运动的车厢中，悬挂小球的悬线偏离竖直方向37°角，球质量m=1kg。求车厢加速度及悬线拉力。（g=10m/s²）解析：悬线拉力T的水平分量提供加速度：[T\sin37°=ma\quadT\cos37°=mg]解得(T=\frac{mg}{\cos37°}=12.5\\text{N})，(a=g\tan37°=7.5\\text{m/s}^2)（方向水平向右）。六、动态平衡与矢量变化题例11：如图所示，质量m=0.5kg的小球用轻弹簧连接，静止于光滑水平面。现用水平力F拉弹簧，使小球从静止开始做匀加速运动，弹簧与水平方向夹角从0°逐渐增大到30°，已知弹簧劲度系数k=100N/m，求当θ=30°时小球的加速度a。解析：弹簧弹力(F_{\text{弹}}=kx)，水平分量(F_{\text{弹}}\cosθ=ma)，竖直分量(F_{\text{弹}}\sinθ=mg)。联立得(\tanθ=\frac{mg}{ma}\Rightarrowa=\frac{g}{\tanθ}=\frac{10}{\sqrt{3}/3}=10\sqrt{3}\\text{m/s}^2)。例12：质量为40kg的木箱在水平地面上，用F=100N与水平成37°角的力斜向上拉木箱，动摩擦因数μ=0.2。求木箱的加速度。（g=10m/s²）解析：竖直方向：(N+F\sin37°=mg\RightarrowN=400-100×0.6=340\\text{N})水平方向：(F\cos37°-μN=ma\Rightarrowa=\frac{80-0.2×340}{40}=0.3\\text{m/s}^2)七、矢量性实验探究题例13：某同学用如图所示装置探究“加速度与力的关系”，小车质量M=0.5kg，砂桶质量m=0.1kg。若不计摩擦，小车加速度理论值a₁=______，实际测量值a₂______a₁（选填“>”“<”或“=”）。解析：理论值(a₁=\frac{mg}{M+m}=\frac{1}{0.6}≈1.67\\text{m/s}^2)；实际中砂桶失重，拉力(T<mg)，故(a₂<a₁)。例14：在“验证牛顿第二定律”实验中，打出的纸带如图。已知相邻计数点间时间间隔T=0.1s，计数点1-5的距离依次为x₁=1.50cm、x₂=3.50cm、x₃=5.50cm、x₄=7.50cm。小车加速度a=______m/s²，若小车质量M=0.2kg，所挂钩码质量m=0.01kg，则绳子拉力T=______N。解析：加速度(a=\frac{(x₃+x₄)-(x₁+x₂)}{4T²}=\frac{(5.50+7.50)-(1.50+3.50)}{4×0.01}×10^{-2}=2\\text{m/s}^2)拉力(T=M(a+μg))（若μ=0，则T=0.4N）八、综合应用题例15：如图所示，倾角θ=30°的斜面体固定在水平地面，质量m=1kg的小球用轻绳系于斜面顶端，当斜面体以a=4m/s²的加速度水平向右运动时，绳与斜面平行，求绳的拉力及斜面对小球的支持力。（g=10m/s²）解析：建立坐标系（x轴水平向右，y轴竖直向上）：x方向：(N\sinθ+T\cosθ=ma)y方向：(N\cosθ-T\sinθ=mg)代入数据解得(N=\frac{ma\sinθ+mg\cosθ}{\sin²θ+\cos²θ}=1×(4×0.5+10×\frac{\sqrt{3}}{2})≈10.66\\text{N})，(T=ma\cosθ-N\sinθ≈-1.33\\text{N})（负号表示绳中为压力）。例16：质量为m的物体在水平力F作用下，沿倾角为α的粗糙斜面向上匀速运动，动摩擦因数为μ。若突然将F反向，大小不变，求物体的加速度。解析：匀速时：(F\cosα=mg\sinα+μ(mg\cosα+F\sinα))反向后：(F\cosα+mg\sinα+μ(mg\cosα-F\sinα)=ma)联立