2025 九年级数学上册二次函数图像翻折变换规律课件

一、教学背景分析演讲人目录01.教学背景分析07.板书设计（略）03.教学重难点突破05.课堂总结与升华（5分钟）02.教学目标设定04.教学过程设计（45分钟）06.课后作业设计2025九年级数学上册二次函数图像翻折变换规律课件01教学背景分析教学背景分析作为初中数学“函数与图像”模块的核心内容之一，二次函数图像的翻折变换既是对一次函数图像变换的延伸，也是高中阶段学习三角函数、指数函数等更复杂函数图像变换的基础。我在一线教学中发现，九年级学生已掌握二次函数的基本形式（如顶点式、一般式）、图像的开口方向、顶点坐标等核心性质，也能通过“左加右减，上加下减”理解平移变换的规律，但对“翻折”这一涉及“轴对称”的变换仍存在认知难点——具体表现为难以将图像的几何翻折与代数表达式的符号变化建立联系，容易混淆关于x轴、y轴翻折的差异，更缺乏对一般直线翻折的迁移能力。因此，本节课将以“从特殊到一般、从直观到抽象”为逻辑主线，通过“观察-猜想-验证-应用”的探究路径，帮助学生构建“几何变换→坐标变化→代数表达式”的思维链条。02教学目标设定1知识与技能目标1理解二次函数图像关于x轴、y轴、直线y=a（a为常数）、直线x=h（h为常数）翻折的几何意义；2掌握通过坐标变换推导翻折后二次函数表达式的方法；3能准确判断翻折前后图像的开口方向、顶点坐标、对称轴等关键特征的变化规律。2过程与方法目标经历“具体函数图像翻折→观察点的坐标变化→归纳表达式规律→验证一般情况”的探究过程，提升数形结合能力；通过对比关于x轴与y轴翻折的差异、特殊直线与一般直线翻折的联系，发展类比推理与归纳概括能力。3情感态度与价值观目标在探究翻折变换的过程中，感受数学“变与不变”的辩证思想，体会代数与几何的内在统一；通过解决实际问题（如抛物线型建筑的镜像设计），增强数学应用意识，激发对函数学习的兴趣。03教学重难点突破1教学重点：二次函数图像翻折变换的规律及表达式推导重点依据：翻折变换是函数图像变换的重要类型，其规律的掌握直接影响后续综合题（如函数与几何结合问题）的解决能力。3.2教学难点：一般直线（如y=a、x=h）翻折后表达式的推导难点分析：学生易将关于x轴（y=0）、y轴（x=0）的特殊翻折规律直接套用到一般直线，忽略“平移坐标系”的转化思路；需通过“先平移再翻折”或“利用对称点坐标”的方法突破。04教学过程设计（45分钟）1情境引入：从生活现象到数学问题（5分钟）“同学们，上周我带大家参观了城市规划馆，其中有一座抛物线型的拱形桥给大家留下了深刻印象（展示图片）。如果设计师想在桥的下方建造一个‘镜像桥’，使两者关于水面（x轴）对称，你能画出镜像桥的轮廓吗？如果镜像桥关于桥的竖直中线（y轴）对称，又该如何绘制？”通过生活实例激活学生的直观感知，引导其回忆“轴对称”的几何定义：翻折后图像上每一点关于翻折轴的对称点都在新图像上。随后，教师用几何画板动态演示y=x²关于x轴翻折的过程，学生观察到原图像上的点（1,1）变为（1,-1），（2,4）变为（2,-4），初步形成“纵坐标取反”的猜想。过渡：“从几何直观到代数表达，我们需要将‘点的对称’转化为‘函数表达式的变化’。接下来，我们以具体函数为例，逐步探究翻折变换的规律。”2探究一：关于x轴的翻折变换（10分钟）2.1特殊函数的验证以y=ax²（a≠0）为例，设原函数图像上任意一点P(x,y)，关于x轴翻折后的对应点P’(x,y’)。根据轴对称定义，y’=-y，即y=-y’。由于P在原函数上，满足y=ax²，代入得-y’=ax²，即y’=-ax²。因此，翻折后的函数表达式为y=-ax²。教师追问：“若原函数为顶点式y=a(x-h)²+k，关于x轴翻折后表达式如何？”学生分组讨论，类比上述方法，设P(x,y)在原函数上，则y=a(x-h)²+k；翻折后P’(x,y’)满足y’=-y，故y’=-[a(x-h)²+k]=-a(x-h)²-k。2探究一：关于x轴的翻折变换（10分钟）2.2规律总结表达式变化：y→-y，即原函数表达式整体取相反数；图像特征变化：开口方向相反（a变为-a），顶点坐标由(h,k)变为(h,-k)，对称轴不变（仍为x=h）。实例验证：原函数y=2(x-3)²+4，关于x轴翻折后为y=-2(x-3)²-4。用几何画板绘制两图像，观察开口方向（原向上，翻折后向下）、顶点（(3,4)→(3,-4)）、对称轴（x=3不变），验证规律的正确性。过渡：“关于x轴的翻折是‘上下翻转’，那么‘左右翻转’——关于y轴的翻折又会有怎样的规律？”3探究二：关于y轴的翻折变换（10分钟）3.1特殊函数的推导以y=ax²+bx+c（a≠0）为例，原函数上任意一点P(x,y)，关于y轴翻折后的对应点P’(x’,y)，其中x’=-x（因为y轴对称点横坐标相反，纵坐标相同）。由于P’在翻折后的图像上，设其函数表达式为y=a’x’²+b’x’+c’，代入x’=-x得y=a’(-x)²+b’(-x)+c’=a’x²-b’x+c’。而原函数中y=ax²+bx+c，因此需满足a’x²-b’x+c’=ax²+bx+c对所有x成立，故a’=a，-b’=b（即b’=-b），c’=c。因此，翻折后的表达式为y=ax²-bx+c。简化方法：更直观的方式是利用“x→-x”的替换。原函数中x被替换为-x，即y=a(-x)²+b(-x)+c=ax²-bx+c，与上述结论一致。3探究二：关于y轴的翻折变换（10分钟）3.2顶点式的应用若原函数为顶点式y=a(x-h)²+k，关于y轴翻折时，顶点(h,k)关于y轴的对称点为(-h,k)，因此翻折后的顶点式为y=a(x+h)²+k。例如，原函数y=3(x-2)²+5，翻折后为y=3(x+2)²+5，展开后为y=3x²+12x+17，与通过一般式推导的结果（y=3x²-(-12)x+17，即y=3x²+12x+17）一致。3探究二：关于y轴的翻折变换（10分钟）3.3规律总结表达式变化：x→-x，即原函数中x替换为-x；图像特征变化：开口方向不变（a不变），顶点坐标由(h,k)变为(-h,k)，对称轴由x=h变为x=-h。对比思考：“关于x轴与y轴翻折的本质区别是什么？”引导学生总结：前者是纵坐标取反（y→-y），影响开口方向和顶点纵坐标；后者是横坐标取反（x→-x），影响对称轴和顶点横坐标。过渡：“生活中，翻折轴不一定是坐标轴，比如镜面可能平行于x轴或y轴。例如，将抛物线关于直线y=2翻折，或关于直线x=1翻折，该如何推导表达式？”4探究三：关于一般直线的翻折变换（12分钟）4.4.1关于直线y=a的翻折（平行于x轴）以直线y=a为例，设原函数图像上一点P(x,y)，关于y=a翻折后的点P’(x,y’)。根据轴对称性质，y与y’的中点在y=a上，即(y+y’)/2=a，故y’=2a-y。因此，翻折后的函数表达式需满足y’=2a-y，即y=2a-y’。由于P在原函数上，y=f(x)，代入得y’=2a-f(x)。实例分析：原函数y=(x-1)²+3，关于y=5翻折。根据规律，y’=2×5-[(x-1)²+3]=10-(x²-2x+1+3)=-x²+2x+6。用几何画板验证：原顶点(1,3)关于y=5的对称点为(1,7)，翻折后的函数顶点式应为y=-(x-1)²+7（因为开口方向由原向上变为向下），展开后为y=-x²+2x-1+7=-x²+2x+6，与推导结果一致。4探究三：关于一般直线的翻折变换（12分钟）4.2关于直线x=h的翻折（平行于y轴）同理，设点P(x,y)关于x=h翻折后的点P’(x’,y)，则(x+x’)/2=h，故x’=2h-x。因此，翻折后的函数表达式中x被替换为2h-x，即y=f(2h-x)。实例验证：原函数y=2(x+3)²-4，关于x=2翻折。替换x为2×2-x=4-x，得y=2(4-x+3)²-4=2(7-x)²-4=2(x-7)²-4。原顶点(-3,-4)关于x=2的对称点为(7,-4)，翻折后的顶点式应为y=2(x-7)²-4，与推导结果一致，验证规律的正确性。4探究三：关于一般直线的翻折变换（12分钟）4.3规律总结关于y=a翻折：表达式为y=2a-f(x)；图像开口方向与原函数相反（若原函数为二次函数，a的符号取反），顶点纵坐标变为2a-k（原顶点(h,k)），横坐标不变；关于x=h翻折：表达式为y=f(2h-x)；图像开口方向不变，顶点横坐标变为2h-h=h’（原顶点(h,k)，新顶点(2h-h,k)=(h,k)？不，原顶点(h,k)关于x=h的对称点应为(2h-h,k)=(h,k)，这说明当翻折轴为x=h时，顶点在翻折轴上，因此顶点不变？这里需要修正：原顶点为(h0,k)，关于x=h翻折后的顶点应为(2h-h0,k)，例如原顶点(-3,-4)，h=2，2h-h0=4-(-3)=7，所以新顶点(7,-4)，与实例一致。因此规律应为：顶点横坐标变为2h-h0，纵坐标不变，开口方向不变。4探究三：关于一般直线的翻折变换（12分钟）4.3规律总结教师强调：“无论是关于坐标轴还是一般直线的翻折，核心都是找到原图像上点与翻折后点的坐标关系，再代入原函数表达式推导新表达式。这体现了‘以点带面’的数学思想——通过研究点的变换规律，推导整个图像的变换规律。”5应用提升：从规律到问题解决（8分钟）5.1基础题已知原函数y=-x²+2x-3，关于x轴翻折后的表达式为______；关于y轴翻折后的表达式为______。抛物线y=2(x+1)²-5关于直线y=1翻折后，顶点坐标为______，表达式为______。5应用提升：从规律到问题解决（8分钟）5.2综合题某公园有一抛物线型喷泉，其水流轨迹的函数表达式为y=-0.5(x-2)²+4（单位：米），现需在其下方建造一个“镜像喷泉”，使两喷泉关于水面（y=0）对称。求镜像喷泉的水流轨迹表达式，并计算两喷泉顶点的垂直距离。学生解答：关于y=0翻折即关于x轴翻折，表达式为y=0.5(x-2)²-4；原顶点(2,4)，翻折后顶点(2,-4)，垂直距离为4-(-4)=8米。5应用提升：从规律到问题解决（8分钟）5.3拓展题若将抛物线y=ax²+bx+c先向右平移3个单位，再关于直线x=2翻折，最终的函数表达式是什么？（提示：先平移得到y=a(x-3)²+b(x-3)+c，再关于x=2翻折，替换x为2×2-x=4-x，得y=a(4-x-3)²+b(4-x-3)+c=a(1-x)²+b(1-x)+c=a(x-1)²-b(x-1)+c）通过分层练习，学生从“模仿应用”到“综合分析”，逐步深化对翻折变换规律的理解，同时体会变换的叠加性（平移与翻折的结合）。05课堂总结与升华（5分钟）1学生自主归纳“通过今天的学习，你掌握了哪些翻折变换的规律？请从‘翻折轴类型’‘表达式变化’‘图像特征变化’三个维度总结。”学生代表发言，其他同学补充，教师板书关键词：关于x轴：y→-y，开口反向，顶点(h,k)→(h,-k)；关于y轴：x→-x，开口不变，顶点(h,k)→(-h,k)；关于y=a：y→2a-y，开口反向，顶点(h,k)→(h,2a-k)；关于x=h：x→2h-x，开口不变，顶点(h0,k)→(2h-h0,k)。2教师总结升华“二次函数图像的翻折变换，本质是‘轴对称变换’在函数图像中的具体体现。从特殊到一般的探究过程，不仅让我们掌握了规律，更重要的是学会了‘用坐标变化研究图像变换’的方法——这是贯穿中学数学的核心思想。希望同学们在后续学习中，继续用这种‘数形结合’的眼光观察问题，让函数图像成为你解决问题的‘可视化工具’。”06课后作业设计课后作业设计必做题：教材P45习题21.