2025 九年级数学上册位似图形与坐标系结合问题课件

一、课程引入：从生活现象到数学本质的连接演讲人CONTENTS课程引入：从生活现象到数学本质的连接知识铺垫：位似图形的基础概念回顾坐标系中的位似图形：从定性到定量的跨越典型例题：从理论到实践的应用应用拓展：数学与生活的深度融合总结与升华：从知识到能力的跨越目录2025九年级数学上册位似图形与坐标系结合问题课件01课程引入：从生活现象到数学本质的连接课程引入：从生活现象到数学本质的连接作为一线数学教师，我常在课堂上观察到这样的场景：学生们拿着手机缩放地图时，会自然讨论“为什么放大后道路的形状没变，但位置和大小变了”；美术课上绘制缩小版的校园素描时，也会疑惑“如何保证各部分比例一致”。这些生活中的“缩放”现象，正是数学中“位似图形”的典型体现。而当我们将这种“缩放”放在坐标系中研究时，就能通过坐标的定量变化，更精准地描述位似变换的规律——这便是今天要探讨的核心问题：位似图形与坐标系的结合。02知识铺垫：位似图形的基础概念回顾知识铺垫：位似图形的基础概念回顾要深入研究位似图形与坐标系的结合，首先需要明确位似图形的基本定义与性质。这部分内容是后续学习的“地基”，必须扎实掌握。1位似图形的定义与核心要素位似图形的定义可概括为：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，相似比叫做位似比。这里需要强调三个核心要素：（1）相似性：位似图形是特殊的相似图形，因此具备相似图形的所有性质（对应角相等、对应边成比例）；（2）位似中心：所有对应顶点连线的公共交点，是位似变换的“支点”；（3）位似比：决定图形放大或缩小的比例，通常用(k)表示（(k>0)时为同向位似，(k<0)时为反向位似，即图形关于位似中心对称）。2位似图形的基本性质基于定义，位似图形有以下关键性质：对应点到位似中心的距离之比等于位似比；对应边互相平行（或共线），对应角相等；位似图形的位置关系由位似中心的位置和位似比的符号共同决定。例如，若位似比(k=2)，位似中心在点(O)，则原图形上一点(A)对应的位似点(A')满足(OA':OA=2:1)，且(A')在(OA)的延长线上；若(k=-2)，则(A')在(AO)的延长线上（即与(A)位于位似中心的异侧）。03坐标系中的位似图形：从定性到定量的跨越坐标系中的位似图形：从定性到定量的跨越当位似图形与坐标系结合时，我们可以通过坐标的代数运算，将位似变换的“位置关系”转化为“坐标关系”，这是几何问题代数化的重要体现，也是解决后续复杂问题的关键。1位似中心在坐标原点时的坐标规律这是最基础、最常见的情形，也是后续学习的“模板”。假设位似中心为坐标原点(O(0,0))，原图形上一点(P(x,y))经过位似比为(k)的变换后得到点(P'(x',y'))，则坐标变换规律可通过以下推导得出：根据位似图形的性质，(OP':OP=|k|)，且(P')与(P)在位似中心的同侧（(k>0)）或异侧（(k<0)）。由于(O)是原点，向量(\overrightarrow{OP}=(x,y))，则(\overrightarrow{OP'}=k\cdot\overrightarrow{OP}=(kx,ky))，因此(P')的坐标为((kx,ky))。1位似中心在坐标原点时的坐标规律结论：当位似中心在原点时，原图形上任意一点((x,y))的位似点坐标为((kx,ky))。示例验证：原图形顶点(A(2,3))，位似中心在原点，位似比(k=2)，则(A'(4,6))；若(k=-1/2)，则(A'(-1,-1.5))。通过画图验证，(A')确实在(OA)的延长线（或反向延长线）上，且距离符合比例。2位似中心不在坐标原点时的坐标变换实际问题中，位似中心往往不在原点（如地图缩放时，用户可能以屏幕上某一点为中心放大），此时需要更一般化的坐标变换方法。假设位似中心为(C(h,m))，原图形上一点(P(x,y))，位似比为(k)，则位似点(P'(x',y'))的坐标可通过以下步骤推导：（1）将坐标系平移，使位似中心(C)成为新原点(O'(0,0))，则原坐标(P(x,y))在新坐标系中的坐标为(P'(x-h,y-m))；（2）在新坐标系中进行位似变换，得到新坐标(P''(k(x-h),k(y-m)))；（3）将坐标系平移回原坐标系，得到(P')的原坐标：(x'=h+2位似中心不在坐标原点时的坐标变换k(x-h))，(y'=m+k(y-m))。结论：当位似中心为(C(h,m))时，原图形上一点((x,y))的位似点坐标为((h+k(x-h),m+k(y-m)))。示例解析：位似中心(C(1,2))，原图形顶点(P(3,5))，位似比(k=3)，则(P')的坐标为：(x'=1+3(3-1)=1+6=7)，(y'=2+3(5-2)=2+9=11)，2位似中心不在坐标原点时的坐标变换即(P'(7,11))。验证：(CP=\sqrt{(3-1)^2+(5-2)^2}=\sqrt{13})，(CP'=\sqrt{(7-1)^2+(11-2)^2}=\sqrt{36+81}=\sqrt{117}=3\sqrt{13})，符合(CP':CP=3:1)。3位似比的符号与图形方向的关系位似比(k)的符号是学生容易忽略却至关重要的细节。当(k>0)时，位似图形与原图形在位似中心的同侧，对应点连线方向相同；当(k<0)时，位似图形与原图形在位似中心的异侧，对应点连线方向相反（相当于先位似再中心对称）。示例对比：原图形顶点(A(2,1))，位似中心在原点，(k=2)时(A'(4,2))（同侧）；(k=-2)时(A'(-4,-2))（异侧）。通过画图可直观看到，(k<0)时图形不仅放大，还关于原点对称。04典型例题：从理论到实践的应用典型例题：从理论到实践的应用为了巩固知识，我们需要通过具体例题，引导学生将坐标变换规律应用于实际问题，同时总结解题步骤与易错点。1位似中心在原点的简单应用例题1：已知△ABC的顶点坐标为(A(1,2))，(B(3,4))，(C(2,5))，以原点为位似中心，位似比(k=2)作位似图形△A'B'C'，求△A'B'C'的顶点坐标。解题步骤：（1）明确位似中心在原点，直接应用((kx,ky))规律；（2）计算各顶点坐标：(A'(1×2,2×2)=(2,4))，(B'(3×2,4×2)=(6,8))，(C'(2×2,5×2)=(4,10))。易错提醒：部分学生可能误将位似比理解为原图形与位似图形的比（即(1:k)），需强调位似比的定义是“位似图形与原图形的对应边之比”。2位似中心不在原点的综合应用例题2：如图（此处可插入示意图），四边形DEFG的顶点坐标为(D(0,0))，(E(2,1))，(F(3,3))，(G(1,2))，以点(C(2,2))为位似中心，位似比(k=1/2)作位似图形四边形D'E'F'G'，求各顶点坐标。解题步骤：（1）确定位似中心(C(2,2))，位似比(k=1/2)；（2）应用公式((h+k(x-h),m+k(y-m)))2位似中心不在原点的综合应用，计算各点坐标：(D'(2+1/2(0-2),2+1/2(0-2))=(2-1,2-1)=(1,1))(E'(2+1/2(2-2),2+1/2(1-2))=(2+0,2-0.5)=(2,1.5))(F'(2+1/2(3-2),2+1/2(3-2))=(2+0.5,2+0.5)=(2.5,2.5))(G'(2+1/2(1-2),2+1/2(2-2))=(2-0.5,2+0)=(1.5,2))关键总结：当位似中心不在原点时，需通过“平移坐标系-位似变换-平移回原坐标系”的思路，避免直接套用原点公式导致错误。3位似比为负数的特殊情形例题3：已知点(P(4,3))，以原点为位似中心作位似图形（位似比(k=-1/3)），求点(P')的坐标，并说明图形的位置关系。解题步骤：（1）应用原点位似公式((kx,ky))；（2）计算(P'(-4/3,-1))；（3）分析位置关系：(k<0)，故(P')与(P)在位似中心（原点）异侧，且(OP':OP=1:3)。拓展思考：若位似比为(k=-2)，图形会如何变化？（既放大2倍，又关于原点对称）05应用拓展：数学与生活的深度融合应用拓展：数学与生活的深度融合位似图形与坐标系的结合，不仅是数学知识的延伸，更是解决实际问题的工具。以下从三个领域举例说明其应用价值。1计算机图形学中的图像缩放在Photoshop等设计软件中，“自由变换”功能的核心就是位似变换。用户通过点击“中心点”（即位似中心），拖动边缘控制柄调整缩放比例（位似比），软件会自动计算每个像素点的新坐标（应用位似坐标公式），从而实现图像的等比例缩放且不畸变。例如，一张100×100像素的图片以左上角为中心放大2倍，其右下角像素点((100,100))的新坐标为((0+2×(100-0),0+2×(100-0))=(200,200))，符合位似变换规律。2地图与导航中的比例尺地图是位似图形的典型应用，比例尺本质上就是位似比。例如，某地图比例尺为1:10000（即位似比(k=1/10000)），若实际地点(A)的坐标为((5000m,3000m))，则地图上(A')的坐标为((5000×1/10000,3000×1/10000)=(0.5m,0.3m))（需注意单位转换）。导航软件的“放大/缩小”功能，本质上是动态调整位似比，同时保持位似中心为屏幕中心点，确保用户操作的直观性。3建筑设计中的图纸绘制建筑设计师绘制施工图时需将实际建筑按比例缩小（如1:100），这也是位似变换。假设实际建筑的一个墙角点(P(10m,8m))，图纸的位似中心为坐标原点（图纸左下角），则图纸上(P')的坐标为((10×0.01,8×0.01)=(0.1m,0.08m))。若需要以图纸上某点(C(0.05m,0.05m))为中心局部放大（位似比(k=2)），则新坐标(P'')可通过非原点位似公式计算，确保细节清晰。06总结与升华：从知识到能力的跨越总结与升华：从知识到能力的跨越回顾本节课的核心内容，可以总结为以下三点：概念关联：位似图形是特殊的相似图形，结合坐标系后，其变换规律可通过坐标代数化精确描述；坐标规律：位似中心在原点时，坐标变换为((kx,ky))；位似中心在(