2025 九年级数学上册相似三角形判定定理二课件

一、教学背景分析演讲人教学背景分析01教学目标设计02教学过程设计（45分钟）04教学反思与总结05教学重难点突破03目录2025九年级数学上册相似三角形判定定理二课件01教学背景分析教学背景分析作为一线数学教师，我深知相似三角形是初中几何的核心内容之一，其判定定理更是连接全等三角形与相似三角形、培养学生逻辑推理能力的关键桥梁。2025年人教版九年级数学上册中，相似三角形的判定定理二（以下简称“判定定理二”）承接“平行线分线段成比例”“相似三角形定义及判定定理一（AA）”的学习，是继“两角分别相等的两个三角形相似”之后，进一步探索相似条件的重要内容。1课标与教材定位《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确要求：“掌握相似三角形的判定定理，能利用相似三角形的判定定理解决简单的实际问题。”判定定理二（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）与判定定理一（AA）、判定定理三（三边成比例的两个三角形相似）共同构成相似三角形判定的“三驾马车”，其中“两边成比例且夹角相等”的条件既延续了全等三角形SAS判定的思维模式，又通过“比例”而非“相等”的差异体现相似的本质，是学生从“全等”到“相似”认知迁移的典型载体。2学情与学习难点面对九年级学生，他们已掌握全等三角形的判定（SAS、ASA等）、相似三角形的定义（对应角相等、对应边成比例）及判定定理一（AA），具备一定的几何直观和推理能力。但在学习判定定理二时，可能存在以下难点：条件混淆：易将“两边成比例”与“夹角相等”割裂，或误将“非夹角”的角相等作为条件（如两边成比例且其中一边的对角相等）；证明逻辑：从实验操作（测量、画图）到严格的几何证明，需要完成“合情推理”到“演绎推理”的跨越；应用灵活性：在复杂图形中快速识别“两边成比例且夹角相等”的结构，结合勾股定理、三角函数等知识解决综合问题。02教学目标设计教学目标设计基于以上分析，我将本节课的教学目标设定为以下三个维度：1知识与技能目标理解并掌握相似三角形判定定理二的内容：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”；能运用判定定理二证明两个三角形相似，并解决简单的实际问题（如测量高度、距离）。2过程与方法目标通过“观察猜想—实验验证—逻辑证明—应用提升”的探究过程，体会从特殊到一般、从合情推理到演绎推理的数学研究方法；在图形辨析中发展几何直观，在推理论证中提升逻辑思维能力。3情感态度与价值观目标通过数学史（如泰勒斯测量金字塔高度的故事）渗透数学文化，感受相似三角形的应用价值；在小组合作中培养交流意识，在解决问题中增强学习几何的信心。03教学重难点突破1教学重点：判定定理二的内容及应用突破策略：通过“三步法”强化理解：语言表征：用符号语言明确条件——在△ABC与△A'B'C'中，若$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$且∠A=∠A'，则△ABC∽△A'B'C'；图形表征：结合具体图形标注比例关系和夹角，强调“夹角”是两边的公共角；对比表征：与全等三角形的SAS判定对比（全等需“两边相等且夹角相等”，相似需“两边成比例且夹角相等”），突出“比例”的核心差异。2教学难点：定理的推导过程及“非夹角”反例辨析突破策略：实验探究：组织学生分组画图：①画△ABC，使AB=4cm，AC=6cm，∠A=60；②画△A'B'C'，使A'B'=2cm，A'C'=3cm，∠A'=60；③测量BC、B'C'的长度，计算$\frac{BC}{B'C'}$，观察对应角是否相等。通过数据归纳“两边成比例且夹角相等时，三角形相似”的猜想。逻辑证明：引导学生将小三角形△A'B'C'平移至△ABC内，使∠A'与∠A重合，A'B'落在AB上，A'C'落在AC上（如图1），利用“平行线分线段成比例”证明B'C'∥BC，进而由判定定理一（AA）得△ABC∽△AB'C'，而△AB'C'≌△A'B'C'（SAS全等），故△ABC∽△A'B'C'。2教学难点：定理的推导过程及“非夹角”反例辨析反例辨析：展示反例图形（如△ABC中AB=4，AC=6，∠B=30；△A'B'C'中A'B'=2，A'C'=3，∠B'=30），测量发现对应角不相等、对应边不成比例，强调“非夹角相等”不满足判定条件。04教学过程设计（45分钟）1情境导入（5分钟）“上周春游时，我们尝试用‘标杆法’测量学校旗杆的高度，但有同学问：‘如果没有标杆，只有卷尺和量角器，能不能测旗杆高度？’今天我们就来探索一种新的测量方法——它需要用到相似三角形的判定定理二。”通过生活问题引发兴趣，回顾旧知：“之前我们学过哪些相似三角形的判定方法？”（定义法、判定定理一AA），追问：“是否还有其他更简便的判定方法？”自然过渡到新课。2定理探究（15分钟）活动1：画图验证教师示范：画△ABC，AB=3cm，AC=4cm，∠A=45；学生分组：画△A'B'C'，使A'B'=6cm，A'C'=8cm（即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{1}{2}$），∠A'=45；测量：BC、B'C'的长度，计算$\frac{BC}{B'C'}$，用量角器测量∠B、∠B'，∠C、∠C'的度数；小组汇报：$\frac{BC}{B'C'}\approx\frac{1}{2}$，对应角相等，初步猜想“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。活动2：推理论证提出问题：“如何用已学知识证明这一猜想？”引导学生将△A'B'C'与△ABC置于同一平面，使点A'与A重合，A'B'在AB上（设$\frac{AB}{A'B'}=k$，则AB=kA'B'），标记点D在AB上，使AD=A'B'；点E在AC上，使AE=A'C'（如图2）。由$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{k}$，根据“平行线分线段成比例”逆定理，得DE∥BC；由DE∥BC，得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，故△ADE∽△ABC（AA）；又△ADE与△A'B'C'中，AD=A'B'，AE=A'C'，∠A=∠A'，故△ADE≌△A'B'C'（SAS）；因此△A'B'C'∽△ABC，定理得证。3定理理解（8分钟）3.1关键词辨析“两边成比例”：需明确是两组对应边的比相等，顺序不能颠倒（如$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，而非$\frac{AB}{A'C'}=\frac{AC}{A'B'}$）；“夹角相等”：是两组对应边的公共角，若角不是两边的夹角（如△ABC中AB、BC的比与△A'B'C'中A'B'、B'C'的比相等，但∠B≠∠B'），则不满足条件；与SAS的联系与区别：全等是相似的特殊情况（比例k=1），相似是全等的一般化（k>0）。3定理理解（8分钟）3.2反例强化展示图形（图3）：△ABC中AB=2，AC=4，∠B=30；△A'B'C'中A'B'=1，A'C'=2，∠B'=30。计算$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=2$，但∠B与∠B'非夹角，测量发现∠C≠∠C'，△ABC与△A'B'C'不相似。通过反例强调“夹角”的必要性。4应用提升（12分钟）4.1基础应用例1：如图4，△ABC与△ADE中，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}$，∠DAE=∠BAC。求证：△ADE∽△ABC。分析：明确对应边（AD与AB，AE与AC）、夹角（∠DAE=∠BAC），直接应用判定定理二；板书规范证明过程，强调“三组条件”的书写（比例式、夹角相等、结论）。例2：如图5，四边形ABCD中，∠B=∠ACD=90，AB=2，BC=3，CD=4，求AC的长及△ABC与△CDA是否相似。4应用提升（12分钟）4.1基础应用分析：先通过勾股定理求AC=√(AB²+BC²)=√13；再计算$\frac{AB}{CD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{AC}=\frac{3}{√13}$，发现比例不等，需换对应边——$\frac{AB}{AC}=\frac{2}{√13}$，$\frac{BC}{CD}=\frac{3}{4}$，仍不等；最后考虑$\frac{AC}{CD}=\frac{√13}{4}$，$\frac{BC}{AD}$（需先求AD=√(AC²+CD²)=√(13+16)=√29），比例仍不等，故不相似。通过此题强调“对应边需正确匹配”。4应用提升（12分钟）4.2拓展应用例3：某同学想测量教学楼高度，他站在离楼底15米的地面上，用测角器测得楼顶的仰角为30，已知测角器高度为1.6米（图6）。若他的手臂水平向前伸直，手中拿一根20cm长的小棒，使小棒与眼睛的水平距离为40cm时，小棒刚好完全挡住楼顶（即小棒顶端、眼睛、楼顶共线）。利用相似三角形求教学楼高度。分析：构造相似三角形（眼睛、小棒两端构成的△与眼睛、楼底、楼顶构成的△），由$\frac{小棒长度}{楼的竖直高度差}=\frac{小棒水平距离}{人到楼的水平距离}$，即$\frac{0.2}{h-1.6}=\frac{0.4}{15}$，解得h=1.6+7.5=9.1米。通过实际问题体现定理的应用价值。5课堂小结（3分钟）方法：实验探究→逻辑证明→应用验证的研究方法；引导学生从“知识、方法、思想”三方面总结：知识：相似三角形判定定理二的内容（两边成比例且夹角相等）；思想：类比（与全等SAS）、转化（复杂图形分解为基本相似模型）、数形结合（图形与比例式的对应）。6课后作业（2分钟）必做题：教材P35习题2、3（直接应用判定定理二）；选做题：如图7，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在AB上（AD=2），点E在AC上，若△ADE与△ABC相似，求AE的长（分类讨论“夹角是否为顶角”）。05教学反思与总结教学反思与总结本节课以“测量旗杆高度”的问题驱动，通过“实验—证明—应用”的递进式设计，帮助学生从直观感知到逻辑推理，逐步建构对判定定理二的理解。课堂中，学生通过画图、测量、讨论等活动主动参与探究，反例辨析有效突破了“非夹角”的易错点，实际问题的解决则让学生体会到相似三角形的实用价值。作为教师，我深刻感受到：几何定理