2025 九年级数学上册一元二次方程根的判别式应用课件

一、知识溯源：从求根公式到判别式的诞生演讲人知识溯源：从求根公式到判别式的诞生01综合提升：判别式在实际问题中的深度应用02核心应用：判别式的三大基础功能03总结与升华：判别式的“数学思维价值”04目录2025九年级数学上册一元二次方程根的判别式应用课件各位同学、同仁：今天我们聚焦“一元二次方程根的判别式应用”这一主题。作为九年级数学上册的核心内容之一，根的判别式不仅是连接代数与几何的重要桥梁，更是培养逻辑推理与问题解决能力的关键载体。回顾我多年的教学实践，每当学生真正理解判别式的本质并能灵活应用时，往往意味着他们对“方程与函数”的认知跨越了重要台阶。接下来，我们将从“知识溯源—核心应用—综合提升”三个维度展开，逐步揭开判别式的“应用密码”。01知识溯源：从求根公式到判别式的诞生知识溯源：从求根公式到判别式的诞生要理解根的判别式的应用，首先需要明确它的“来龙去脉”。让我们先回到一元二次方程的基本形式：1一元二次方程的一般形式与求根公式形如(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)）的方程是一元二次方程的标准形式。通过配方法推导，我们得到了求根公式：[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}]这一公式中，最关键的部分是根号内的(b^2-4ac)——它直接决定了方程是否有实数根，以及根的个数。2判别式的定义与本质数学中，我们将(\Delta=b^2-4ac)定义为一元二次方程的根的判别式。从代数角度看，它是求根公式的“核心控制器”；从几何角度看，它对应二次函数(y=ax^2+bx+c)的图像与x轴的交点情况（后续我们会深入探讨）。这里需要强调：判别式的存在，本质上是将“方程是否有解”的问题转化为“一个代数式的符号判断”问题，这种“代数化”的思维方式是初中数学的重要思想方法。02核心应用：判别式的三大基础功能核心应用：判别式的三大基础功能掌握判别式的定义后，我们需要明确它的核心作用。通过多年教学观察，我发现学生对判别式的应用主要集中在以下三类问题中，这三类问题也是中考的高频考点。1功能一：判断一元二次方程根的存在性与个数这是判别式最直接的应用。根据(\Delta)的符号，我们可以分三种情况讨论：当(\Delta>0)时，方程有两个不相等的实数根；当(\Delta=0)时，方程有两个相等的实数根（即一个实数根）；当(\Delta<0)时，方程无实数根。示例1：判断方程(x^2-5x+6=0)的根的情况。计算(\Delta=(-5)^2-4\times1\times6=25-24=1>0)，因此方程有两个不相等的实数根（实际根为(x=2)和(x=3)）。示例2：判断方程(2x^2+4x+2=0)的根的情况。1功能一：判断一元二次方程根的存在性与个数计算(\Delta=4^2-4\times2\times2=16-16=0)，因此方程有两个相等的实数根（实际根为(x=-1)）。示例3：判断方程(x^2+x+1=0)的根的情况。计算(\Delta=1^2-4\times1\times1=1-4=-3<0)，因此方程无实数根。注意事项：必须确保方程是一元二次方程（即(a\neq0)），若题目未明确(a\neq0)，需额外讨论(a=0)时的情况（此时方程退化为一元一次方程）；判别式仅适用于实数根的判断，复数根的情况不在初中数学范围内。2功能二：根据根的情况求参数的取值范围这是判别式的逆向应用，也是学生容易出错的难点。题目通常给出“方程有两个实根”“有一个实根”“无实根”等条件，要求求参数（如(a)、(b)、(c)中的某个字母）的取值范围。解题步骤：确定方程是一元二次方程（若题目隐含“二次”，则(a\neq0)；若未明确，需分(a=0)和(a\neq0)讨论）；根据根的情况列出判别式的不等式（如“有两个实根”对应(\Delta\geq0)，“无实根”对应(\Delta<0)）；解不等式（组），结合(a\neq0)的条件，得到参数范围。2功能二：根据根的情况求参数的取值范围示例4：已知关于(x)的方程(kx^2+2x+1=0)有两个实数根，求(k)的取值范围。分析：题目要求“两个实数根”，需满足两个条件：方程是一元二次方程（(k\neq0)）；判别式(\Delta\geq0)（因为“两个实数根”包含“相等”和“不等”两种情况）。计算(\Delta=2^2-4\timesk\times1=4-4k\geq0)，解得(k\leq1)。结合(k\neq0)，最终(k)的取值范围是(k\leq1)且(k\neq0)。2功能二：根据根的情况求参数的取值范围示例5：若关于(x)的方程((m-1)x^2+2mx+m+3=0)无实数根，求(m)的取值范围。分析：需分两种情况讨论：当(m-1=0)（即(m=1)）时，方程退化为(2x+4=0)，是一元一次方程，有一个实数根，不符合“无实根”的条件；当(m-1\neq0)（即(m\neq1)）时，方程是一元二次方程，需满足(\Delta<0)。计算(\Delta=(2m)^2-4(m-1)(m+3)=4m^2-4(m^2+2m-3)=4m^2-4m^2-8m+12=-8m+12)。2功能二：根据根的情况求参数的取值范围令(-8m+12<0)，解得(m>\frac{3}{2})。综上，(m)的取值范围是(m>\frac{3}{2})。常见误区：学生容易忽略“二次项系数不为零”的条件，导致漏解或多解。例如示例4中，若忽略(k\neq0)，会错误得出(k\leq1)，但当(k=0)时方程变为一次方程，只有一个根，不符合“两个实数根”的要求。3功能三：判别式与二次函数的关联应用一元二次方程与二次函数是“数”与“形”的统一体：方程(ax^2+bx+c=0)的根对应函数(y=ax^2+bx+c)的图像与x轴的交点横坐标。因此，判别式(\Delta)也决定了二次函数图像与x轴的交点个数：(\Delta>0)：图像与x轴有两个不同交点；(\Delta=0)：图像与x轴有一个交点（顶点在x轴上）；(\Delta<0)：图像与x轴无交点。这一关联在解决“二次函数图像性质”“交点存在性”等问题时非常关键。示例6：已知二次函数(y=x^2-(m+1)x+m)，求证：无论(m)取何值，该函数图像与x轴总有交点。3功能三：判别式与二次函数的关联应用分析：只需证明判别式(\Delta\geq0)恒成立。计算(\Delta=[-(m+1)]^2-4\times1\timesm=m^2+2m+1-4m=m^2-2m+1=(m-1)^2\geq0)，因此无论(m)取何值，(\Delta\geq0)，函数图像与x轴总有交点（当(m=1)时，交点重合为一点）。示例7：二次函数(y=ax^2+bx+c)的图像如图所示（此处可配合图像讲解），判断(\Delta)的符号。分析：观察图像与x轴的交点个数：若有两个交点，则(\Delta>0)；若有一个交点，则(\Delta=0)；若无交点，则(\Delta<0)。03综合提升：判别式在实际问题中的深度应用综合提升：判别式在实际问题中的深度应用数学的价值在于解决实际问题。判别式不仅能解决纯代数问题，还能与几何、物理等实际情境结合，判断“是否存在符合条件的解”“参数的合理范围”等。1几何问题中的存在性判断在几何问题中，常需要根据条件列方程，再通过判别式判断是否存在满足条件的几何量（如边长、角度等）。示例8：如图（可配合图形），用长为20m的篱笆围成一个矩形花园，其中一边靠墙（墙足够长），设垂直于墙的边长为(x)m，花园面积为(S)m²。是否存在(x)使得(S=30)m²？分析：根据题意，平行于墙的边长为(20-2x)，面积(S=x(20-2x)=-2x^2+20x)。令(S=30)，得方程(-2x^2+20x=30)，整理为(2x^2-20x+30=0)，即(x^2-10x+15=0)。1几何问题中的存在性判断计算(\Delta=(-10)^2-4\times1\times15=100-60=40>0)，因此方程有两个不相等的实数根，即存在这样的(x)。示例9：在等腰三角形(ABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，点(P)在底边(BC)上，过点(P)作(PE\perpAB)于(E)，(PF\perpAC)于(F)，是否存在点(P)使得(PE+PF=4)？分析：设(BP=x)，则(PC=6-x)。通过面积法或三角函数可求得(PE=\frac{4}{5}x)（(\sinB=\frac{4}{5})），(PF=\frac{4}{5}(6-x))，因此(PE+PF=\frac{4}{5}x+\frac{4}{5}(6-x)=\frac{24}{5}=4.8)。1几何问题中的存在性判断但题目要求(PE+PF=4)，即(4.8=4)，显然矛盾？这里可能我的分析有误，需要重新考虑。（注：实际应通过坐标法列方程。以(B)为原点，(BC)为x轴，建立坐标系，则(B(0,0))，(C(6,0))，(A(3,4))。直线(AB)的方程为(4x-3y=0)，直线(AC)的方程为(4x+3y-24=0)。点(P(t,0))（(0\leqt\leq6)），则(PE=\frac{|4t-0|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{4t}{5})，(PF=\frac{|4t+0-24|}{5}=\frac{|4t-24|}{5})。1几何问题中的存在性判断因为(t\leq6)，所以(PF=\frac{24-4t}{5})。因此(PE+PF=\frac{4t+24-4t}{5}=\frac{24}{5}=4.8)，恒等于4.8，与4无关，因此不存在这样的点(P)。这说明通过判别式判断时，若方程无解（(\Delta<0)），则不存在符合条件的解。）2物理问题中的临界条件分析在物理运动问题中，判别式可用于判断“是否存在某一时刻满足特定条件”（如物体落地时间、两物体相遇时间等）。示例10：竖直上抛一个小球，其高度(h)（米）与时间(t)（秒）的关系为(h=-5t^2+20t)。是否存在时刻(t)使得小球高度为22米？分析：令(-5t^2+20t=22)，整理为(5t^2-20t+22=0)。计算(\Delta=(-20)^2-4\times5\times22=400-440=-40<0)，因此方程无实数根，即不存在这样的时刻(t)。3代数综合题中的参数约束在涉及多个变量或复杂条件的代数题中，判别式常作为“约束条件”出现，与不等式、函数最值等结合，考查综合分析能力。示例11：已知关于(x)的方程(x^2+(2k-1)x+k^2-1=0)有两个实数根(x_1)、(x_2)，且(x_1^2+x_2^2=9)，求(k)的值。分析：由判别式(\Delta\geq0)得((2k-1)^2-4(k^2-1)\geq0)，展开得(4k^2-4k+1-4k^2+4\geq0)，即(-4k+5\geq0)，解得(k\leq\frac{5}{4})；3代数综合题中的参数约束由韦达定理，(x_1+x_2=-(2k-1))，(x_1x_2=k^2-1)；(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(2k-1)^2-2(k^2-1)=4k^2-4k+1-2k^2+2=2k^2-4k+3)；令(2k^2-4k+3=9)，解得(2k^2-4k-6=0)，即(k^2-2k-3=0)，解得(k=3)或(k=-1)；结合(k\leq\frac{5}{4})，舍去(k=3)，最终(k=-1)。04总结与升华：判别式的“数学思维价值”总结与升华：判别式的“数学思维价值”回顾本节课的内容，我们从判别式的定义出发，逐步探讨了它在“判断根的情况”