2025 九年级数学上册一元二次方程整数根筛选方法课件

一、前置知识：一元二次方程的基本性质回顾演讲人前置知识：一元二次方程的基本性质回顾壹一元二次方程整数根筛选的核心方法贰综合应用：多方法结合的典型问题叁常见易错点与应对策略肆总结与升华伍目录2025九年级数学上册一元二次方程整数根筛选方法课件各位同学、同仁：大家好！今天我们共同探讨的主题是“一元二次方程整数根的筛选方法”。作为九年级数学上册的核心内容之一，一元二次方程不仅是代数知识的重要载体，更是连接数与式、函数、不等式的关键桥梁。而“整数根筛选”问题，因其对逻辑分析、代数变形和数感的综合考查，常作为中考压轴题或竞赛题的命题方向。结合我多年教学实践，许多同学在面对此类问题时，常因方法零散、条件遗漏而失分。因此，今天我们将系统梳理方法，构建完整的解题框架。01前置知识：一元二次方程的基本性质回顾前置知识：一元二次方程的基本性质回顾要解决整数根筛选问题，首先需明确一元二次方程的核心定义与性质。1一元二次方程的标准形式形如(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)）的方程，其中(a)、(b)、(c)为常数，(a)是二次项系数，(b)是一次项系数，(c)是常数项。需特别注意：二次项系数(a)不能为零，这是判断方程是否为一元二次方程的首要条件。2根的判别式与求根公式方程的根由判别式(\Delta=b^2-4ac)决定：(\Delta>0)时，方程有两个不相等的实数根：(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a})；(\Delta=0)时，方程有两个相等的实数根：(x=-\frac{b}{2a})；(\Delta<0)时，方程无实数根。3韦达定理（根与系数的关系）若方程的两个根为(x_1)、(x_2)，则有：(x_1+x_2=-\frac{b}{a})，(x_1x_2=\frac{c}{a})。教学提示：我在批改作业时发现，部分同学常忽略“(a\neq0)”的条件，或在应用韦达定理时误将系数符号搞反。这些细节需反复强调，因为它们是后续筛选整数根的基础。02一元二次方程整数根筛选的核心方法一元二次方程整数根筛选的核心方法整数根筛选的本质是：在方程有实数根的前提下，进一步限定根为整数。我们需要结合方程的结构特征，选择合适的方法缩小范围，逐步验证。1判别式法：从“实数根”到“整数根”的第一步若方程有整数根，则首先必须有实数根（即(\Delta\geq0)），且根的表达式(\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a})需为整数。因此，(\sqrt{\Delta})必须是整数（设为(k)，(k\in\mathbb{N})），且(-b\pmk)能被(2a)整除。步骤总结：①计算判别式(\Delta=b^2-4ac)，并分析(\Delta)是否为完全平方数（设(\Delta=k^2)，(k)为非负整数）；1判别式法：从“实数根”到“整数根”的第一步②若(\Delta)是完全平方数，进一步验证(-b\pmk)能否被(2a)整除；③若满足，则对应的根为整数。例题1：求方程(x^2-5x+6=0)的整数根。解析：(\Delta=(-5)^2-4\times1\times6=25-24=1=1^2)（完全平方数）。根为(\frac{5\pm1}{2})，即(x_1=3)，(x_2=2)，均为整数。例题2：若方程(2x^2-(k+1)x+k=0)有整数根，求整数(k)的值。1判别式法：从“实数根”到“整数根”的第一步解析：(\Delta=(k+1)^2-8k=k^2-6k+1)。要求(\Delta)为完全平方数，设(k^2-6k+1=m^2)（(m)为非负整数），变形为((k-3)^2-m^2=8)，即((k-3-m)(k-3+m)=8)。因(k-3-m)和(k-3+m)同奇偶且乘积为8，可能的整数解为((2,4))、((-4,-2))等，解得(k=6)或(k=0)，验证后均满足条件。注意：当(a)不为1时，(2a)可能影响根的整除性，需特别关注分母的因数分解。2韦达定理法：利用根与系数的关系锁定整数条件若方程有整数根(x_1)、(x_2)，则根据韦达定理：(x_1+x_2=-\frac{b}{a})，(x_1x_2=\frac{c}{a})。由于(x_1)、(x_2)为整数，(-\frac{b}{a})和(\frac{c}{a})必须为整数（或分数，但分母需与根的和、积的分母约分后为整数）。更直接的思路是将方程两边乘以(a)（若(a)为整数），转化为(ax_1\cdotax_2=ac)，利用整数的因数分解求解。步骤总结：2韦达定理法：利用根与系数的关系锁定整数条件01在右侧编辑区输入内容①设整数根为(x_1)、(x_2)，则(x_1+x_2=-\frac{b}{a})，(x_1x_2=\frac{c}{a})；02在右侧编辑区输入内容②若(a)为整数，则(ax_1)、(ax_2)是整数，且((ax_1)(ax_2)=ac)；03例题3：方程(3x^2+mx-2=0)有整数根，求整数(m)的可能值。③列出(ac)的所有整数因数对，逐一验证是否满足和为(-b)的条件。2韦达定理法：利用根与系数的关系锁定整数条件解析：设整数根为(x_1)、(x_2)，则(x_1+x_2=-\frac{m}{3})，(x_1x_2=-\frac{2}{3})。A两边同乘3得：(3x_1\cdot3x_2=-6)，设(3x_1=p)，(3x_2=q)（(p,q)为整数），则(pq=-6)。B(-6)的整数因数对为((1,-6),(-1,6),(2,-3),(-2,3),(3,-2),(-3,2),(6,-1),(-6,1))。C2韦达定理法：利用根与系数的关系锁定整数条件对应(x_1=\frac{p}{3})，(x_2=\frac{q}{3})需为整数，故(p)、(q)必须是3的倍数。但(-6)的因数中，3的倍数只有(3,-3,6,-6)，因此可能的因数对为((3,-2))（但(-2)不是3的倍数，舍去）、((-3,2))（舍去）、((6,-1))（舍去）、((-6,1))（舍去）。这说明原方程无整数根？教学反思：此处出现矛盾，说明我的推导有误。实际应直接考虑(x_1x_2=-\frac{2}{3})，若(x_1)、(x_2)为整数，则乘积必为整数，但(-\frac{2}{3})不是整数，因此原方程无整数根。这提醒我们：当(\frac{c}{a})不是整数时，方程不可能有整数根（若(a)、(c)均为整数）。2韦达定理法：利用根与系数的关系锁定整数条件例题4：方程(x^2-(k+2)x+2k=0)有整数根，求整数(k)。解析：由韦达定理，(x_1+x_2=k+2)，(x_1x_2=2k)。消去(k)得(x_1x_2=2(x_1+x_2-2))，整理为((x_1-2)(x_2-2)=0)，因此(x_1=2)或(x_2=2)。代入原方程得(4-2(k+2)+2k=0)，恒成立，故(k)为任意整数？纠正：实际因式分解原方程得((x-2)(x-k)=0)，根为(x=2)或(x=k)，因此当(k)为整数时，方程有整数根。这说明韦达定理法需结合因式分解，才能更高效。3因式分解法：直接构造整数根的表达式若方程能分解为((mx+n)(px+q)=0)（(m,p,n,q)为整数），则根为(x=-\frac{n}{m})、(x=-\frac{q}{p})。要使根为整数，需(m)整除(n)，(p)整除(q)。步骤总结：①尝试将二次项系数(a)分解为两个整数的乘积(a=m\cdotp)；②将常数项(c)分解为两个整数的乘积(c=n\cdotq)；3因式分解法：直接构造整数根的表达式③验证交叉相乘和是否等于一次项系数(b)（即(mq+pn=b)）；④若满足，则根为(-\frac{n}{m})、(-\frac{q}{p})，需进一步验证是否为整数。例题5：分解(6x^2-x-2=0)并求整数根。解析：(6=2\times3)，(-2=(-2)\times1)，交叉相乘：(2\times1+3\times(-2)=2-6=-4\neq-1)；调整(-2=2\times(-1))，3因式分解法：直接构造整数根的表达式交叉相乘：(2\times(-1)+3\times2=-2+6=4\neq-1)；再调整(6=3\times2)，(-2=(-1)\times2)，交叉相乘：(3\times2+2\times(-1)=6-2=4\neq-1)；最终正确分解为((2x+1)(3x-2)=0)，根为(x=-\frac{1}{2})、(x=\frac{2}{3})，均非整数，故原方程无整数根。教学提示：因式分解法适用于系数较小的方程，但对含参数或系数较大的方程效率较低，需结合其他方法。4参数分离法：将参数表示为根的函数当方程含参数时，可将参数表示为根的函数，利用整数根的限制求解参数范围。步骤总结：①设整数根为(x=k)，代入方程得关于参数的表达式(f(k)=0)；②分析(f(k))的取值范围，结合整数(k)的可能值，求出参数的整数值。例题6：若关于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m=0)有整数根，求整数(m)的值。解析：设整数根为(k)，则(k^2-(m+2)k+m=0)，整理得(m=\frac{k^2-2k}{k-1}=k-1-\frac{1}{k-1})。4参数分离法：将参数表示为根的函数因(m)为整数，故(\frac{1}{k-1})必须为整数，即(k-1=\pm1)，解得(k=2)或(k=0)。01当(k=2)时，(m=2-1-1=0)；当(k=0)时，(m=0-1-(-1)=0)，故(m=0)。02验证：方程为(x^2-2x=0)，根为(x=0)、(x=2)，均为整数，符合条件。0303综合应用：多方法结合的典型问题综合应用：多方法结合的典型问题实际解题中，单一方法往往不够，需结合判别式、韦达定理和参数分离，逐步缩小范围。1含参数的一元二次方程整数根问题例题7：已知关于(x)的方程((k-1)x^2+2kx+k+3=0)有两个不相等的整数根，求整数(k)的值。解析：①首先，方程是一元二次方程，故(k-1\neq0)，即(k\neq1)；②判别式(\Delta=(2k)^2-4(k-1)(k+3)=4k^2-4(k^2+2k-3)=-8k+12)。因方程有两个不相等的实数根，故(\Delta>0)，即(-8k+12>0)，解得(k<\frac{3}{2})；1含参数的一元二次方程整数根问题③由求根公式，根为(x=\frac{-2k\pm\sqrt{-8k+12}}{2(k-1)}=\frac{-k\pm\sqrt{-2k+3}}{k-1})。因根为整数，设(\sqrt{-2k+3}=m)（(m)为正整数），则(-2k+3=m^2)，即(k=\frac{3-m^2}{2})；④因(k)为整数，(3-m^2)必为偶数，故(m^2)为奇数，(m)为奇数。设(m=2t+1)（(t\geq0)整数），则(m^2=4t^2+4t+1)，代入得(k=\frac{3-(4t^2+4t+1)}{2}=1-2t^2-2t)；1含参数的一元二次方程整数根问题⑤结合(k<\frac{3}{2})，(t=0)时，(k=1)（舍去，因(k\neq1)）；(t=1)时，(k=1-2-2=-3)；(t=2)时，(k=1-8-4=-11)（此时(\Delta=-8\times(-11)+12=100)，根为(\frac{11\pm10}{-4})，即(x=-\frac{21}{4})或(x=-\frac{1}{4})，非整数，舍去）；⑥验证(k=-3)：方程为(-4x^2-6x+0=0)，即(2x^2+3x=0)，根为(x=0)、(x=-\frac{3}{2})（非整数，矛盾）。1含参数的一元二次方程整数根问题这说明之前的推导有误，问题出在步骤③中，当(k=-3)时，原方程为((-4)x^2+(-6)x+0=0)，即(-4x^2-6x=0)，根为(x=0)或(x=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2})，确实非整数。这说明需重新考虑。正确解法：由韦达定理，设根为(x_1)、(x_2)（整数），则(x_1+x_2=-\frac{2k}{k-1}=-2-\frac{2}{k-1})，(x_1x_2=\frac{k+3}{k-1}=1+\frac{4}{k-1})。1含参数的一元二次方程整数根问题因(x_1+x_2)和(x_1x_2)均为整数，故(\frac{2}{k-1})和(\frac{4}{k-1})必为整数，即(k-1)是2和4的公因数，可能的(k-1=\pm1,\pm2)，即(k=2,0,3,-1)。逐一验证：(k=2)：方程为(x^2+4x+5=0)，(\Delta=16-20=-4<0)，无实根；(k=0)：方程为(-x^2+0x+3=0)，即(x^2-3=0)，根为(\pm\sqrt{3})，非整数；1含参数的一元二次方程整数根问题(k=3)：方程为(2x^2+6x+6=0)，(\Delta=36-48=-12<0)，无实根；(k=-1)：方程为(-2x^2-2x+2=0)，即(x^2+x-1=0)，根为(\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2})，非整数。结论：原方程无满足条件的整数(k)。教学启示：此类问题需综合运用判别式、韦达定理和因数分析，每一步都要严格验证，避免遗漏或误判。04常见易错点与应对策略常见易错点与应对策略通过多年教学观察，学生在解决整数根问题时，常出现以下错误：1忽略二次项系数非零错误案例：解方程((m-1)x^2+2x+1=0)有整数根，求(m)。学生可能直接应用判别式，忽略(m-1\neq0)。应对：首先明确方程类型，若题目未说明是一元二次方程，需分(m-1=0)（一次方程）和(m-1\neq0)（二次方程）讨论。2判别式非完全平方数的误判错误案例：认为(\Delta=8)是完全平方数（实际(\sqrt{8}=2\sqrt{2