2025 九年级数学上册圆与三角形位置关系判断课件

一、知识铺垫：从点、线到三角形的位置关系迁移演讲人CONTENTS知识铺垫：从点、线到三角形的位置关系迁移核心内容：圆与三角形位置关系的具体类型及判断典型例题：位置关系判断的实际应用课堂练习：分层巩固，提升应用能力总结提升：从具体到抽象，构建知识体系目录2025九年级数学上册圆与三角形位置关系判断课件各位同学，今天我们将共同探索“圆与三角形的位置关系判断”这一主题。从小学接触简单几何图形，到初中深入学习圆和三角形的性质，我们对这两类图形已有了基本认知。但当圆与三角形相遇时，它们的位置关系会呈现出哪些规律？如何用数学语言精准描述并判断这些关系？这既是对之前“点与圆”“直线与圆”位置关系的延伸，也是后续学习圆与多边形综合问题的基础。让我们带着这些问题，开启今天的学习。01知识铺垫：从点、线到三角形的位置关系迁移知识铺垫：从点、线到三角形的位置关系迁移要研究圆与三角形的位置关系，首先需要回顾“点与圆”“直线与圆”的位置关系判断方法，因为三角形本质上是由三个顶点（点）和三条边（直线段）组成的封闭图形。1点与圆的位置关系回顾点与圆的位置关系有三种：点在圆内：点到圆心的距离(d<r)（(r)为圆的半径）；点在圆上：(d=r)；点在圆外：(d>r)。这一判断方法是后续分析三角形顶点与圆位置关系的核心依据。例如，若三角形的三个顶点(A、B、C)到圆心(O)的距离分别为(d_A、d_B、d_C)，则可通过比较(d_A、d_B、d_C)与(r)的大小，判断每个顶点的位置。2直线与圆的位置关系回顾直线与圆的位置关系同样有三种：相交：直线到圆心的距离(d<r)，有两个公共点；相切：(d=r)，有一个公共点；相离：(d>r)，无公共点。三角形的每条边都是直线段，因此分析边与圆的位置关系时，需先判断对应的直线与圆的位置关系，再结合线段的长度，确定线段与圆的实际交点数量（可能为0、1或2个）。3从“点、线”到“三角形”的逻辑过渡三角形由三个顶点和三条边构成，因此其与圆的位置关系可从两方面分析：顶点层面：三个顶点相对于圆的位置（全在圆内、全在圆上、全在圆外，或部分在内部分在外）；边层面：三条边所在直线与圆的位置关系（相交、相切、相离），以及边作为线段与圆的交点情况。这两个层面相互关联，但核心仍是“距离与半径的比较”这一基本方法。0304020102核心内容：圆与三角形位置关系的具体类型及判断1三角形顶点与圆的位置关系根据三个顶点与圆的位置，可分为以下四类：1三角形顶点与圆的位置关系1.1三角形全在圆内三个顶点均在圆内（(d_A<r,d_B<r,d_C<r)），且三角形的所有边也在圆内。此时，圆的半径需大于三角形顶点到圆心的最大距离，同时圆的范围需覆盖整个三角形。例如，若圆心在三角形内部，且(r)大于顶点到圆心的最远距离，则三角形全在圆内。1三角形顶点与圆的位置关系1.2三角形全在圆上三个顶点均在圆上（(d_A=d_B=d_C=r)），此时圆是三角形的外接圆，圆心是三角形的外心。外心是三角形三边垂直平分线的交点，其位置因三角形类型而异：锐角三角形：外心在三角形内部；直角三角形：外心在斜边中点（外接圆半径为斜边的一半）；钝角三角形：外心在三角形外部（如图1所示，钝角三角形(\triangleABC)的外心(O)位于(BC)边的外侧）。1三角形顶点与圆的位置关系1.3三角形全在圆外三个顶点均在圆外（(d_A>r,d_B>r,d_C>r)），且三角形的所有边也在圆外。此时，圆的半径小于顶点到圆心的最小距离。例如，若圆心在三角形外部，且(r)小于顶点到圆心的最近距离，则三角形全在圆外。1三角形顶点与圆的位置关系1.4三角形部分在圆内、部分在圆外顶点中至少有一个在圆内，至少有一个在圆外（如(d_A<r)且(d_B>r)）。此时，三角形的边可能与圆相交，形成交点。例如，若顶点(A)在圆内，顶点(B)在圆外，则边(AB)所在直线与圆相交，线段(AB)必然与圆有一个交点（根据连续性，从圆内到圆外必穿过圆周）。2三角形边与圆的位置关系三角形的每条边对应一条直线，因此需分别分析三条边所在直线与圆的位置关系，再结合线段长度判断线段与圆的交点数量：2三角形边与圆的位置关系2.1边所在直线与圆相交若边所在直线到圆心的距离(d<r)，则直线与圆有两个交点。此时，线段与圆的交点数量可能为：2个（线段两端点均在圆外，且线段穿过圆）；1个（线段一个端点在圆内，另一个在圆外，或一个端点在圆上）；0个（线段两端点均在圆内，但直线与圆相交，此时线段可能完全在圆内，无交点）。例如，边(AB)所在直线与圆相交于(P、Q)两点，若(A、B)均在圆外且(P、Q)在线段(AB)上，则线段(AB)与圆有2个交点；若(A)在圆内，(B)在圆外，则线段(AB)必与圆有1个交点（从圆内到圆外穿过圆周）。2三角形边与圆的位置关系2.2边所在直线与圆相切若(d=r)，则直线与圆有一个切点。此时，线段与圆的交点数量为：1个（切点在线段上）；0个（切点不在线段上，如线段两端点均在圆外，且切点位于线段延长线上）。例如，边(BC)所在直线与圆相切于(T)，若(T)在线段(BC)上，则线段(BC)与圆有1个交点；若(T)在线段(BC)的延长线上，则线段(BC)与圆无交点。2三角形边与圆的位置关系2.3边所在直线与圆相离若(d>r)，则直线与圆无交点，线段与圆也必然无交点。3特殊位置关系：三角形的外接圆与内切圆在圆与三角形的位置关系中，外接圆和内切圆是最典型的两种特殊情况，也是考试中的高频考点。3特殊位置关系：三角形的外接圆与内切圆3.1外接圆（外心）定义：经过三角形三个顶点的圆，圆心为外心，半径为外接圆半径(R)。性质：外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等（(OA=OB=OC=R)）。应用举例：（1）直角三角形的外接圆半径(R=\frac{1}{2}\times斜边长度)（因外心在斜边中点）；（2）已知三角形三边长(a、b、c)，外接圆半径可通过公式(R=\frac{abc}{4S})计算（(S)为三角形面积）。3特殊位置关系：三角形的外接圆与内切圆3.2内切圆（内心）定义：与三角形三边都相切的圆，圆心为内心，半径为内切圆半径(r)。性质：内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等（(到三边的距离=r)）。应用举例：（1）三角形面积(S=\frac{1}{2}\times(a+b+c)\timesr)（(a、b、c)为三边长）；（2）直角三角形的内切圆半径(r=\frac{a+b-c}{2})（(c)为斜边）。3特殊位置关系：三角形的外接圆与内切圆3.3外心与内心的对比|对比项|外心|内心||------------------|---------------------------|---------------------------||定义|三边垂直平分线的交点|三角角平分线的交点||位置|锐角三角形（内）、直角三角形（斜边中点）、钝角三角形（外）|始终在三角形内部||距离特性|到三顶点距离相等（外接圆半径）|到三边距离相等（内切圆半径）||与圆的关系|圆经过三顶点（外接圆）|圆与三边相切（内切圆）|03典型例题：位置关系判断的实际应用典型例题：位置关系判断的实际应用为了巩固知识，我们通过具体例题演示如何判断圆与三角形的位置关系。1顶点位置判断例题例1：已知圆(O)的半径(r=5)，三角形(\triangleABC)的顶点坐标分别为(A(3,0)、B(0,4)、C(-2,3))，圆心(O)在坐标原点((0,0))。判断(\triangleABC)的三个顶点与圆(O)的位置关系。分析：计算各顶点到圆心的距离(d)，比较(d)与(r)的大小。(d_A=\sqrt{(3-0)^2+(0-0)^2}=3<5)，故(A)在圆内；(d_B=\sqrt{(0-0)^2+(4-0)^2}=4<5)，故(B)在圆内；1顶点位置判断例题(d_C=\sqrt{(-2-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\approx3.605<5)，故(C)在圆内。结论：三角形(\triangleABC)的三个顶点均在圆内。2边与圆位置关系判断例题例2：圆(O)的半径(r=3)，圆心(O(0,0))，三角形(\triangleABC)的边(AB)所在直线方程为(3x+4y-15=0)。判断边(AB)所在直线与圆(O)的位置关系；若(A(1,3)、B(5,0))，判断线段(AB)与圆(O)的交点数量。分析：直线与圆的位置关系：计算圆心到直线的距离(d=\frac{|3\times0+4\times0-15|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{15}{5}=3=r)，故直线与圆相切。2边与圆位置关系判断例题线段(AB)与圆的交点：直线与圆相切于点(T)，需判断(T)是否在线段(AB)上。求切点(T)：直线(3x+4y=15)的垂线过原点，斜率为(\frac{4}{3})，方程为(y=\frac{4}{3}x)。联立解得(T(\frac{9}{5},\frac{12}{5}))（计算过程：代入(3x+4\times\frac{4}{3}x=15)，解得(x=\frac{9}{5})，(y=\frac{12}{5})）。2边与圆位置关系判断例题判断(T)是否在线段(AB)上：线段(AB)的(x)范围是(1\leqx\leq5)，(T)的(x=\frac{9}{5}=1.8)在此范围内，故线段(AB)与圆有1个交点。3外接圆与内切圆综合例题例3：已知直角三角形(\triangleABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=3)，(BC=4)，求其外接圆半径(R)和内切圆半径(r)。分析：外接圆半径(R)：直角三角形的外心在斜边中点，斜边(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5)，故(R=\frac{5}{2}=2.5)。内切圆半径(r)：利用公式(r=\frac{a+b-c}{2})（(c)为斜边），3外接圆与内切圆综合例题得(r=\frac{3+4-5}{2}=1)；或用面积法：面积(S=\frac{1}{2}\times3\times4=6)，周长一半(s=\frac{3+4+5}{2}=6)，故(r=\frac{S}{s}=\frac{6}{6}=1)。04课堂练习：分层巩固，提升应用能力1基础题（知识回忆）三角形的外心是______的交点，它到______的距离相等；内心是______的交点，它到______的距离相等。若三角形为钝角三角形，其外心位于三角形______（填“内部”“边上”或“外部”）。2提升题（综合应用）圆(O)的半径为(6)，三角形(\triangleABC)的顶点(A)到(O)的距离为(5)，顶点(B)到(O)的距离为(6)，顶点(C)到(O)的距离为(7)。判断(\triangleABC)与圆(O)的顶点位置关系。已知等边三角形的边长为(2\sqrt{3})，求其外接圆半径和内切圆半径。3拓展题（思维挑战）如图2所示，圆(O)是(\triangleABC)的外接圆，(