2025 九年级数学上册圆与圆位置关系判断课件

一、课程导入：从生活现象到数学问题的自然衔接演讲人01课程导入：从生活现象到数学问题的自然衔接02核心概念：从直观感知到数学定义的递进解析03判定方法：从理论到实践的逻辑链构建04例题1：已知半径与圆心距，判断位置关系05易错点警示：从学生错误中提炼的经验总结06课堂小结：从知识梳理到思维升华的总结目录2025九年级数学上册圆与圆位置关系判断课件01课程导入：从生活现象到数学问题的自然衔接课程导入：从生活现象到数学问题的自然衔接作为一名深耕初中数学教学十余年的教师，我常和学生说：“数学不是纸上的符号游戏，而是打开观察世界的另一扇窗。”今天这节课，我们就从大家熟悉的生活场景出发——清晨骑行时，自行车前后轮的圆形轮廓；运动场上，投掷圈与标枪落地区的圆形标记；甚至奥运五环的经典图案……这些场景中，圆与圆的位置关系看似寻常，却藏着严谨的数学规律。当两个圆出现在同一平面时，它们可能“亲密”相交，可能“刚好接触”相切，也可能“彼此远离”毫无交集。如何用数学语言精准描述这些状态？如何通过计算判断它们的位置关系？这就是我们今天要探索的核心问题——圆与圆的位置关系判断。02核心概念：从直观感知到数学定义的递进解析1圆与圆位置关系的分类标准要研究两个圆的位置关系，首先需要明确两个关键要素：两圆的半径（设为(r_1)和(r_2)，不妨设(r_1\geqr_2)）；两圆圆心之间的距离（简称“圆心距”，记为(d)）。这两个要素如同“标尺”，通过比较(d)与(r_1+r_2)、(r_1-r_2)的大小关系，我们可以将圆与圆的位置关系严格划分为五大类。2五种位置关系的详细界定为了让抽象的定义更直观，我常让学生用圆规在纸上画两个圆，通过调整圆心距和半径，观察两圆的交点数量与相对位置。结合多年教学经验，我们逐一分析：2五种位置关系的详细界定2.1外离：“完全分离的独立体”定义：两个圆没有公共点，且每个圆上的所有点都在另一个圆的外部。图形特征：两圆“各自为界”，中间有明显空隙（如图1）。数学条件：圆心距(d>r_1+r_2)。生活实例：校园里两个独立的圆形花坛，若它们的圆心距离大于两半径之和，便属于外离关系。2五种位置关系的详细界定2.2外切：“恰好触碰的邻居”定义：两个圆有且仅有一个公共点，且除该点外，每个圆上的其他点都在另一个圆的外部。图形特征：两圆“轻轻一碰”，公共点称为“切点”（如图2）。数学条件：圆心距(d=r_1+r_2)。生活实例：自行车链条传动时，两个齿轮的齿顶圆若刚好接触，即属于外切。010302042五种位置关系的详细界定2.3相交：“彼此交融的伙伴”定义：两个圆有两个不同的公共点。图形特征：两圆“部分重叠”，形成类似“透镜”的交集区域（如图3）。数学条件：(r_1-r_2<d<r_1+r_2)（注意：此处要求(r_1>r_2)，若(r_1=r_2)，则条件简化为(0<d<2r)）。生活实例：奥运五环中任意两个相邻圆环的位置关系，正是典型的相交。2五种位置关系的详细界定2.4内切：“内含相切的嵌套”定义：两个圆有且仅有一个公共点，且其中一个圆上的所有点（除切点外）都在另一个圆的内部。1图形特征：一个圆“贴”在另一个圆的内侧，切点在两圆心连线上（如图4）。2数学条件：圆心距(d=r_1-r_2)（要求(r_1>r_2)）。3生活实例：碗的内沿圆与外沿圆，若内沿半径小于外沿，且圆心重合时调整距离至(d=r_外-r_内)，即内切。42五种位置关系的详细界定2.5内含：“完全包裹的包容”定义：两个圆没有公共点，且其中一个圆上的所有点都在另一个圆的内部。图形特征：一个圆“完全躲在”另一个圆的内部，两圆无交点（如图5）。数学条件：圆心距(d<r_1-r_2)（要求(r_1>r_2)）；特殊情况是两圆圆心重合（(d=0)），此时称为“同心圆”，是内含的特例。生活实例：古代铜钱的外圆与方孔的内切圆（若方孔为圆形），若外圆半径远大于内圆，且圆心重合，即属于内含（同心圆）。03判定方法：从理论到实践的逻辑链构建1通用判定步骤掌握了定义和条件后，如何系统地判断两圆位置关系？我总结了“三步判定法”，帮助学生理清思路：确定已知量：明确两圆半径(r_1)、(r_2)（统一单位，通常取(r_1\geqr_2)简化计算）；计算圆心距(d)：若两圆在坐标系中，用距离公式(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2})计算；若为实际问题，通过测量或几何关系推导；比较大小关系：将(d)与(r_1+r_2)、(r_1-r_2)比较，对应到五种位置关系。2特殊情况的处理技巧教学中发现，学生最易混淆的是“内切与内含”“外切与外离”的边界条件，以及两圆半径相等时的特殊情形。针对这些问题，我们补充以下要点：当(r_1=r_2)时：外离条件变为(d>2r)（因为(r_1+r_2=2r)）；外切条件为(d=2r)；相交条件为(0<d<2r)（两等圆相交必有两个对称交点）；内切和内含不可能（因为(r_1-r_2=0)，若(d<0)无意义，(d=0)时两圆重合，不属于“内含”）。当(d=0)时：两圆圆心重合，若半径不等则为同心圆（内含特例），若半径相等则两圆完全重合（教材中通常不视为独立位置关系）。3典型例题解析为了让学生更熟练地应用判定方法，我们通过例题逐步演练（以下例题均为教学实际案例改编）：04例题1：已知半径与圆心距，判断位置关系例题1：已知半径与圆心距，判断位置关系题目：圆(O_1)半径(5cm)，圆(O_2)半径(3cm)，圆心距(O_1O_2=9cm)，判断两圆位置关系。解析：步骤1：(r_1=5)，(r_2=3)，故(r_1+r_2=8)，(r_1-r_2=2)；步骤2：圆心距(d=9)；步骤3：比较得(d=9>8=r_1+r_2)，因此两圆外离例题1：已知半径与圆心距，判断位置关系。例题2：已知位置关系，求圆心距范围题目：两圆半径分别为(4cm)和(7cm)，若两圆相交，求圆心距(d)的取值范围。解析：步骤1：设(r_1=7)，(r_2=4)，则(r_1-r_2=3)，(r_1+r_2=11)；步骤2：相交的条件是(r_1-r_2<d<r_1+r_2)；例题1：已知半径与圆心距，判断位置关系步骤3：代入得(3cm<d<11cm)。例题3：坐标系中的位置关系判断题目：圆(A)圆心((1,2))，半径(3)；圆(B)圆心((4,6))，半径(2)，判断两圆位置关系。解析：步骤1：计算圆心距(d=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=5)；步骤2：(r_1+r_2=3+2=5)；步骤3：(d=5=r_1+r_2)，因此两圆外切。05易错点警示：从学生错误中提炼的经验总结易错点警示：从学生错误中提炼的经验总结教学中，学生常因以下疏漏导致判断错误，需重点强调：1忽略半径大小关系部分学生直接用(d)与(r_1+r_2)比较，却忘记当(r_1<r_2)时，(r_1-r_2)为负数，此时内含的条件应为(d<r_2-r_1)。因此，统一设(r_1\geqr_2)是避免错误的关键步骤。2混淆“相切”与“相交”的边界例如，当(d=r_1+r_2)时是外切（仅有1个公共点），而(d<r_1+r_2)且(d>r_1-r_2)时是相交（2个公共点）。学生需明确：公共点数量是区分相切与相交的核心依据（外切/内切有1个，相交有2个，外离/内含无）。3忽视同心圆的特殊性当(d=0)且(r_1\neqr_2)时，两圆是同心圆，属于内含的特例；若(d=0)且(r_1=r_2)，两圆完全重合，这在实际问题中需根据题意判断是否单独分类（教材中通常不纳入五种基本位置关系）。06课堂小结：从知识梳理到思维升华的总结1核心知识回顾通过本节课的学习，我们明确了圆与圆的五种位置关系及其判定条件（见表1）：|位置关系|公共点数量|圆心距(d)与半径关系（(r_1\geqr_2)）||----------|------------|----------------------------------------------||外离|0|(d>r_1+r_2)||外切|1|(d=r_1+r_2)||相交|2|(r_1-r_2<d<r_1+r_2)||内切|1|(d=r_1-r_2)|1核心知识回顾|内含|0|(d<r_1-r_2)（同心圆：(d=0)）|2数学思维提升本节课不仅学习了具体的位置关系判断，更重要的是体会“用数量关系刻画几何位置”的数学思想——这是解析几何的核心思维，也是后续学习圆与直线、圆锥曲线关系的基础。3