2025-2026 学年高二 数学 开学摸底考 试卷及答案

2025-2026学年高二数学开学摸底考试卷及答案2025-2026学年高二数学开学摸底考试试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知空间向量a=(1,-2,3)，b=(2,1,-1)，则a·b=（）A.-1B.0C.1D.22.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n⊥α，则m∥nC.若m∥α，m∥β，则α∥βD.若m⊥α，n⊥β，则α∥β3.双曲线x²/4-y²/5=1的离心率为（）A.3/2B.√5/2C.3√5/5D.√5/34.已知数列{aₙ}是等差数列，a₁=2，a₃+a₅=16，则a₇=（）A.14B.12C.10D.85.函数f(x)=x³-3x²+2的单调递减区间是（）A.(-∞,0)B.(0,2)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)6.抛物线y²=4x的焦点到准线的距离为（）A.1B.2C.4D.87.已知直线l：y=kx+1与圆C：(x-1)²+y²=4相交于A，B两点，若|AB|=2√3，则k=（）A.±√3/3B.±√3C.±1D.±28.已知函数f(x)=xlnx，则f(x)的极小值为（）A.-1/eB.1/eC.eD.-e9.已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为1/2，且过点P(1,3/2)，则椭圆的标准方程为（）A.x²/4+y²/3=1B.x²/3+y²/4=1C.x²/16+y²/12=1D.x²/12+y²/16=110.如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2，则直线A₁C与平面ABCD所成角的正切值为（）A.√2/2B.√2C.2√2D.1/211.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，则数列{aₙ}的通项公式为（）A.aₙ=2ⁿ-1B.aₙ=2ⁿ⁺¹-1C.aₙ=2ⁿ-3D.aₙ=2ⁿ⁺¹-312.已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=-1处取得极大值，在x=3处取得极小值，则a+b=（）A.-12B.-9C.9D.12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知空间向量a=(2,-1,1)，b=(t,2,-2)，若a∥b，则t=________．14.已知等比数列{aₙ}中，a₁=1，a₄=8，则数列{aₙ}的前n项和Sₙ=________．15.曲线y=x²-lnx在点(1,1)处的切线方程为________．16.已知点P是椭圆x²/25+y²/16=1上一点，F₁，F₂是椭圆的左、右焦点，若∠F₁PF₂=90°，则△F₁PF₂的面积为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知空间三点A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,2)．（1）求直线AD与平面ABC所成角的正弦值；（2）求平面ABD与平面BCD的夹角的余弦值．18.（本小题满分12分）已知数列{aₙ}是等差数列，数列{bₙ}是等比数列，且a₁=b₁=1，a₂+b₂=4，a₃+b₃=10．（1）求数列{aₙ}和{bₙ}的通项公式；（2）求数列{aₙ·bₙ}的前n项和Tₙ．19.（本小题满分12分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的离心率为√3/2，且过点M(2,1)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，求△AOB面积的最大值．20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，BC=√2，AA₁=2．（1）证明：AB⊥平面A₁AC；（2）求点C₁到平面A₁BC的距离．21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x²-2lnx．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若关于x的方程f(x)=x+a在[1,e]上有唯一解，求实数a的取值范围．22.（本小题满分12分）已知抛物线E：y²=4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，点M是线段AB的中点，且|AB|=8．（1）求直线l的方程；（2）若直线l与圆x²+y²-2x-3=0交于C，D两点，求|CD|的长度．2025-2026学年高二数学开学摸底考试答案一、选择题（每小题5分，共60分）1.A2.B3.A4.A5.B6.B7.A8.A9.A10.A11.A12.A二、填空题（每小题5分，共20分）13.-414.2ⁿ-115.x-y=016.16三、解答题（共70分）17.（本小题满分10分）解：（1）由题意得，向量AD=(0,0,2)，平面ABC的法向量可由AB=(2,0,0)和AC=(0,2,0)求得．设平面ABC的法向量为n=(x,y,z)，则n·AB=2x=0，n·AC=2y=0，取z=1，得n=(0,0,1)．设直线AD与平面ABC所成角为θ，则sinθ=|AD·n|/(|AD|·|n|)=|2×1|/(2×1)=1．（5分）（2）向量AB=(2,0,0)，AD=(0,0,2)，BC=(-2,2,0)，BD=(-2,0,2)．设平面ABD的法向量为n₁=(x₁,y₁,z₁)，则n₁·AB=2x₁=0，n₁·AD=2z₁=0，取y₁=1，得n₁=(0,1,0)．设平面BCD的法向量为n₂=(x₂,y₂,z₂)，则n₂·BC=-2x₂+2y₂=0，n₂·BD=-2x₂+2z₂=0，取x₂=1，得n₂=(1,1,1)．设平面ABD与平面BCD的夹角为φ，则cosφ=|n₁·n₂|/(|n₁|·|n₂|)=|1×1|/(1×√3)=√3/3．（10分）18.（本小题满分12分）解：（1）设等差数列{aₙ}的公差为d，等比数列{bₙ}的公比为q．由题意得：{1+d+q=4,1+2d+q²=10}，解得{d=2,q=1}（舍去）或{d=1,q=2}．所以aₙ=1+(n-1)×1=n，bₙ=1×2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁻¹．（6分）（2）Tₙ=1×2⁰+2×2¹+3×2²+...+n×2ⁿ⁻¹，2Tₙ=1×2¹+2×2²+...+(n-1)×2ⁿ⁻¹+n×2ⁿ，两式相减得：-Tₙ=1+2¹+2²+...+2ⁿ⁻¹-n×2ⁿ=(2ⁿ-1)-n×2ⁿ，所以Tₙ=(n-1)2ⁿ+1．（12分）19.（本小题满分12分）解：（1）由离心率e=c/a=√3/2，得c=√3a/2，又b²=a²-c²=a²/4．将点M(2,1)代入椭圆方程得：4/a²+1/(a²/4)=1，解得a²=8，b²=2．所以椭圆C的标准方程为x²/8+y²/2=1．（4分）（2）联立{y=kx+m,x²/8+y²/2=1}，得(1+4k²)x²+8kmx+4m²-8=0．设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则x₁+x₂=-8km/(1+4k²)，x₁x₂=(4m²-8)/(1+4k²)．由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+(kx₁+m)(kx₂+m)=0，整理得(1+k²)x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²=0，代入得5m²=8(1+k²)．|AB|=√(1+k²)√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√(1+k²)√[64k²m²/(1+4k²)²-4(4m²-8)/(1+4k²)]=4√2√[(1+k²)(4k²+1-m²/2)]/(1+4k²)．原点O到直线l的距离d=|m|/√(1+k²)，S△AOB=1/2|AB|d=2√2√[(1+k²)(4k²+1-m²/2)]/(1+4k²)×|m|/√(1+k²)=2√2√[(1+k²)(4k²+1-4(1+k²)/5)]/(1+4k²)×√[8(1+k²)/5]/√(1+k²)．化简得S△AOB=4√[2(1+k²)(16k²+1)]/[5(1+4k²)]，令t=1+4k²≥1，得S≤√2，当且仅当k=±1/2时取等号．所以△AOB面积的最大值为√2．（12分）20.（本小题满分12分）（1）证明：因为AB=AC=1，BC=√2，所以AB²+AC²=BC²，即AB⊥AC．又直三棱柱中AA₁⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以AA₁⊥AB．因为AC∩AA₁=A，所以AB⊥平面A₁AC．（6分）（2）解：以A为原点，AB，AC，AA₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A₁(0,0,2)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，C₁(0,1,2)．向量A₁B=(1,0,-2)，A₁C=(0,1,-2)，C₁A₁=(0,-1,0)．设平面A₁BC的法向量为n=(x,y,z)，则n·A₁B=x-2z=0，n·A₁C=y-2z=0，取z=1，得n=(2,2,1)．点C₁到平面A₁BC的距离d=|C₁A₁·n|/|n|=|-2|/3=2/3．（12分）21.（本小题满分12分）解：（1）函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=2x-2/x=2(x²-1)/x．令f'(x)>0，得x>1；令f'(x)<0，得0<x<1．所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)．（4分）（2）方程f(x)=x+a即a=x²-2lnx-x，令g(x)=x²-2lnx-x，x∈[1,e]．g'(x)=2x-2/x-1=(2x²-x-2)/x，令g'(x)=0，得x=[1+√17]/4（舍去负根）．g(1)=1-0-1=0，g(e)=e²-2-e，g([1+√17]/4)=([1+√17]/4)²-2ln([1+√17]/4)-[1+√17]/4．因为g(x)在[1,e]上先减后增，且g(e)>0，所以a的取值范围是[g([1+√17]/4),0]．（12分）22.（本小题满分12分）解：（1）抛物线E的焦点F(1,0)，设直线l的方程为x=my+1，A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)．联立{y²=4x,x=my+1}，得y²-4my-4=0，所以y₁