5.1.1 任意角 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学必修第一册（人教A版2019）20255.1.1任意角新课引入圆周运动是一种常见的周期性变化现象回顾旧知：初中我们是如何定义角的？角的范围是多少？新课引入oAB0°~360°角的范围角的定义（初中）

问题1：运动员转体“720度”，摩天轮旋转、齿轮转动不止一周，这些角度还能用初中的角来描述吗？为什么？探究一

追问1：要准确描述这些现象，你认为角的概念需要做怎样的拓展？问题2：如何从“旋转”的角度重新定义角？追问2：旋转方向如何区分？能否给方向“赋值”？探究一①在不引起混淆的情况下，“角

”或“∠

”可以简写成“

”;②角的表示：A，B，C，…或α，β，θ，…;③角的“±”表示旋转方向：“﹢逆﹣顺”

(

与﹣互为相反角);④角的加法：规定，把角α的终边旋转角β，此时终边对应的角是α+β.⑤角的减法：α－β=α+(﹣β)正角：负角：一条射线绕其端点顺时针旋转形成的角.一条射线绕其端点逆时针旋转形成的角.零角：一条射线没作任何旋转.(零角的始边与终边重合)任意角角（高中）：已知一条射线的起始位置OA：概念1角(初中)：有公共端点的两条射线构成的几何图形.始边终边终边概念深化练习：判断对错：经过1小时，时针转过的角是30°.变式：请在坐标系中作出750°，210°，-150°的角.探究二

问题3：为了研究方便，我们将角放在直角坐标系中，如何统一放置？顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合追问3：终边落在不同位置的角，如何分类？概念2轴线角我们通常在直角坐标系内讨论角.为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角例如，下图中的40°角、-130°角分别是第一象限角和第三象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限。概念深化问题4：锐角是第一象限角吗？第一象限角一定是锐角吗？请举例说明。追问4：小于90°的角就是锐角吗？（引出零角和负角的反例）探究三问题5：在坐标系中作出-32°，328°，-392°这三个角，观察它们的终边位置。你发现了什么规律？

追问5：（1）与-32°角终边相同的角有多少个？它们之间有什么数量关系？

（2）如何用数学符号语言表示所有与角α终边相同的角？（相差360°的整数倍）（集合表示法：S={β|β=α+k·360°,k∈Z}）

（3）思考集合中k的几何意义（旋转的圈数）和k∈Z的含义？概念3

问题6：在表示终边相同的角的时候，需要选定基础角，如何选择基础角，使得终边相同的角表示清晰、简洁呢？基础角象限角的集合表示：象限角角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角

概念深化例题精讲

-950°12′+3・360°=-950°12′+1080°=129°48′90°<129°48′<180°故为第二象限角640°-360°=280°270°<280°<360°故为第四象限角例题精讲例2：写出终边在y轴上的角的集合。分析：分终边在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论，然后寻找规律合并：

轴线角的集合表示：象限角角的集合表示终边在x非负半轴α=0°+k・360°k为整数终边在x非正半轴α=180°+k・360°k为整数终边在y非负半轴α=90°+k・360°k为整数终边在y非正半轴α=270°+k・360°k为整数概念深化变式训练

变式1：写出终边在直线y=x上的角的集合S，S中满足不等式的元素β有哪些？写集合S直线y=x的角的集合S为β=45°+k・180°k为整数步骤2找-360°≤β<720°的元素令k=-2-10123计算得k=-2时45°-360°=-315°k=-1时45°-180°=-135°k=0时45°k=1时45°+180°=225°k=2时45°+360°=405°k=3时45°+540°=585°最终元素-315°-135°45°225°405°585°课堂小结1.知识内容：本节课我们学习了哪些核心概念？（任意角、象限角、终边相同的角）2.思想方法：我们是如何将角的概念进行推广的？（从静态到动态，从“形”到“数”的结合，运用了类比、化归等数学思想）3.知识联系：任意角的定义为后续学习三角函数做了怎样的铺垫？（使得我们可以定义任