16.3.2 阅读与思考 杨辉三角 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

情景引入

杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他所著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。我们则来对“杨辉三角”的规律进行探讨和研究。阅读与思考——杨辉三角1.建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律，让学生感受我国古代数学成就和数学美，激发学生的民族自豪感.2.通过研究(a+b)n

的展开式的规律，探索杨辉三角与其他数学对象之间的联系，培养观察能力和归纳推理能力.学习目标新知探究杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨.(a+b)2与杨辉三角(a+b)2＝a2+2ab+b2，此代数式的系数为：121(a+b)3=到此我们似乎发现了一些规律，发现以下呈三角形的数列：a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

代数式的系数为：14641

此代数式的系数为：1331新知探究(a+b)2与杨辉三角新知探究(1)(1+1=2)(1+2+1=4)(1+3+3+1=8)(1+4+6+4+1=16)(1+5+10+10+5+1=32)(1+6+15+20+15+6+1=64)杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2n-1.新知探究杨辉三角中斜行和水平行之间的关系①②③④⑤⑥把斜行①中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6②：1+2+3+4+5=15③：1+3+6+10=20④：1+4+10=15⑤：1+5=6⑥1将上面得到的数字与第7行中的数字对比你有什么发现？新知归纳

由上面可得：杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和，即第n行的数分别为1、(1)中第n行之前的数字之和、(2)中第n行之前的数字之和、(3)中第n行之前的数字之和、(4)中第n行之前的数字之和、…、(n-2)中第n行之前的数字之和、1。杨辉三角中斜行和水平行之间的关系新知探究(a+b)1=(a+b)2=(a+b)3=(a+b)4=(a+b)5=(a+b)6=1a+1b1a2+2ab+1b21a3+3a2b+3ab2+1b31a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b41a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b51a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6杨辉三角字母指数的关系1各项次数都等于n，且按照a或b的降幂排列.你能试着写出第8行吗？归纳总结1、每个数等于它上方两数之和.2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大.3、第n行的数字有n项。4、第n行数字和为2(n-1)。5、(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项；各项次数和等于n且按某一字母的降幂排列。典例分析例1

(2018·孝感)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：1，3，6，10，…记a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…那么a4＋a11－2a10＋10的值是_________．－241针对练习1.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如图)就是一例.这个三角形的构造法则为两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方(左右)两数之和事实上，这个三角形给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式中各项(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如:在三角形中，第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数;第四行的四个数1，3，3,1恰好对应(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数.针对练习(1)根据上面的规律，(a+b)4展开式的各项系数中最大的数为

.(2)直接写出25+5×24×(-3)+10×23×(-3)2+10×22×(-3)3+5×2×(ー3)4+(-3)5=

；(3)直接写出25-5×24+10×23-10×22+5×2-1=

；16-11针对练习(4)若(2xー1)2018＝a1x2018+a2x2017+a3x2016+…+a2017

x2+a2018

x+a2019，求a1+a2+a3+…+a2017+a2018的值.1当x=0时，a2019=1，当x=1时，a1+a2+a3+…+a2017+a2018+a2019=1，∴a1+a2+a3+…+a2017+a2018=02.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用下图所示的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”根据“杨辉三角”,计算(a+b)20的展开式中第三项的系数为()A.2017B.20