2026届高三数学测试题及答案（四）

2026届高三数学测试题（四）姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每题四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知，则（）A. B. C. D.3.已知，为单位向量，且，则（）A. B. C. D.4.已知随机变量，且，则的最小值为（）A. B. C. D.5.已知数列满足，，则此数列前项的和为（）A. B. C. D.6.已知，则（）A. B. C. D.7.已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知正实数满足，则（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对部分得分，有选错得0分9.已知函数与函数的图象的对称中心完全相同，则（）A.函数为偶函数B.C.直线是图象的一条对称轴D.是图象的一个对称中心10.已知正方体棱长为，点是的中点，点是面上的动点（包括边界），且满足平面，则下列结论正确的是（）A.动点的轨迹的长度为B.三棱锥体积的取值范围为C.当三棱锥体积取最大值时，其外接球的表面积为D.当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为11.在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（）A.开口向上抛物线的方程为B.C.直线截第一象限花瓣的弦长最大值为D.阴影区域的面积不大于三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分12.已知函数奇函数，则实数______．13.的展开式中，常数项为．（用数字作答）14.若函数的最小值为，则实数的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.如图，四棱柱棱长均为，且，，是中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．16.网络搜索已成为人们获取信息或解决问题的重要手段.为研究某传染性疾病的未来流行趋势，收集得到该疾病某月号至号的网络搜索量（单位：万次）如下，用频率估计概率.时间1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号11号12号13号14号15号搜索量6.25.16.17.26.17.46.26.36.46.37.16.37.37.67.9时间16号17号18号19号20号21号22号23号24号25号26号27号28号29号30号搜索量8.511.210.39.19.610.110.610.98.810.48.211.512.112.813.6（1）从号至号中任取天，求该天的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率；（2）假设该疾病每天的搜索量变化是相互独立的.在未来的日子里任取天，试估计这天该疾病搜索量的数据中既有高于万又有低于万的概率；（3）记表中天的搜索量的平均数为，去除搜索量中最大的个和最小的个后剩余个搜索量的平均数为，试给出与的大小关系.（结论不要求证明）17.在中，角所对边分别为，已知，且满足（1）求角的大小（2）的内心为，求周长的取值范围.18.已知函数（1）若，讨论函数在的单调性；（2）若，求证：．（3）若在上有唯一的零点，求实数的最小值．19.已知椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点为，点关于直线的对称点为点，若四边形为正方形，求的值.2026届高三数学测试题参考答案（四）一、单选题1.【解析】因为，所以，故选：B2.【解析】由，得，则，即，故选：A3.【解析】因为，所以，即，所以，因此，即，故选：C4.【解析】由题意正态分布均值，结合对称性可知：，可得，，所以，当且仅当，即时取等号．所以最小值为8，故选：B5.【解析】由，得，所以，，故数列是以为周期的周期数列，又，，且，则此数列前项的和，故选：D6.【解析】因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故选：C7.【解析】若，即，此时，满足要求；若，则，此时，故恒成立，其中，故；若且，即，此时，对称轴为，若，此时在上单调递增，故只需，即，解得，故；若，此时在上单调递减，在上单调递增，故，令，解得，与取交集得，若，此时在上单调递减，故只需，即，解得，与取交集得；综上，实数的取值范围为，故选：B8.【解析】由，得．因为均为正实数，所以（当且仅当，即时取等号），所以，即令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，故当时，，即（当且仅当时取等号），因此，即.由和可得，则有，解得，所以，故选：C二、多选题9.【解析】ABD对称中心完全相同，则周期相同，，则，，是的一个对称中心，故，，即，又，故当，时满足条件，故，对选项A：，函数定义域为，为偶函数，正确；对选项B：，正确；对选项C：当时，不是的对称轴，错误；对选项D：当时，，,故是的对称中心，正确，故选：ABD10.【解析】BCD对于A，取的中点，连接，所以，又易证，所以，又平面，平面，所以平面，又因为为棱的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又为正方形内一个动点（包括边界），且平面，所以为的轨迹，又，所以动点的轨迹的长度为，故A错误；对于B，，其中为到的距离，所以最小时，最小，显然在点处时，最小，此时，最大时，最大，显然在点处时，最大，此时，故B正确；对于C，如图，当三棱锥体积最大时，在处，如图建立空间直角坐标系，设球心为，外接球的半径为，易知，所以①，②，③，④，联立①②③④解得，，所以，故外接球的表面积为，所以选项C正确；对于D，因为是直角三角形，所以外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上，设外接球的球心为，由，可得，所以，解得，解得，所以外接球的表面积为，故D正确，故选：BCD11.【解析】BCD对于A，由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为,将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A错误；对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得，由图象的对称性，可得、，故，即B正确；对于C，设直线与抛物线相切，联立可得，由可得，且方程即为，解得，，此时，切点坐标为，设直线与抛物线相切，联立可得，由可得，此时方程即为，解得，，此时，切点坐标为，两切点连线的斜率为，即切点的连线与直线平行或重合，故当、时，取最大值，且其最大值为，C对；对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值.如图，对函数求导得，则抛物线在点处的切线斜率为，所以，抛物线在点处的切线方程为，即，该切线交轴于点，所以，半个花瓣的面积必小于，故原图中的阴影部分面积必小于，故D正确，故选：BCD三、解答题12.【解析】因为，可知函数的定义域为，且函数是奇函数，则，解得，则，又因为，即，可知函数是奇函数，所以符合题意，故答案为：113.【解析】，展开式的通项公式为，令，解得，故常数项为，故答案为：25214.【解析】，令，原式可化为，当单调递增，当单调递减，当且仅当时，取得最小值1，所以有解，即有解，记，当在单调递增，当在单调递减，故，且当，所以，所以，所以实数的取值范围为，故答案为：四、解答题15.【解析】（1）连接交于点，连接，如下图：由题可知为的中点，且为边长是2的等边三角形，因此，可得，在中，由，可得：，即；同理可得；又，所以为等腰直角三角形，所以；易知，又，，接满足，所以；又，平面，所以平面；又因为平面，所以平面平面（2）由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：显然，可得；设平面的一个法向量为，则，令，则，；所以；设平面的一个法向量为，则，解得，令，则；所以；可得，由图可知，二面角的大小为锐角，所以二面角的余弦值为16.【解析】（1）记事件A为“从2号至14号中任取1天，且该天搜索量比其前后两日的搜索量都低”，根据数据，知仅有2，5，7，10，12号这5天的搜索量比其前后两日的搜索量都低，所以从2号至14号中任取1天，该天搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率．（2）记事件B为“在未来的日子里任取3天，且这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万”，根据数据，知在未来的日子里某天该疾病的搜索量高于10万的概率可估计为，低于8万的概率可估计为．则．所以在未来日子里任取3天，估计这3天该疾病捜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率为．（3）最大的三个数为：，最小的三个数为：，这6个数之和为故故.17.【解析】（1）由，得，由，则，即,而，故，又，所以由（1）可得，即，设的内心为，即，故.设，则，在中，由正弦定理得，所以，所以的周长为因为，所以，所以，所以，故的周长取值范围为18.【解析】（1）当时，，，由，，令，则，所以，或，令，则，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，（2）令，则，可得，令，则，，在上单调递减，，在上单调递增，所以时，即，所以；（3）令，即，在上有唯一的零点，即与有唯一的交点，，由（2）知，，在上单调递增，故，，，所以，的