2026届高三数学测试题及答案（十）

届高三数学测试题（十）姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每题四个选项中，只有一项符合题目要求1．已知集合，则（）A. B. C. D.2．设，则的虚部为（）A. B. C. D.3．欧几里得大约生活在公元前年至公元前年，著有《几何原本》《光学》《曲面轨迹》《已知数》等著作．若从这部著作中任意抽取部，则抽到《光学》的概率为（）A. B. C. D.4．已知一个矩形较长边长为，用斜二测画法画出矩形的直观图是菱形，则直观图的面积为（）A. B. C. D.5．在中，若，则最大角的余弦值为（）A. B. C. D.6．已知矩形的对角线长为，将沿折起得到三棱锥，且三棱锥的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.7．若函数的大致图象如图所示，则（）A. B.C. D.8．已知椭圆的左焦点为，经过点且倾斜角为的直线与交于两点，若，则的离心率为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对部分得分，有选错得0分9．下列说法正确的是（）A.残差图中若样本数据对应的点分布的带状区域越狭窄，说明该模型的拟合精度越高B.在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于各组的频数C.数据的第百分位数为D.某校共有男女学生人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为人的样本，若样本中男生有人，则该校女生人数是人10．已知平面向量，则下列结论正确的是（）A.一定可以作为一个基底B.一定有最小值C.一定存在一个实数，使得D.若，则在上的投影向量的坐标为11．已知函数的导函数为，的导函数为，若，，则称是“函数”，则下列说法正确的是（）A.是函数B.若是定义域为的函数，则C.若对任意成递增等差数列的个数，，，，都有,则是函数D.若是定义域为的函数，且当时，则在上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知函数，则______.13．的展开式中的系数为___________.14．设表示不大于的最大整数，如，，若正数满足（其中，），则___________.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．已知数列满足．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．16．如图，在三棱台中，平面，，，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求平面和平面夹角的余弦值．通过市场调查发现：某产品生产需投入年固定成本万元，每生产万件，需要额外投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不少于万件时，（万元）.已知每件产品售价元，且生产的产品在当年可全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（2）当年产量为多少万件时，生产销售该产品所获利润最大？最大利润是多少？（注：若，当且仅当时等号成立）18．已知函数，.（1）当时，求的值域；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.19．已知双曲线的离心率为，且经过点．（1）求的方程；（2）作在点处的切线，设与的两条渐近线分别交于点，求；（3）将横、纵坐标均为正整数的点称为“格点”，记上的所有格点为，，，…，，证明：为定值．2026届高三数学测试题参考答案（十）一、单选题1.【解析】B由，可得，所以，由，解得，所以，所以，故选：B2.【解析】C因为，所以的虚部为3.【解析】B记4部书籍分别为，则从4部书籍中任意抽取2部的基本事件为共有6个，抽到《光学》的基本事件为共有3个，所以抽到《光学》的概率为：，故选：B4.【解析】A如图，是矩形的直观图，则，，，所以的高为，则直观图的面积为，故选：A5.【解析】D，所以最大角为C，，故选：D6.【解析】B由外接球的定义可知外接球球心到三棱锥四个顶点的距离相等.记矩形中心为，由矩形的性质知点在翻折过程中到四个顶点的距离相等，即其为外接球球心，对角线的一半即为外接球半径，则，故选：B7.【解析】B由得.由图象知，，所以当时，；当时，.当时，若，所以，和图象不符，所以.所以一定有，故选：B8.【解析】B设，，则l的方程为，由，得，设，，则，①因为，所以②．由①②可得，再结合，，得，解得，故选：B二、多选题9.【解析】AD对于A，如果样本数据点分布的带状区域越狭窄，说明该模型的拟合精度越高，故A正确；对于B，在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故B错误；对于C，因为8×0.75=6，故该组数据的第75百分位数为第6个数和第7个数的平均数10，故C错误；对于D，设该校女生人数为n，由已知可得55100=1500−n1500，解得n10.【解析】BCD对于A，当时，，不能作为平面向量的一个基底，A错误；对于B，由，得，所以有最小值，B正确；对于C，由，两边同时平方得，解得，C正确；对于D，当时，，则，D正确，故选：BCD11.【解析】ABD对于A，由题意得，，所以是T函数，故A正确；对于B，设，则，因为是T函数，所以在上单调递增，所以，所以单调递增，所以，即，所以，故B正确；对于C，因为，，，成递增的等差数列，故可设：，，，，，考虑函数，因为，所以，但，，所以不T函数，故C错误；对于D，因为是T函数，所以在上单调递增，任意选取，设函数，则，当时，，当时，，所以，即，当时，因为，所以，左边是关于x的一次函数，根据直线的性质知，这里的是任意选取的，所以，，所以在上单调递增，故D正确，故选：ABD三、填空题12.【解析】得，令，解得.则，故，故答案为：313.【解析】在中取1、在中取3个x和2个2y，该项为在中取、在中4个x和1个2y，该项为故的展开式中含的项为故的展开式中的系数为，故答案为：3014.【解析】因为，所以该式的前项都为，后项都为，所以，，所以且，得，因为，，所以，所以，故，故答案为：12四、解答题15.【解析】（1）证明：∵，则，即2分而所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列，··········································3分∴，即6分（2）解：由（1）得：，8分∴13分16.【解析】证明：如图，连接，由题意知平面，所以，2分又，，所以，因为M是的中点，所以4分因为平面ABC，所以，又，，所以平面，所以．因为，所以平面AMC．6分（2）以A为坐标原点，以直线AB，AC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图7分，，，，，所以，．9分设平面的法向量为，则，取，11分由（1）知平面AMC的一个法向量为，13分因为，所以平面和平面AMC夹角的余弦值为15分17.【解析】（1）因为每件商品售价为元，则万件的商品销售收入为万元；根据题意得，当时，；2分当时，；4分所以6分（2）当时，8分，10分当且仅当，即时，有最大值；11分当时，，13分当且仅当，即时取等号，因为，所以当年产量为万件时，利润最大，最大为万元15分18.【解析】解：（1）当时，，则，2分此时根据取值，列表，分析的符号，的单调性和极值点4分由表可知：所以上单调递增，在上单调递减，又，故的值域为6分（2）若对任意，不等式恒成立，则，故，7分当时，，显然不满足题意，舍去，8分当时，记，则，因为，所以，令，即，解得；10分令，则或；故在上单调递增，在上单调递减，12分由于，当时，即，此时在上单调递增，故满足题意，当时，即，此时在上单调递增，在上单调递减，15分要使恒成立，即，可得解得，综上可得17分19.【解析】（1）解：由题意得，解得，所以C的方程为4分（2）解：当时，由得，所以，所以l的斜率为，l的方程为，即，由得C的渐近线方程为，联立与，解得，8分所以．10分证明：在方程中，令，得，令，得，则．因为，11分所以，得是C上的一个格点，，得是C上的一个格点．按这种构造方式，由可以得到一系列格点．下面证明C上的任意一个格